類比法剖析毛細(xì)現(xiàn)象的能量分配*

芮云軍 類淑國

(南京工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)學(xué)院 江蘇 南京 211816)

邰傳智

(南京市溧水區(qū)教師發(fā)展中心 江蘇 南京 211200)

毛細(xì)現(xiàn)象是浸潤和表面張力共同引起的[1-3].就能量觀點(diǎn)而言,液體浸潤管壁現(xiàn)象的發(fā)生,是由于勢能較高的液體內(nèi)部分子不斷地進(jìn)入勢能較低的附著層中所致,根據(jù)穩(wěn)定平衡時勢能最小原理[2],得到液柱的平衡位置高度為

(1)

其中ρ為液體的密度,r為毛細(xì)管的內(nèi)半徑,θ為接觸角,g為重力加速度,σ則為液體的表面張力系數(shù).這與教材中從流體靜力學(xué)出發(fā),利用各點(diǎn)壓強(qiáng)關(guān)系推出的高度完全一致[1].

既然平衡位置的高度為h0,那液柱所能達(dá)到的最大高度是多少呢?文獻(xiàn)[2]指出,“若系統(tǒng)無摩擦阻力,則液柱將在h0附近做簡諧振動,最大高度可達(dá)2h0”.為了理解該命題,我們將液柱上升運(yùn)動與盤曲鏈條升降運(yùn)動進(jìn)行類比,計(jì)算系統(tǒng)中各力做功與動能變化,分析毛細(xì)現(xiàn)象中的能量分配問題[4].該類比有助于學(xué)生對毛細(xì)力的理解,以及變質(zhì)量系統(tǒng)運(yùn)動和能量損失的理解.

1 毛細(xì)力與鏈條恒力的類比

當(dāng)毛細(xì)管插入液體,在毛細(xì)力的作用下,管中液面升高.在三相界面處,由著名的Young方程表示[3,5]

σSV-σSL=σLVcosθ

(2)

其中σSV、σSL、σLV分別表示固氣、固液、液氣兩相間的表面張力系數(shù),如圖1所示.

圖1 毛細(xì)力分析

該理論指出,接觸角θ完全取決于3個兩相間的表面張力系數(shù),與液柱重力無關(guān)[5].將液柱作為研究對象(如圖1中虛線框所示),其所受外力可以表示為

FCapi=2πr(σSV-σSL)=2πrσLVcosθ

(3)

可見,液柱所受毛細(xì)力FCapi取決于毛細(xì)管半徑r,液氣兩相間的表面張力系數(shù)σLV和接觸角θ.

公式(3)表明,液柱上升過程中,FCapi為恒力,方向沿著管壁向上.水柱的相鄰質(zhì)量元之間有分子吸引力,類似于細(xì)繩,鏈條內(nèi)的張應(yīng)力．所以,液柱在毛細(xì)力下的上升運(yùn)動與盤曲鏈條受恒力FChain的運(yùn)動很相似,都可以作為一維變質(zhì)量系統(tǒng)進(jìn)行研究．液柱的線密度可以表示為

λL=ρπr2

(4)

2 毛細(xì)運(yùn)動與鏈條運(yùn)動的能量分配類比

毛細(xì)現(xiàn)象發(fā)生時,毛細(xì)力大于液柱重力,即

FCapi>λLgh(h

此時液柱具有加速度,具有速度v和動能Ek.隨著液柱高度的增加,當(dāng)

FCapi=λLgh0

液柱到達(dá)其平衡位置h0.若系統(tǒng)無能量損失,液柱將繼續(xù)升高,并在毛細(xì)管中圍繞平衡位置h0作簡諧振動.然而事實(shí)并非如此,因?yàn)樽冑|(zhì)量系統(tǒng)(液柱)的質(zhì)量元之間有動能損失ΔEk>0和粘滯阻力損耗(滯阻損失)f>0.

圖2為不同的液面高度來源的3種能量分配假設(shè)．

圖2 毛細(xì)力作用下的液柱高度與能量分配關(guān)系

液面上升過程中,沒有任何能量損失(ΔEk=0,f=0)時,液面高度可達(dá)2h0;有動能損失,但無滯阻損失(ΔEk>0,f=0)時,液面高度為1.5h0;而同時有動能和滯阻損失(ΔEk>0,f>0)時,液面高度則為h0.作為類比,盤曲鏈條受豎直向上恒力FChain作用,提拉端也會有3種不同的高度,即2a0、1.5a0、a0,如圖3所示.

圖3 恒力提拉下的鏈條高度與能量分配關(guān)系

動能損失和滯阻損失可表示為

(5)

(6)

恒力做功和重力勢能增加分別表示為

WC=FCy

(7)

(8)

其中FC表示恒力,根據(jù)公式(5)～(8),表1中給出了毛細(xì)恒力FCapi或鏈條恒力FChain做功、重力勢能變化、動能損失以及滯阻損失的值,它們之間的相互關(guān)系如圖4所示.

表1 毛細(xì)上升與鏈條提拉中的能量分配值

圖4 毛細(xì)上升(鏈條提拉)中的高度與能量關(guān)系

2.1 無能量損失(ΔEk=0,f=0)

假設(shè)液面上升過程中,沒有任何能量損失.則毛細(xì)力做功將完全轉(zhuǎn)化為液柱重力勢能ΔEp的增加

(9)

得到

(10)

此時

k定義為能量系數(shù),表示液柱上升到平衡位置h0處,毛細(xì)力所做的功,即

將毛細(xì)力替換為鏈條恒力FChain,液柱線密度替換為鏈條線密度λ．由公式(9)、(10)可得,盤曲鏈條上升到平衡位置a0時,恒力做功為

升高2a0時做功為

如表1和圖4中的A點(diǎn)所示.

2.2 僅有動能損失(ΔEk>0,f=0)

假設(shè)變質(zhì)量系統(tǒng)質(zhì)量元之間僅僅發(fā)生非彈性碰撞,動能損失不可避免.又假設(shè)液柱與毛細(xì)管壁沒有摩擦阻力,以液柱為研究對象,其動力學(xué)方程可以表示為[6-8]

(11)

其中f1=λLv2為已動部分與未動部分的沖力,正是動能損失的內(nèi)力,可通過動量定理得到[8].

求解方程(11),得到液柱上升過程中的速度可以表示為

(12)

所以,當(dāng)液柱為最高點(diǎn)時,v=0,此時液柱的最大高度為

繼續(xù)求解該變質(zhì)量系統(tǒng)到達(dá)最高點(diǎn)(1.5h0)之后的動力學(xué)方程,發(fā)現(xiàn)液柱將在平衡位置h0附近,作準(zhǔn)周期的阻尼振動.

此時

將公式(12)中的v2帶入公式(5)計(jì)算動能損失

而重力勢能增加

2.3 同時存在動能損失和滯阻損失 (ΔEk>0,

f>0)

根據(jù)公式(5)～(8)定義,毛細(xì)現(xiàn)象的動力來源于毛細(xì)力FCapi做功,一部分提高液柱重力勢能ΔEp,一部分增加系統(tǒng)內(nèi)能ΔEi.很顯然,系統(tǒng)內(nèi)能為液面上升過程中的動能損失ΔEk和滯阻損失Wf之和.

ΔEi=ΔEk+ΔEf=WCapi-ΔEp

(13)

根據(jù)理論分析可知,同時存在動能損失和滯阻損失時,液面上升高度介于1.5h0與h0之間.當(dāng)滯阻損失特別大時,液柱的運(yùn)動可認(rèn)為是過阻尼振動,毛細(xì)上升最大高度為其平衡位置.公式(13)對于盤曲鏈條也適用．有趣的是,此時液柱上升或鏈條升降過程的內(nèi)能變化是恒力做功的一半,另一半為重力勢能增量,如表1和圖4中的C點(diǎn)所示,即

(14)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

公式(5)、(6)中,動能損失和滯阻損失的具體計(jì)算是十分不易的.公式(14)同樣告訴我們,ΔEk、Wf為互補(bǔ)關(guān)系.為了展示這種相反的變化趨勢,我們采用鏈條與魚漂組成變質(zhì)量運(yùn)動系統(tǒng),魚漂可以提供向上的恒力FChain(大小不變的浮力).鏈條上下運(yùn)動具有動能損失,在水中運(yùn)動也會有很大的滯阻損失.實(shí)驗(yàn)中,魚漂的平衡位置為a0=59.5 cm,將魚漂從1.5a0處靜止釋放(在水中)[8].手機(jī)拍攝其運(yùn)動軌跡視頻,Tracker軟件提取高度．

根據(jù)之前的分析,鏈條將做振幅逐漸減小的準(zhǔn)周期振動.圖5中的曲線1表示“僅僅考慮動能損失”情況下的數(shù)值模擬圖像.作為比較,曲線2為實(shí)際測量的運(yùn)動圖像.

圖5 魚漂受恒定浮力的理論(1)與實(shí)際(2)振動圖像

很顯然,實(shí)際情況下,鏈條運(yùn)動同時存在動能損失和滯阻損失,所以振幅減小,周期增加.由理論值的T1=1.54 s增加到實(shí)驗(yàn)值的T2=2.24 s.并且這種振幅與周期的變化,隨著有機(jī)玻璃透明圓柱筒(裝水容器)內(nèi)徑D的改變而變化,原因是鏈條運(yùn)動中的粘滯阻力大小會變化[9].其表達(dá)式為

(15)

圖6 不同粘滯阻力下的魚漂振動圖像比較

ΔEk和Wf之間的互補(bǔ)關(guān)系,也可以通過毛細(xì)管液面的不同上升速度來進(jìn)行驗(yàn)證,如圖7所示.

圖7 不同粘滯阻力下的液柱上升速度比較

4 總結(jié)

將毛細(xì)力看做恒定外力,毛細(xì)管中的液柱看做一維變質(zhì)量系統(tǒng),構(gòu)建了一維變質(zhì)量系統(tǒng)受恒力作用的物理模型,與盤曲鏈條受力和運(yùn)動相類似.通過3種能量假設(shè),對毛細(xì)現(xiàn)象的能量來源和分配進(jìn)行了分析.通過具體實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了理論分析的正確性,加深了學(xué)生對毛細(xì)力做功、重力勢能變化、動能損失、滯阻損失的概念及相互之間關(guān)系的理解.