一道人追船問(wèn)題的八種解法

姚 平

(揚(yáng)州市廣陵區(qū)紅橋高級(jí)中學(xué),江蘇 揚(yáng)州 225108)

人船模型是高中物理教學(xué)中的一個(gè)重要模型.下面以人追船問(wèn)題為例,從不同角度給出問(wèn)題的八種解法.

1 人追船問(wèn)題

如圖1所示,有一個(gè)很大的湖(位于OM上方),岸邊OM(可視為直線)停放著一艘小船(可視為質(zhì)點(diǎn)),突然纜繩斷開,小船被風(fēng)吹走,使小船沿15°角勻速遠(yuǎn)離岸邊,岸上的人第一時(shí)間發(fā)現(xiàn),馬上去追趕.已知他在岸上跑的速度為v1=4 m/s,在水中游泳的速度為v2=2 m/s.問(wèn): 此人若能追上小船,小船的速度v不能超過(guò)多少?

圖1 人追船模型圖

2 問(wèn)題的八種解法

圖2 解法1示意圖

假定追上小船的位置為P點(diǎn),整個(gè)問(wèn)題就被簡(jiǎn)化為從直線OB上任意點(diǎn)向P點(diǎn)找出最短折線的問(wèn)題, 顯然最短時(shí)間對(duì)應(yīng)的折線是從P點(diǎn)向OB作出的垂線PQ.

圖3 解法2示意圖

在△OAP中應(yīng)用正弦定理,則有

聯(lián)立解得

解法3假設(shè)極值法:如圖4所示,假設(shè)人沿著路徑OAP剛好在P點(diǎn)追上小船用時(shí)最短, 我們總可以在這個(gè)路徑的左右兩側(cè)(離OAP極近)找到時(shí)間相同的兩條路徑,如圖4中所示的OBP和OCP.

圖4 解法3示意圖

觀察兩條路徑,它們?cè)贠B段是重合的,時(shí)間相同,可以不計(jì),所以必然有tBP=tBCP.

剩下的計(jì)算可以參考解法2即可,或者用以下方式計(jì)算:

圖5 構(gòu)造直角三角形

解法4作圖法:若人在O點(diǎn)就下水,在時(shí)間t內(nèi)能到達(dá)的區(qū)域是一個(gè)半徑為v1t的半圓形區(qū)域.若先在岸邊跑一陣再下水則下水后的時(shí)間會(huì)略少,其能到達(dá)的范圍如圖6中的各個(gè)半圓形區(qū)域.人在岸上跑動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng),他在水中能到達(dá)的范圍越小,在時(shí)間t內(nèi)能到達(dá)的范圍就是圖6中包絡(luò)線所示的區(qū)域[1].

圖6 解法4示意圖

然后作出直線OP,其與包絡(luò)線的交點(diǎn)P就是最遠(yuǎn)能到達(dá)的位置,小船超過(guò)這個(gè)位置人就絕對(duì)沒(méi)辦法追回小船了.在△OPK中, 應(yīng)用正弦定理得

解法5相對(duì)運(yùn)動(dòng):矢量圖.以小船為參考系觀察人的運(yùn)動(dòng),看到人先遠(yuǎn)離它然后又靠近它, 最后相對(duì)位移為零.我們可以畫出速度矢量圖來(lái)快速求解.

如圖7所示,人在岸上時(shí),以船為參考系看到人的運(yùn)動(dòng)速度為

圖7 解法5示意圖

u1=v1+(-v).

人在水中,船上參考系看到人的運(yùn)動(dòng)速度為

u2=v2+(-v).

由題意得u1+u2=0.據(jù)矢量圖可知,當(dāng)v2⊥u2時(shí),v最小.因此通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得

解法6數(shù)學(xué)演繹法1:極值法.如圖8所示,假定人在A處下水到達(dá)點(diǎn)P,OA用時(shí)為t1,AP用時(shí)為t2,而船沿直線直接到達(dá)點(diǎn)P.在OP上截取出PB=PA,標(biāo)記的角度α,β,θ如圖8中所示.

在△OBA中, 應(yīng)用正弦定理得

①

在△PBA中, 再次應(yīng)用正弦定理得

②

聯(lián)立①②兩式,可得

sin(θ+β)=2sin(θ-α).

點(diǎn)評(píng)數(shù)學(xué)演繹的本質(zhì)就是不管任何物理繪景都可直接計(jì)算,是一種暴力美學(xué),下面再介紹兩種方法.

解法7數(shù)學(xué)演繹法2:余弦定理.如圖9所示,假設(shè)OAP就是最佳路徑,s=OP=vt, 再設(shè)O到A用時(shí)為t1=kt(0

圖9 解法7示意圖

s1=v1kt,s2=v2(1-k)t.

考查上式,最佳路徑時(shí)對(duì)應(yīng)k取重根,所以要求上式的△=0,計(jì)算可得

解法8數(shù)學(xué)演繹法3:導(dǎo)數(shù).既然是求極值,數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)就是先找出一個(gè)函數(shù)關(guān)系,然后令其導(dǎo)數(shù)為零即可.

如圖10所示,假定O,P已經(jīng)確定,P與岸邊的距離為h,投影點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為L(zhǎng),人從圖中A點(diǎn)下水,圖10中夾角為θ,則總時(shí)間為

圖10 解法8示意圖

令t關(guān)于θ的導(dǎo)數(shù)為零,即

3 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于物理中的重要模型,讀者必須親自做一遍,體會(huì)多種方法解同一問(wèn)題的樂(lè)趣.從多個(gè)角度出發(fā)看待同一個(gè)問(wèn)題會(huì)是讀者提升解題能力與核心素養(yǎng)的重要手段.