三角形垂心的一個定理及其運用

洪海燕

定理 設(shè)ΔABC的垂心為H，外接圓半徑為R，則AH=2RcosA，BH=2RcosB，CH=2RcosC．

當(dāng)ΔABC為鈍角三角形時，不妨設(shè)角A為鈍角，如圖2所示，易知AH=2Rcos（π－A）=－2RcosA，BH=2RcosB，CH=2RcosC．

當(dāng)ΔABC為直角三角形時，不妨設(shè)角A=90°，如圖3，可驗證定理的結(jié)論仍然成立．所以定理對任意ΔABC都成立．

形式上與正弦定理類似．

以下略舉數(shù)例說明定理的應(yīng)用．

例2 （三角形垂心與外心之間的關(guān)系定理）三角形任意一個頂點到垂心的距離，等于外心到該頂點對邊的距離的2倍．

證明：如圖4，已知H，O分別是ΔABC的垂心和外心，OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，OK⊥AB于K．即要證：AH=2OM，BH=2ON，CH=2OK．

同理有BH=2ON，CH=2OK．

例3 設(shè)銳角ΔABC的外心與垂心分別為O，H，外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑分別為R，r，求證AH+BH+CH=2（R+r）．

證明： 如圖5，過外心O分別作OM⊥BC于M，

ON⊥AC于N，OK⊥AB于K．由例2知AH+BH+CH=2（OM+ON+OK），

故以下只要證明OM+ON+OK=R+r即可．

再設(shè)ΔABC的面積為

OK aR=c·ON+b·OK ②.

由B，M，O，K四點共圓，同理有bR=a·OK+c·OM ③.

再由M，C，N，O四點共圓，有cR=b·OM+a·ON ④.

①+②+③+④得（a+b+c）r+（a+b+c）R=（a+b+c）（OM+ON+OK），

即R+r=OM+ON+OK．故所證命題成立．