一道高考線段比值問題的一般化推廣

陳恬

1．試題解析

2022年全國甲卷數(shù)學(xué)第16題考查解三角形、函數(shù)最值等內(nèi)容，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．

2．試題轉(zhuǎn)化

在解決了問題后，由于BD與CD雖然有二倍的關(guān)系，但都是變動(dòng)的，是否有辦法把問題轉(zhuǎn)化為更簡潔的單變量問題，于是作轉(zhuǎn)化：如圖2，過B作AC

這個(gè)結(jié)論非常優(yōu)美，幾何構(gòu)造也非常簡單，從直觀上很容易想到背后可能存在更一般化的幾何性質(zhì)．進(jìn)而思考當(dāng)線段的比值改變或夾角改變的情況下，結(jié)論是否成立．

3．一般化推廣

3．1 推廣結(jié)論的驗(yàn)證

分析：由于給出的條件是一般化的，結(jié)論是否成立還不確定，想要從平面幾何直接處理是有難度的，采用解析幾何運(yùn)算來定量分析；又考慮到需要找到點(diǎn)A的位置，因此借助直線參數(shù)方程來解決．

解析：如圖5，以D為原點(diǎn)，以BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)B（－m，0），C（n，0）．

先考慮特殊情況：

結(jié)合參數(shù)方程的幾何意義，進(jìn)而探究t1，t2的具體涵義．

推廣結(jié)論 如圖6，在△ABC中，已知邊BC上一點(diǎn)D，BD=m，CD=n，∠ADB=θ，其中m≠n且0°<θ<180°．則

①若θ為銳角或鈍角時(shí)，設(shè)線段BC的垂直平分線與直線AD的交點(diǎn)為E，則以E為圓心，以EB為半

當(dāng)然，可以將θ為直角時(shí)的情況看作圓心E在無窮遠(yuǎn)處，半徑為無窮大，則A1對(duì)應(yīng)是D點(diǎn)，A2對(duì)應(yīng)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處．

3．2 推廣結(jié)論的平幾探索

上述方法雖然能夠準(zhǔn)確得到取值的變化規(guī)律，但對(duì)于只求最值的問題來說相對(duì)復(fù)雜．在得到結(jié)論的基礎(chǔ)上，嘗試用平面幾何方法找出最值位置．

同理可得當(dāng)θ為鈍角時(shí)的情況．

4 結(jié)語

直觀想象核心素養(yǎng)是高考考查的重要內(nèi)容，幾何中的最值問題往往存在一個(gè)更一般化的幾何性質(zhì)作為命題背景，教師與學(xué)生在日常教學(xué)中不應(yīng)只停留在解出問題的表面，還應(yīng)該鼓勵(lì)師生進(jìn)行深入探索，培養(yǎng)堅(jiān)忍不拔的探索精神，形成做研究的習(xí)慣，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升．