圖形直觀引導(dǎo)下函數(shù)問(wèn)題的分析與解決*

福建師范大學(xué)附屬中學(xué) (350007) 周裕燕

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科,它本身具備“形”的因素.圖形能很好地直觀呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息,能讓一些比較隱蔽的數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)思想顯現(xiàn)出來(lái).很多數(shù)學(xué)問(wèn)題可以通過(guò)挖掘其中的“形”,把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象,使學(xué)生能簡(jiǎn)單、清晰地找到解決問(wèn)題的思路并預(yù)測(cè)結(jié)果,避免復(fù)雜的計(jì)算和推理.

函數(shù)問(wèn)題是高考重要的考查題型,不僅類型豐富,而且方法靈活,是考查學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的重要載體.此類問(wèn)題由于解題思路不易尋得,且求解過(guò)程較為繁瑣,是學(xué)生分析與求解的難點(diǎn)問(wèn)題.函數(shù)具備明顯的“形”的特征,本文以函數(shù)中的切線、零點(diǎn)及偏移問(wèn)題為例,闡述如果借助圖形,將復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題“直觀化”,借助圖形引導(dǎo)解題思路,揭示問(wèn)題本質(zhì),并通過(guò)邏輯論證,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決.

1.運(yùn)用圖形直觀,分析和解決函數(shù)的切線問(wèn)題

例1 若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則( ).

A.eb

B.ea

C.0

D.0

分析：當(dāng)x→-∞時(shí),曲線y=ex的切線的斜率k>0且k趨向于0,當(dāng)x→+∞時(shí),曲線y=ex的切線的斜率k>0且k趨向于+∞.結(jié)合圖象(圖1)可知,兩切線的交點(diǎn)R(a,b)應(yīng)該在x軸上方,且在曲線y=ex的下方,故0

圖1

評(píng)注：若切點(diǎn)為(x0,ex0),求出切線方程y-ex0=ex0(x-x0),由過(guò)點(diǎn)(a,b)得,b-ex0=ex0(a-x0),轉(zhuǎn)化為關(guān)于x0的方程b-ex0=ex0(a-x0)有兩解進(jìn)行判斷,運(yùn)算較為繁瑣.利用圖形直觀分析問(wèn)題,只需判斷兩條切線的交點(diǎn)(a,b)在x軸上方且在曲線y=ex下方即可解決問(wèn)題.既體現(xiàn)了借助函數(shù)的圖形分析和解決問(wèn)題的優(yōu)越性,又有助于提高直觀想象素養(yǎng).

2.運(yùn)用圖形直觀,分析和解決函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問(wèn)題

例2 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R 上的單調(diào)函數(shù),且?x∈R,f(f(x)-ex)=e+1.若函數(shù)g(x)=f(x)-k(x+2)有兩個(gè)零點(diǎn),則k的取值范圍是( ).

A.(e,+∞) B.(1,e] C.(1,+∞) D.(0,1)

析解：由題意得f(x)-ex為常數(shù),設(shè)f(x)-ex=t,

f(x)=ex+t,由函數(shù)y=f(x)為增函數(shù),及f(t)=et+t=e+1,得t=1,故f(x)=ex+1.函數(shù)y=g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=f(x)與y=k(x+2)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),畫出圖象(圖2),由圖形可直觀看出,直線y=k(x+2)與曲線y=f(x)相切時(shí)的位置是關(guān)鍵.可求得經(jīng)過(guò)(-2,0)的曲線y=f(x)的切線的斜率k=1.由圖象可知,要使y=f(x)與y=k(x+2)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),k的取值范圍為(1,+∞).故選C.

圖2

評(píng)注：本題求得函數(shù)y=f(x)的解析式,把y=g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=k(x+2)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),函數(shù)y=f(x)的圖象是常見(jiàn)、確定的,而直線y=k(x+2)過(guò)定點(diǎn)(-2,0).因此,通過(guò)圖象分析,確定關(guān)鍵(相切)位置,通過(guò)適當(dāng)計(jì)算即可解決問(wèn)題,從而避免繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算,提高解題效率.

圖3

評(píng)注：求解(2)問(wèn),先通過(guò)畫圖分析,可以確定函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),及零點(diǎn)所在的大致區(qū)域,這是突破分類難點(diǎn)的關(guān)鍵,也是解決本題的關(guān)鍵.明確分類后,進(jìn)而分區(qū)域逐一證明,在證明的過(guò)程中還需要在圖形的直觀引導(dǎo)下進(jìn)行邏輯推理論證.用圖形直觀的方法可以更加簡(jiǎn)單清晰地找到解決思路及預(yù)測(cè)結(jié)果,并引導(dǎo)解題的推理過(guò)程.

3.運(yùn)用圖形直觀,分析和解決函數(shù)的偏移問(wèn)題

例4 已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

析解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).f′(x)=-lnx,當(dāng)x=1時(shí),f′(x)=0;當(dāng)x∈(0,1)時(shí)f′(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0.故f(x)在區(qū)間(0,1]上為增函數(shù),在區(qū)間[1,+∞)上為減函數(shù).

圖4

評(píng)注：本題(2)小題通過(guò)畫圖,可以直觀發(fā)現(xiàn)m,n(m2,確定極值點(diǎn)偏向m,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)極值點(diǎn)的左右兩側(cè),圖象變化趨勢(shì).結(jié)合函數(shù)圖象特征,引導(dǎo)解題思路,并通過(guò)構(gòu)造相關(guān)函數(shù)推理論證,較為簡(jiǎn)便地解決問(wèn)題.本題是極值點(diǎn)偏移問(wèn)題,實(shí)質(zhì)上是函數(shù)中非軸對(duì)稱的問(wèn)題,由于其圖象的特殊性,可以把m(或n)通過(guò)直線x=1對(duì)稱,再通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性解決此類問(wèn)題.

圖5

由上述實(shí)例分析可見(jiàn),圖形可以為分析和解決函數(shù)問(wèn)題提供重要的直觀基礎(chǔ)和視覺(jué)支撐.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,常?？梢越柚鷪D形直觀,將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化.利用圖形描述分析問(wèn)題的思維活動(dòng),是課堂開(kāi)展思維活動(dòng)、培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的重要形式之一.在數(shù)學(xué)問(wèn)題解題教學(xué)過(guò)程中,教師應(yīng)注重滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法,利用好圖形直觀的手段與方法,幫助學(xué)生直觀地尋找解決問(wèn)題的思路,培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖、畫圖與析圖的能力,提高用圖意識(shí),促進(jìn)解題能力的提升和直觀想象的生成.