2023年新高考Ⅱ卷第21題的推廣探究*

湖南省長(zhǎng)沙市雷鋒學(xué)校 (410217) 鄧捷敏 童繼稀

本文通過(guò)對(duì)2023年新高考Ⅱ卷中的第21題,即解析幾何大題的分析,將試題結(jié)論推廣到一般情形,并類比、歸納與推理,將結(jié)論拓展到橢圓與圓中,從而得到有心圓錐曲線的一組統(tǒng)一性質(zhì).

一、試題呈現(xiàn)與反思

本題根據(jù)解析幾何研究的兩個(gè)基本問(wèn)題來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì),即第(1)問(wèn)是根據(jù)條件求曲線方程,第(2)問(wèn)是根據(jù)曲線方程來(lái)研究性質(zhì).有趣的是兩條直線的交點(diǎn)P在垂直于x軸的定直線上,從而引發(fā)我們產(chǎn)生以下疑問(wèn):

問(wèn)題1 為什么題意中強(qiáng)調(diào)直線MN與雙曲線相交于左支呢?如果相交于兩支,點(diǎn)P是否還在定直線上?

問(wèn)題2 直線MN可否過(guò)雙曲線焦點(diǎn)所在軸上的任意一定點(diǎn)?

問(wèn)題3 試題中的結(jié)論在一般的雙曲線中是否也成立?該結(jié)論的逆命題是否成立?

問(wèn)題4在其他圓錐曲線中是否也有類似結(jié)論?

以下對(duì)這4個(gè)疑問(wèn)進(jìn)行綜合探究.

二、結(jié)論推廣與拓展

將問(wèn)題1、問(wèn)題2與問(wèn)題3放在一起考慮,經(jīng)探究,可得如下結(jié)論:

當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)和點(diǎn)D在y軸上時(shí),有相同結(jié)論如下:

若將性質(zhì)1的條件與結(jié)論互換,即逆命題也成立.

根據(jù)圖形的對(duì)稱性,若直線MN過(guò)定點(diǎn),則定點(diǎn)必在x軸上.令方程①中的y=0,則

將性質(zhì)1類比到焦點(diǎn)在x軸上的橢圓中時(shí),可得如下3個(gè)類似的結(jié)論:

當(dāng)橢圓焦點(diǎn)和點(diǎn)D在y軸上時(shí),有相同結(jié)論如下:

令性質(zhì)3中的a=b,從而得到圓中的一個(gè)類似結(jié)論:

以上性質(zhì)的證明與性質(zhì)1、性質(zhì)2類似,讀者可自行證明.

三、結(jié)語(yǔ)

本文在類比、歸納與推理的研究過(guò)程中,對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行推廣與拓展,得到了一般性的結(jié)論.類比、歸納與推理是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的常見(jiàn)方法,結(jié)論推廣其實(shí)就是類比和歸納的過(guò)程,也是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的落實(shí)過(guò)程.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)》指出,“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的育人價(jià)值在于通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系,積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”[1].如果能把這種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用在高考復(fù)習(xí)備考中,讓學(xué)生體驗(yàn)和經(jīng)歷已知數(shù)學(xué)命題的推廣過(guò)程,那么學(xué)生就能夠在新的情境中選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題,自然也就能達(dá)到提升高考復(fù)習(xí)備考效果的目的.