2023年高考物理湖南卷第15題“橢圓擺模型”的研究

段石峰

(長(zhǎng)沙市周南中學(xué),湖南 長(zhǎng)沙 410201)

湖南省近3年的新高考物理試題穩(wěn)中有變,總體向好的方向發(fā)展,更加有利于拔尖創(chuàng)新人才選拔,符合新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革和教育強(qiáng)國(guó)建設(shè)的要求．2023年第15題的設(shè)計(jì)非常創(chuàng)新巧妙,摒棄了“重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算技巧,輕物理思維方法”的常規(guī)做法,讓人眼前一亮、耳目一新．本文在對(duì)該試題深入解讀的基礎(chǔ)上,從試題溯源的“球槽模型”拓展為“橢圓擺模型”,以便在教學(xué)中強(qiáng)化模型建構(gòu)的意識(shí),促進(jìn)科學(xué)思維能力的培養(yǎng),從而提升學(xué)生的核心素養(yǎng)．

1 試題呈現(xiàn)

例題.(2023年高考湖南卷第15題)如圖1所示,質(zhì)量為M的勻質(zhì)凹槽放在光滑水平地面上,凹槽內(nèi)有一個(gè)半橢圓形的光滑軌道,橢圓的半長(zhǎng)軸和半短軸分別為a和b,長(zhǎng)軸水平,短軸豎直．質(zhì)量為m的小球,初始時(shí)刻從橢圓軌道長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑．以初始時(shí)刻橢圓中心的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),在豎直平面內(nèi)建立固定于地面的直角坐標(biāo)系xOy,橢圓長(zhǎng)軸位于x軸上．整個(gè)過(guò)程凹槽不翻轉(zhuǎn),重力加速度為g．

圖1 小球在凹槽內(nèi)的運(yùn)動(dòng)

(1) 小球第1次運(yùn)動(dòng)到軌道最低點(diǎn)時(shí),求凹槽的速度大小以及凹槽相對(duì)于初始時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的距離;

(2) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,求出小球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程;

2 試題解讀

2.1 第(1)問(wèn)解讀

第(1)問(wèn)是通常涉及的特殊位置,還有“人船模型”的變形遷移．從知識(shí)的角度,考查動(dòng)量和能量的綜合應(yīng)用;從能力的角度,考查理解能力和推理論證能力;從素養(yǎng)的角度,考查科學(xué)思維中的模型建構(gòu)和科學(xué)推理要素．這兩個(gè)小問(wèn)題都與凹槽內(nèi)軌道的具體形狀無(wú)關(guān)．

解析:凹槽放在光滑的水平地面上不固定,小球釋放后下滑時(shí)凹槽向右運(yùn)動(dòng),系統(tǒng)在水平方向不受外力．設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)相對(duì)于地面的速度為v1,凹槽的速度為v2,由系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒可得

mv1=Mv2.

(1)

水平地面和凹槽內(nèi)軌道均光滑,由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒可得

(2)

聯(lián)立式(1)(2)解得

(3)

從式(3)的結(jié)果來(lái)看,v1和v2與水平方向的長(zhǎng)半軸a無(wú)關(guān),與豎直方向的短半軸b有關(guān)．

由式(1)對(duì)時(shí)間微元求和可得水平位移關(guān)系

mx1=Mx2.

(4)

而且水平方向存在幾何關(guān)系

x1+x2=a.

(5)

聯(lián)立式(4)(5)解得

(6)

從式(6)的結(jié)果來(lái)看,x1和x2與水平方向的長(zhǎng)半軸a有關(guān),與豎直方向的短半軸b無(wú)關(guān)．

2.2 第(2)問(wèn)解讀

第(2)問(wèn)是第(1)問(wèn)的進(jìn)階,將特殊位置的確定量延伸到任意位置的變量,涉及到軌跡形狀的變換,其實(shí)就是以靜止釋放點(diǎn)為定點(diǎn),水平方向按一定的比例壓縮,而豎直方向不變．這個(gè)問(wèn)題與小球和凹槽之間是否光滑無(wú)關(guān),與小球是否具有豎直方向的初速度也無(wú)關(guān)．

解析:設(shè)小球在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)為(x,y),則小球向左運(yùn)動(dòng)的水平位移為(a-x)．設(shè)凹槽向右運(yùn)動(dòng)的位移為x3,由式(4)可得

(7)

凹槽移動(dòng)后的半橢圓形軌道方程為

(8)

小球始終在凹槽半橢圓形軌道上,式(8)即為小球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程,聯(lián)立式(7)(8)解得

(9)

圖2 小球運(yùn)動(dòng)軌跡

2.3 第(3)問(wèn)解讀

第(3)問(wèn)是在給定質(zhì)量比的條件下,求解特殊位置的狀態(tài)量．雖然第(2)問(wèn)用到了橢圓方程,對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的要求較高,但由以上討論可知,第(3)問(wèn)通過(guò)設(shè)置槽球的質(zhì)量比,恰巧可以將橢圓運(yùn)動(dòng)降解為圓周運(yùn)動(dòng),從而降低對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的要求,問(wèn)題設(shè)計(jì)非常創(chuàng)新精妙．

方法1:簡(jiǎn)化為圓周運(yùn)動(dòng)確定速度方向.

[x-(a-b)]2+y2=b2,(y≤0).

(10)

由式(10)可知,在這種情況下小球的軌跡是以(a-b,0)為圓心,半徑為b的半圓形．

圖3 小球速度分析

θ=60°.

(11)

由系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒可得

mv3cosθ=Mv4.

(12)

由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒可得

(13)

聯(lián)立式(11)(12)(13)解得

(14)

從式(14)的結(jié)果來(lái)看,v3與水平方向的長(zhǎng)半軸a和豎直方向的短半軸b均有關(guān)．從求解過(guò)程來(lái)看,關(guān)鍵是要確定小球的速度方向即可以迎刃而解．下面再給出兩種方法得到式(11)的結(jié)果.

方法2:對(duì)橢圓方程求導(dǎo)確定速度方向.

將式(9)中的變量x和y分別對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

(15)

(16)

由式(16)同樣可以確定小球速度與水平方向的夾角為

(17)

方法3:由橢圓切線斜率確定速度方向.

(18)

由式(9)確定y是x的隱函數(shù),根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則可得

(19)

則以小球所在位置(x0,y0)為切點(diǎn),代入式(19)可得運(yùn)動(dòng)軌跡的切線斜率為

(20)

(21)

方法點(diǎn)評(píng):對(duì)比以上3種方法,方法1是高中范圍內(nèi)的常規(guī)方法,由于物理過(guò)程和軌跡方程都比較復(fù)雜,所給的質(zhì)量比條件比較隱蔽,給學(xué)生造成不小的心理壓力,但作為壓軸題最后一問(wèn)的精妙之筆,將“球槽模型”考到了極致,命題人的功力和手法可見(jiàn)一斑．方法2和方法3對(duì)于物理競(jìng)賽生更有優(yōu)勢(shì),無(wú)須挖掘潛在條件中的半圓形軌跡形狀,只要從一般的軌跡方程入手尋找速度關(guān)聯(lián)即可,其中方法2的思維最直接,方法3需要求出切點(diǎn)的坐標(biāo)和橢圓的切線斜率．

3 模型溯源

試題來(lái)源于物理競(jìng)賽題中的“球槽模型”,只是將通常的半圓形槽拓展為半橢圓形槽．原競(jìng)賽題大致為:如圖4所示,質(zhì)量為M的勻質(zhì)凹槽放在光滑水平地面上,凹槽內(nèi)有一個(gè)半圓形的光滑軌道,圓的半徑為R．質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn)),初始時(shí)刻從圓軌道的右端點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑．以初始時(shí)刻凹槽圓心的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),在豎直平面內(nèi)建立固定于地面的直角坐標(biāo)系xOy,圓的直徑位于x軸上,整個(gè)過(guò)程凹槽不翻轉(zhuǎn)．求小球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程．

圖4 小球在半圓形凹槽中的運(yùn)動(dòng)

解析:小球在凹槽中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,相對(duì)于凹槽做圓周運(yùn)動(dòng),但相對(duì)于地面并不是圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)小球在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)為(x,y),則小球向左運(yùn)動(dòng)的水平位移為(R-x)．設(shè)凹槽向右運(yùn)動(dòng)的位移為x4,由式(4)可得

(22)

凹槽移動(dòng)后的半圓形軌道方程為

(x-x4)2+y2=R2,(y≤0).

(23)

小球始終在凹槽半圓形軌道上,式(23)即為小球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程,聯(lián)立式(22)(23)解得

(24)

4 模型拓展

仔細(xì)考查可以發(fā)現(xiàn),在上述“球槽模型”中并不限于特定的軌道約束,也可以改為輕繩或輕桿連接,變?yōu)槿鐖D5所示的“球環(huán)模型”,或如圖6所示的“球車模型”等,它們的特點(diǎn)和實(shí)質(zhì)相同．[1,2]從小球運(yùn)動(dòng)的軌跡形狀來(lái)看,都可以稱為“橢圓擺模型”,下面舉例說(shuō)明．

圖5 球環(huán)模型

圖6 球車模型

如圖5所示,質(zhì)量為M的圓環(huán)套在光滑固定的水平桿上,質(zhì)量為m的小球用一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩與圓環(huán)相連,小球和圓環(huán)均可視為質(zhì)點(diǎn)．初始時(shí)刻輕繩與水平桿平行且處于拉直狀態(tài),圓環(huán)和小球均靜止,現(xiàn)將小球由靜止釋放．以初始時(shí)刻圓環(huán)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),在豎直平面內(nèi)建立固定于地面的直角坐標(biāo)系xOy,輕繩水平拉直時(shí)位于x軸上．求小球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程．

解析:在小球向下擺的過(guò)程中,相對(duì)于凹槽做圓周運(yùn)動(dòng),但相對(duì)于地面并不是圓周運(yùn)動(dòng)．如圖7所示,設(shè)小球在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)為(x,y),則小球向左運(yùn)動(dòng)的水平位移為(L-x)．設(shè)圓環(huán)向右運(yùn)動(dòng)的位移為x5,由式(4)可得

圖7 小球運(yùn)動(dòng)分析

m(L-x)=Mx5,

(25)

由小球和圓環(huán)關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)的約束條件可得

(x-x5)2+y2=L2,(y≤0).

(26)式(26)即為小球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程,聯(lián)立式(25)(26)解得

(27)

5 教學(xué)啟示

從近些年全國(guó)各地的高考試題來(lái)看,物理競(jìng)賽題、大學(xué)物理和前沿科技的改編題不斷地變相出現(xiàn),特別是壓軸題總能看到一些“影子”,這與新高考改革和高校選拔人才的要求是一脈相承的．因此在教學(xué)中,一方面要拒絕“題海戰(zhàn)術(shù)”,減少重復(fù)低效的“機(jī)械刷題”行為,切實(shí)減輕學(xué)生負(fù)擔(dān);另一方面要強(qiáng)化模型建構(gòu)意識(shí),將題型歸納轉(zhuǎn)變?yōu)槟Ｐ徒?gòu),提升模型遷移能力,注重深度思維的培養(yǎng),有效促進(jìn)關(guān)鍵能力的提高,發(fā)展學(xué)生的物理核心素養(yǎng)．