一道圓錐曲線面積問題的解法與易錯(cuò)點(diǎn)探究

陳小璐

解析幾何是歷年高考重點(diǎn)內(nèi)容，面積問題是?？碱}型，單選題、多選題、填空題、解答題均有考查，其設(shè)問形式多樣，可以是已知面積關(guān)系探求基本運(yùn)算、探求面積的定值問題、探求面積的最值問題等．在面積問題的運(yùn)算過程中，學(xué)生不僅需要熟練掌握基本公式（例如弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式、三角形面積公式、多邊形面積公式等），還需要選擇合理的解題策略實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)面積問題常與其他知識(shí)交匯形成綜合性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問題（例如探求面積的最值問題需要結(jié)合函數(shù)思想解題），因此面積問題是考查解析幾何的一個(gè)很好的載體．本文以一道圓錐曲線中面積問題為例，闡述面積計(jì)算的常見方法以及易錯(cuò)點(diǎn)成因分析，供參考．

一、問題及其多解

分析：本題以橢圓為命題背景，圍繞面積公式展開．條件中以一個(gè)基礎(chǔ)問題即封閉圖形的面積，結(jié)合菱形面積公式及點(diǎn)到直線距離公式探求出第一問中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，第二問探求ΔAMB的面積的取值范圍，在求解策略上，通常分聯(lián)立和不聯(lián)立直線與圓錐曲線方程兩個(gè)方向，由于聯(lián)立方程的程序化，近年較多的題目設(shè)置是通過不聯(lián)立方程求解［1］．策略一通過設(shè)直線OA的斜率參數(shù)探求面積公式，策略二通過設(shè)橢圓的參數(shù)方程或直線的參數(shù)方程探求面積公式．在教學(xué)中教師應(yīng)順應(yīng)學(xué)生的思維形成一題多解，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，內(nèi)化數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法，提升對(duì)問題的整體把握能力.

（2）策略一 設(shè)斜率參數(shù)，聯(lián)立方程

評(píng)析：通過設(shè)斜率參數(shù)，聯(lián)立直線與橢圓方程是學(xué)生熟悉的方法，因此學(xué)生容易入手，此方法中易錯(cuò)點(diǎn)是忽略斜率不存在形式的討論，難點(diǎn)一是計(jì)算出AB的弦長后，利用同構(gòu)的方式直接表達(dá)出弦長OM，優(yōu)化運(yùn)算；難點(diǎn)二是構(gòu)建出面積的函數(shù)關(guān)系后運(yùn)用換元法求解面積的最值．

策略二 設(shè)點(diǎn)參數(shù)，不聯(lián)立方程

8cosαcosβ=0，即tanαtanβ=－8.

解法2 （設(shè)直線的參數(shù)方程）若AB斜率存在且不為0時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M在第二象限設(shè)OA=t1，直線OA的傾斜角為

評(píng)析：“參數(shù)法”是數(shù)學(xué)解題的一種重要方法，通過設(shè)參、消參、化簡問題，促使問題得以解決，在應(yīng)用參數(shù)解題時(shí)，有兩點(diǎn)必須注意：一是新參數(shù)的取值范圍是否與原變量一樣；二是要注意參數(shù)的幾何意義［2］．解法1中就橢圓的參數(shù)方程而言，絕大多數(shù)學(xué)生只會(huì)用它來換元，忽略了橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，從而導(dǎo)致解題出錯(cuò)，解法2中應(yīng)用直線的參數(shù)方程表達(dá)線段長度問題，從運(yùn)算角度看，解法2優(yōu)于解法1．

二、教學(xué)思考

1.面積求解的一般策略

求解析幾何中多邊形面積問題時(shí)，通常有以下解題策略：

① 特殊四邊形的面積，例如平行四邊形ABCD的面積，可直接轉(zhuǎn)化為三角形面積；

② 面積的拆分：多邊形有規(guī)則的圖形和不規(guī)則的圖形，計(jì)算多邊形面積時(shí)，常通過拆分將問題轉(zhuǎn)化到三角形、圓、特殊四邊形中，通過求解各部分面積，再將各部分面積相加求出多邊形面積；

③ 多個(gè)圖形面積關(guān)系的轉(zhuǎn)化：關(guān)鍵是“求同存異”，尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)，從而將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系，使得運(yùn)算簡化.

2.面積的最值問題

面積的最值問題需靈活輔助函數(shù)思想解題，基本思路是：①首先利用公式探求出面積的表達(dá)式；②再構(gòu)建函數(shù)模型，運(yùn)用配方法、換元法、基本不等式、導(dǎo)數(shù)法等研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得出面積的最值.

3.典型錯(cuò)誤與成因分析

離心角是點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的圓的半圖5徑OA（或OB）的旋轉(zhuǎn)角，不是OM的旋轉(zhuǎn)角（如圖5所示），因此本題中是已知OA與OM的旋轉(zhuǎn)角互相垂直，并非是OA與OM的離心角互相垂直.

評(píng)析：糾錯(cuò)是提升教學(xué)有效性的重要手段之一，本文從學(xué)生的典型錯(cuò)誤出發(fā)，回歸教材，結(jié)合圖形正確理解橢圓參數(shù)方程中參數(shù)φ的幾何含義，對(duì)參數(shù)φ及OM的旋轉(zhuǎn)角作深入辨析.

結(jié)語

在高三復(fù)習(xí)課教學(xué)中，如何將種類繁多的問題化歸為更為簡單清晰的一類問題，形成一般性解決問題的方法一直是筆者在課堂教學(xué)中思考的重點(diǎn).教學(xué)的目標(biāo)不僅僅是教授學(xué)生解題的技巧，最終目標(biāo)是讓學(xué)生能夠自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題. 通過一題多解以及易錯(cuò)點(diǎn)成因的辨析，強(qiáng)化概念，啟迪思維，拓展學(xué)生思維的深度與廣度，讓高效學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生.

參考文獻(xiàn)

［1］高鶴.挖掘幾何條件 突破運(yùn)算難關(guān)——例談高三復(fù)習(xí)解析幾何面積問題求解策略［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2019（3）：60-64

［2］邱星明.橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義辨析與反思［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2019（8）：22-23