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    跨尺度結(jié)構(gòu)智能優(yōu)化方法與快速設(shè)計

    2024-03-21 05:54:24霍樹林江和昕宋賢海周恩臨何智成
    關(guān)鍵詞:宏觀微觀尺度

    霍樹林,江和昕,宋賢海,周恩臨,何智成

    (1.湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室,長沙,410082;2.南昌航空大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院,南昌,330036)

    拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)是一種在有限的設(shè)計領(lǐng)域中尋找最優(yōu)材料布局的強(qiáng)大的結(jié)構(gòu)設(shè)計工具,被廣泛的應(yīng)用于汽車[1-2]及航空航天[3-4]等領(lǐng)域。拓?fù)湓O(shè)計通過尋找結(jié)構(gòu)的最優(yōu)材料分布來獲得結(jié)構(gòu)的最優(yōu)性能。然而,若僅在結(jié)構(gòu)宏觀尺度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計,則難以發(fā)揮結(jié)構(gòu)的最佳性能及進(jìn)一步提升結(jié)構(gòu)的輕量化效果,而同時考慮結(jié)構(gòu)的微觀拓?fù)錁?gòu)型和宏觀材料分布能夠有效釋放設(shè)計潛力。因此,對結(jié)構(gòu)進(jìn)行跨尺度優(yōu)化設(shè)計,即同時生成宏微觀結(jié)構(gòu)是進(jìn)一步提升拓?fù)錁?gòu)型性能和輕量化效果的關(guān)鍵方法。

    目前,拓?fù)鋬?yōu)化算法有固體各向同性材料懲罰法[5](Solid isotropic material with penalization, SIMP)、進(jìn) 化 結(jié) 構(gòu) 法[6](Evolutionary structural optimization method, ESO)/雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法[7](Bi-directional evolutionary structural optimization method, BESO)

    和水平集法[8]。Huang 等[9]基于BESO 實現(xiàn)了最大體積或最大剪切模量的多孔材料微觀結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。Gao 等[10]結(jié)合水平集法和數(shù)值均質(zhì)化法對多孔復(fù)合材料的宏觀結(jié)構(gòu)和多個代表性微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化。付君健等[11]為實現(xiàn)二維和三維的多層級結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化并避免其中的連接性問題,提出了一種基于子結(jié)構(gòu)法的多層級結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法。Li 等[12]基于水平集法提出了一種用于在一定激勵頻率范圍內(nèi)并發(fā)設(shè)計多相復(fù)合結(jié)構(gòu)的多尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法并通過2D 和3D 數(shù)值算例驗證了其有效性。盡管拓?fù)鋬?yōu)化在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中帶來了極大的便利,然而,由于拓?fù)鋬?yōu)化問題中存在大量的設(shè)計變量,并且在得到最優(yōu)設(shè)計變量之前需要進(jìn)行多次優(yōu)化迭代,因此拓?fù)鋬?yōu)化問題的計算成本非常高。而多層級拓?fù)鋬?yōu)化相對于傳統(tǒng)的單尺度拓?fù)鋬?yōu)化增加了許多參數(shù),計算成本更高,計算效率更為低下。

    在過去的幾年中,隨著高性能計算技術(shù)的快速發(fā)展,深度學(xué)習(xí)算法也得到了快速的發(fā)展。深度學(xué)習(xí)作為一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法,不僅是傳統(tǒng)實驗或模擬方法的有效替代模型,也是從各種數(shù)據(jù)中提取材料相關(guān)信息的革命性方法。許多學(xué)者已經(jīng)把深度學(xué)習(xí)應(yīng)用到了拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域。Yu 等[13]提出了一種深度學(xué)習(xí)模型,該模型能夠在不使用迭代方案的情況下預(yù)測給定邊界條件和優(yōu)化設(shè)置的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。White 等[14]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型開發(fā)了彈性結(jié)構(gòu)的多尺度拓?fù)鋬?yōu)化框架。葉紅玲等[15]采用生成式對抗神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了對跨分辨率拓?fù)錁?gòu)型的快速預(yù)測。Cheng 等[16]結(jié)合卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了在各種載荷條件和體積分?jǐn)?shù)限制下,以最小柔度自動生成結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型。深度學(xué)習(xí)在拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域得到了很好的運用,然而,目前基于深度學(xué)習(xí)的拓?fù)鋬?yōu)化研究大多集中在傳統(tǒng)的單尺度拓?fù)鋬?yōu)化上,關(guān)于多層級拓?fù)鋬?yōu)化的研究少之又少。

    本文提出了一種基于耦合深度學(xué)習(xí)的跨尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法來快速生成基于各種邊界條件下最優(yōu)微觀和宏觀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。首先,利用BESO 算法產(chǎn)生數(shù)據(jù),建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)庫;然后,結(jié)合Resnet、U-net架構(gòu)及SEnet 中的注意力機(jī)制建立用于快速生成跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的深度學(xué)習(xí)模型。研究結(jié)果表明該模型在快速生成跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的同時,也能保證93%以上的準(zhǔn)確度。

    1 并行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

    基于均勻化方法與BESO 優(yōu)化策略,建立雙尺度拓?fù)鋬?yōu)化模型及其分析方法,通過分別在宏觀尺度與微觀尺度上進(jìn)行靈敏度分析,獲得各尺度最優(yōu)的材料分布,為后續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入提供數(shù)據(jù)支持。

    1.1 雙尺度優(yōu)化系統(tǒng)

    結(jié)構(gòu)雙尺度優(yōu)化即同時對宏觀構(gòu)型與微觀單胞進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。圖1)所示為雙尺度優(yōu)化系統(tǒng)示意圖,其中圖1a)灰色區(qū)域為均勻多孔材料;圖1c)黑色區(qū)域為優(yōu)化得到的實體單元,白色區(qū)域為空洞單元。在優(yōu)化中對各尺度進(jìn)行結(jié)構(gòu)離散,宏觀單元設(shè)計變量定義為 αj(j=1,2,···,M),微觀單元設(shè)計變量定義為 βj(j=1,2,···,N)。

    圖1 雙尺度優(yōu)化系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of a dual scale optimization system

    為了獲得清晰的拓?fù)洌瑢⒉牧喜逯捣桨笐?yīng)用于宏觀和微觀兩個尺度上。在微觀尺度上,采用人工材料插值模型得到的單元彈性矩陣DM可以表示為

    式中D0為微觀實體單元彈性矩陣。采用同樣的插值方法,宏觀單元彈性矩陣DMA可描述為

    式中DH為等效彈性矩陣。等效彈性矩陣數(shù)值表達(dá)式可以用均勻化方法通過微觀尺度分析來計算,計算式為

    式中: |Y|為 材料單元細(xì)胞的面積;I為一個 3×3的單位矩陣;b為應(yīng)變-位移矩陣;u為微觀結(jié)構(gòu)節(jié)點位移場。

    1.2 并行設(shè)計拓?fù)鋬?yōu)化模型

    雙尺度拓?fù)鋬?yōu)化的目的是宏觀上找到最優(yōu)材料分布,在微觀上優(yōu)化周期單胞。兩個尺度上的優(yōu)化過程通過均勻化理論集成到一個系統(tǒng)中,分別在宏觀尺度和微觀尺度上進(jìn)行計算。宏觀尺度上的設(shè)計變量是離散宏觀結(jié)構(gòu)的單元相對密度,微觀尺度的設(shè)計變量是離散微觀結(jié)構(gòu)的單元相對密度。本文以宏觀結(jié)構(gòu)柔度為優(yōu)化目標(biāo),以體積為設(shè)計約束,建立雙尺度拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)表達(dá)式:

    式中:C為平均柔度; αi為宏觀結(jié)構(gòu)第i號設(shè)計變量;βi為微觀結(jié)構(gòu)第j號設(shè)計變量;M和N分別表示在宏觀層級和微觀層級的有限元單元總數(shù);Vi和Vj分別表示宏觀結(jié)構(gòu)第i號單元體積和單元細(xì)胞第j號單元體積;V和Vc分別為宏觀結(jié)構(gòu)體積和單元細(xì)胞體積大小;WMA和WMI分別表示宏觀和微觀上定義的體積分?jǐn)?shù);xmin為單元最小相對密度。

    采用伴隨方法,C目標(biāo)函數(shù)關(guān)于宏觀設(shè)計變量αi的靈敏度可表示為

    其中

    同理,目標(biāo)函數(shù)C關(guān)于微觀設(shè)計變量 βi的靈敏度可表示為

    其中

    由式(5)和式(7)可知,目標(biāo)函數(shù)在宏觀和微觀層面的敏感性是相互關(guān)聯(lián)的。宏觀結(jié)構(gòu)的位移場是評價微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計變量的重要指標(biāo),而微觀結(jié)構(gòu)的設(shè)計變量將改變宏觀結(jié)構(gòu)的材料有效彈性張量。

    2 數(shù)據(jù)的獲取和處理

    本文中用于訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)據(jù)集主要由多對最優(yōu)微觀和宏觀構(gòu)型及其相應(yīng)的邊界條件、載荷和體積約束組成。數(shù)據(jù)集由常用的BESO 算法生成,設(shè)計域的大小為80 ×40,對拓?fù)鋬?yōu)化的體積約束、負(fù)載和邊界條件設(shè)置如下:1)體積分?jǐn)?shù)從0.5到0.8 之間的均勻分布中采樣得到,間隔為0.05;2)固定設(shè)計域的左邊緣作為邊界約束,力的施加位置從設(shè)計域右側(cè)的節(jié)點集合中選擇,力F= 1 kN,所施力的角度 θ ∈[0,175?],每隔5°取一個測試點。根據(jù)上述參數(shù)設(shè)置,通過BESO 算法進(jìn)行相應(yīng)的計算,計算得到的最優(yōu)微觀拓?fù)錁?gòu)型和最優(yōu)宏觀拓?fù)錁?gòu)型分別保存在兩個文件夾中。把生成的數(shù)據(jù)中有錯誤的數(shù)據(jù)剔除,最終產(chǎn)生了10200 個數(shù)據(jù)對用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練。其中的一個負(fù)載和邊界條件及生成的多層級結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

    圖2 邊界約束及相應(yīng)的多層級結(jié)構(gòu)Fig.2 Boundary constraints and corresponding multi-layer structures

    由于本文使用了卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),因此需要把輸入信息轉(zhuǎn)化成適合卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)形式。由于本文使用的拓?fù)鋬?yōu)化的設(shè)計域為80 ×40,因此總共由81 ×41 個節(jié)點。體積約束、負(fù)載和邊界條件通過圖片表示如圖3 所示。如圖3 所示,體積約束、邊界條件和負(fù)載都用含81 ×41 個像素點的圖片表示。這樣,對于邊界條件和負(fù)載,使用兩個數(shù)據(jù)矩陣表示X方向力和Y方向力的加載位置及約束位置,其中約束位置標(biāo)記為“1”,加載位置分別標(biāo)記為“Fx=Fsinθ ”, “Fy=Fcosθ”,其余位置則都標(biāo)記為“0”,如圖3a)和圖3b)所示。對于體積約束,使用像素值全為體積分?jǐn)?shù)值的圖片表示,如圖3c)所示。

    圖3 X 方向力及邊界條件,Y 方向力及邊界條件, 體積約束Fig.3 X-direction force and boundary conditions, Y-direction force and boundary conditions, volume constraints

    3 耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

    本文主要目標(biāo)是提出一個耦合深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來加速跨尺度拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的生成。該耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)合了Resnet、U-net 架構(gòu)和SEnet 中的注意力機(jī)制。由Resnet 模塊組成的U-net 是本文的主體網(wǎng)絡(luò),而SEnet 中的注意力機(jī)制則加入到Resnet模塊中以提高網(wǎng)絡(luò)的精度。

    3.1 Resnet、U-net 和SEnet 介紹

    卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種特殊架構(gòu)的前饋網(wǎng)絡(luò),它的生物啟發(fā)類似于動物視覺皮層的組織,其中每個單獨的皮層神經(jīng)元僅對受限視覺區(qū)域中的外部刺激做出反應(yīng)。類似地,卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的卷積層包括多個卷積濾波器。每個過濾器都與來自上一層的輸入進(jìn)行卷積,并生成特征圖作為下一層的輸入。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要由若干卷積層和池化層組成,在圖像處理方面有著十分出色的表現(xiàn)。然而,隨著卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)深度的增加,其泛化能力沒有提升,反而下降。而Resnet 的出現(xiàn)解決了這一問題。Resnet中的殘差塊如圖4 所示。

    圖4 Resnet 中的殘差塊示意圖Fig.4 Schematic diagram of residual blocks in Resnet

    由圖4 可知,輸入經(jīng)過非線性變換后,又加上了原來的輸入,這樣子就保證了輸入經(jīng)過非線性層之后的結(jié)果不會比原來的結(jié)果差。因此,本文選取Resnet 作為主干網(wǎng)絡(luò)。

    U-net 是一種全卷積的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),最初是為了解決圖像分割問題而被發(fā)現(xiàn)的。U-net 以其特殊的模型架構(gòu)命名。U-net 包括一個下采樣過程和一個上采樣過程。下采樣過程和傳統(tǒng)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣,使用池化層將少圖片的維度,并隨著網(wǎng)絡(luò)的深入,逐漸提取全局圖像特征。而上采樣過程則分兩步進(jìn)行:一是擴(kuò)展特征圖大小的反卷積算子;二是concatenate 層,它結(jié)合了不同層次的特征,這樣子可以通過下采樣和上采樣獲得全局和局部特征。同時,輸出可以調(diào)整為原始圖像大小。因此,本文采用U-net 架構(gòu)來生成跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

    SEnet 是一種全新的圖像識別結(jié)構(gòu),它可以通過對通道的相關(guān)性進(jìn)行建模來強(qiáng)化重要的特征而提高模型的準(zhǔn)確性。SEnet 中一個模塊如圖5 所示。

    圖5 SE 模塊示意圖Fig.5 Schematic diagram of SE module

    SEnet 的計算過程主要分為3 步:

    采用SPSS 23.0統(tǒng)計軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。定量資料以均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差(x±s)表示,先進(jìn)行正態(tài)性分析;正態(tài)分布資料采用兩獨立樣本t檢驗、非正態(tài)分布資料采用兩獨立樣本Mann-Whitney U檢驗,定性資料用百分?jǐn)?shù)(%)表示、采用卡方檢驗進(jìn)行組間比較。當(dāng)P<0.05時表示差異具有統(tǒng)計學(xué)意義。

    1)輸入X經(jīng)過一次卷積操作Ftr后,特征通道數(shù)由c1變成了c2,得到U。

    2)U經(jīng)過全局池化Fsq降維,然后經(jīng)過兩個全連接層Fscale為每個特征通道生成權(quán)重。

    3)將第二步生成的通道權(quán)重逐通道相乘到U上。

    通過這3 個步驟就可以自動獲取每個通道的重要程度,然后依據(jù)這個重要程度來增強(qiáng)有用的特征而抑制對當(dāng)前任務(wù)無用的特征,從而實現(xiàn)通道的自適應(yīng)校準(zhǔn),提高網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)確度。

    3.2 耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的建立

    耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型架構(gòu)和 Resnet-SE 模塊如圖圖6 所示。

    圖6 耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型架構(gòu) 和 Resnet-SE 模塊Fig.6 Coupled neural network model architecture and resnet-SE module

    建立如圖6a)所示耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,模型的輸入包含3 張圖片,分別是X方向力及邊界條件,Y方向力及邊界條件和體積約束,大小都為41 × 81。模型的輸出包含兩張圖片,分別為最優(yōu)的宏觀構(gòu)型和最優(yōu)的微觀構(gòu)型。如圖6a)所示,主體網(wǎng)絡(luò)模型的左邊部分由Resnet-SE 模塊和池化層組成,主要提取輸入圖片的特征信息和對圖片降維;網(wǎng)絡(luò)的右邊部分由上采樣和Resnet-SE 模塊組成,用來恢復(fù)被池化計算減少的數(shù)據(jù)維數(shù),并采用通道堆疊操作分別將左邊對應(yīng)層的輸出連接到當(dāng)前層。通過采用這種特殊的U 形架構(gòu),可捕獲輸入的全局和局部信息,可以訓(xùn)練模型以預(yù)測最優(yōu)的多層級結(jié)構(gòu)的演變。圖6b)表示了主體神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中使用的Resnet-SE 模塊,它由批量歸一化處理、整流線性單元(ReLU) 、卷積層、全連接層和‘Sigmoid’激活函數(shù)組成。圖中右邊的通道表示SEnet 在Resnet-SE 模塊的實現(xiàn),中間和左邊的連個通道則為Resnet 的實現(xiàn)。

    4 結(jié)果分析

    在建立了適合用于生成跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型后,利用生成的數(shù)據(jù)樣本對模型進(jìn)行訓(xùn)練。共有102000 對數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練、驗證及測試數(shù)據(jù)。圖7 和圖8 展示了模型損失函數(shù)和準(zhǔn)確率的收斂歷史。隨著訓(xùn)練次數(shù)的增加,損失函數(shù)值逐漸降低,準(zhǔn)確度逐漸增大,訓(xùn)練和驗證過程的損失函數(shù)值和準(zhǔn)確度的趨勢都一致且相差很小,訓(xùn)練模型的總體質(zhì)量較好,過擬合度在可接受的范圍內(nèi)。

    圖7 針對宏觀構(gòu)型的訓(xùn)練歷史參數(shù)的變化Fig.7 Changes in training history parameters for macroscopic configurations

    圖8 針對微觀構(gòu)型的訓(xùn)練歷史參數(shù)的變化Fig.8 Changes in training history parameters for micro configurations

    訓(xùn)練過程完成后,通過使用與訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和驗證數(shù)據(jù)集不同的測試數(shù)據(jù)集來對模型進(jìn)行最終評估。同時,Dice 系數(shù)也被計算來定量評價模型的性能,Dice 的定義表達(dá)式為

    式(9)用來計算兩張圖片 [y,](y表示真實的圖片,表示預(yù)測的圖片)的相似度。最后,通過從測試數(shù)據(jù)集中隨機(jī)挑選的最優(yōu)跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來與真實的最優(yōu)跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行比較來進(jìn)行定性評估。

    表1 表示一些BESO 生成的跨尺度結(jié)構(gòu)和耦合深度學(xué)習(xí)模型生成的跨尺度結(jié)構(gòu)的比較及計算得到的Dice 系數(shù)(表中的例子為從測試集中隨機(jī)選取的10 個樣本)。結(jié)果表明,耦合深度學(xué)習(xí)模型生成的跨尺度結(jié)構(gòu)與BESO 的結(jié)果幾乎一樣,深度學(xué)習(xí)模型在模擬BESO 的優(yōu)化過程中有著很好的性能。計算深度學(xué)習(xí)模型生成的跨尺度結(jié)構(gòu)和BESO 的結(jié)果的Dice 系數(shù),無論是宏觀結(jié)構(gòu)還是微觀結(jié)構(gòu),Dice 系數(shù)均在0.93 以上,其平均Dice 系數(shù)分別為0.954 和0.946。Dice 系數(shù)表明提出的深度學(xué)習(xí)模型生成的多層級結(jié)構(gòu)與BESO 的結(jié)果的相似性在93%以上,耦合深度學(xué)習(xí)模型生成的最優(yōu)多層級結(jié)構(gòu)是非??煽康摹?/p>

    表1 深度學(xué)習(xí)模型和BESO 方法生成的二維多層級拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的比較(從測試集中隨機(jī)選取的10 個樣本)Tab.1 Comparison of 2D multi-level topology optimization structures generated by deep learning models and BESO methods(10 samples randomly selected from the test set)

    表2 對耦合深度學(xué)習(xí)模型生成最優(yōu)跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的計算時間和基于有限元的BESO 方法生成最優(yōu)跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的計算時間進(jìn)行了對比(表中數(shù)據(jù)為表1 中的10 個樣本對應(yīng)的計算時間)。

    表2 有限元方法與耦合深度學(xué)習(xí)方法計算時間的比較Tab.2 Comparison of computational time between finite element method and coupled deep learning method

    由表2 可知,對于有限元方法,生成一個最優(yōu)跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的平均時間為143.56 s,而對于深度學(xué)習(xí)方法而言,從讀取數(shù)據(jù)、生成結(jié)構(gòu)、計算Dice 系數(shù)及保存數(shù)據(jù),平均時間為5.37 s,相對于有限元方法節(jié)約了96%的時間,本文提出的耦合深度學(xué)習(xí)方法在效率上遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)的有限元方法。綜上所述,本文提出的耦合深度學(xué)習(xí)方法能在保證結(jié)果的高準(zhǔn)確性的情況下,高效的生成最優(yōu)跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

    5 結(jié)論

    本文提出了一種能快速生成基于各種邊界條件下最優(yōu)微觀和宏觀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的耦合深度學(xué)習(xí)方法。作為一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法,該耦合深度學(xué)習(xí)模型由BESO 生成的數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行訓(xùn)練,以獲得用于生成跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。與傳統(tǒng)的基于有限元方法的結(jié)果相比,該耦合深度學(xué)習(xí)模型生成的結(jié)果的準(zhǔn)確性在93%以上,深度學(xué)習(xí)模型生成的結(jié)構(gòu)與BESO 生成的結(jié)構(gòu)幾乎一樣。與此同時,深度學(xué)習(xí)生成跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的時間比基于有限元的BESO 方法節(jié)約了96%以上,大幅提高了跨尺度拓?fù)鋬?yōu)化的效率。

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