純滾動單圓弧齒輪多目標(biāo)模糊優(yōu)化設(shè)計*

趙林林

(江蘇財經(jīng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能工程技術(shù)學(xué)院, 江蘇 淮安 223003)

0 引 言

目前,國內(nèi)很多專家[1-13]已經(jīng)對圓弧齒輪傳動采用的模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計、多目標(biāo)粒子群優(yōu)化方法、函數(shù)逼近的有限元優(yōu)化方法及有機結(jié)合多目標(biāo)粒子群算法、均勻試驗設(shè)計、穩(wěn)健設(shè)計、靈敏度分析等方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計,但還未發(fā)現(xiàn)專門針對純滾動單圓弧齒輪參數(shù)進(jìn)行的優(yōu)化設(shè)計。

筆者首次提出一種新型的純滾動單圓弧齒輪傳動的多目標(biāo)模糊優(yōu)化設(shè)計方法。根據(jù)赫茲彈性接觸理論,齒面的相對主曲率半徑最大,齒面的接觸應(yīng)力越小,其接觸強度就越高,因此確定純滾動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑最大為優(yōu)化目標(biāo)一;出于減小體積、降低質(zhì)量、節(jié)省材料并降低使用成本的目的,而確定純滾動單圓弧齒輪傳動機構(gòu)的總體積最小為優(yōu)化目標(biāo)二;由于重合度影響純滾動單圓弧齒輪的傳動質(zhì)量,重合度越大,齒輪傳動的承載能力越高,傳動越平穩(wěn),齒輪傳動系統(tǒng)的振動和噪聲會減輕,因而確定純滾動單圓弧齒輪的重合度最大為優(yōu)化目標(biāo)三。

筆者通過綜合利用模糊評判方法和多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法,以相對主曲率半徑最大、重合度最大和齒輪傳動總體積最小為優(yōu)化目標(biāo),建立了純滾動單圓弧齒輪傳動機構(gòu)的多目標(biāo)模糊優(yōu)化模型,并對其進(jìn)行了單目標(biāo)分析和多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。其結(jié)果對提高純滾動單圓弧齒輪的接觸性能和承載能力、降低其傳動機構(gòu)的體積具有一定的意義。

1 優(yōu)化設(shè)計模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

(1) 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)一

純滾動單圓弧齒輪的嚙合齒面為一對共軛齒面,根據(jù)赫茲彈性接觸理論可知,純滾動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑越大,其齒面接觸應(yīng)力越小,則接觸強度就越高。

純滾動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑ρn[14]的計算公式為:

[ρsin3α(r1+ρsinαsin2β+Xsin2β)-X2cos2β-Xρsinαcos2β]

(1)

式中:X為齒廓圓心移距量;L為齒廓圓心偏移量;α為齒形角,取逆時針為正;r為節(jié)圓半徑;β為齒輪的螺旋角;ρ為圓弧齒廓的曲率半徑。

定義相對主曲率半徑的倒數(shù)最小為第一目標(biāo)函數(shù),即:

(2)

(2) 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)二

純滾動單圓弧齒輪的重合度越大,齒輪傳動的承載能力越高,傳動越平穩(wěn),齒輪傳動系統(tǒng)的振動和噪聲就會減輕,純滾動單圓弧齒輪的傳動質(zhì)量則會提高。純滾動單圓弧齒輪的縱向重合度為:

(3)

因此,定義純滾動單圓弧齒輪的縱向重合度的倒數(shù)最小作為第二目標(biāo)函數(shù),即:

(4)

(3) 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)三

在保證純滾動單圓弧齒輪具有良好的接觸性能和承載能力的情況下,應(yīng)盡量減少純滾動單圓弧齒輪的體積,降低質(zhì)量,以達(dá)到節(jié)省材料并降低使用成本的目的。純滾動單圓弧齒輪傳動機構(gòu)的體積V為:

(5)

定義純滾動單圓弧齒輪的體積和最小作為第三目標(biāo)函數(shù),即:

f3(x)=min (V)

(6)

1.2 設(shè)計變量

1.3 約束條件

根據(jù)實際情況,分別對純滾動單圓弧齒輪的法向模數(shù),凸圓弧齒輪的齒數(shù)、齒寬、螺旋角、齒廓圓弧半徑進(jìn)行上下限約束,即:限制純滾動單圓弧齒輪的法向模數(shù)為:1≤mn≤5,限制純滾動凸圓弧齒輪的齒數(shù)為:17≤z1≤60,限制純滾動凸圓弧齒輪的齒寬系數(shù)為:0.4≤φ≤1,限制純滾動單圓弧齒輪螺旋角為:10°≤β≤25°,限制純滾動凸圓弧齒輪的齒廓圓弧半徑為:1.2≤ρ*≤3。

根據(jù)單圓弧齒輪的約束設(shè)計變量(法向模數(shù)、齒數(shù)、齒寬系數(shù)、螺旋角、齒廓圓弧半徑系數(shù))對其進(jìn)行模糊約束取值,如表1所列。

表1 模糊約束取值的上下限

設(shè)計變量按照梯形分布,利用擴增系數(shù)法確定邊界過渡區(qū),區(qū)間上界限的擴增系數(shù)取值為1.1,下界限的擴增系數(shù)取值為0.9,得到單圓弧齒輪的設(shè)計變量約束截集為:

(7)

按照降半梯形法確定單圓弧齒輪的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力等性能約束,并結(jié)合齒輪的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力從完全許用到不完全許用的中間過渡過程,得到純滾動單圓弧齒輪的性能約束截集為:

(8)

因此模糊優(yōu)化約束條件為:

g1(x)=1+λ*-x1≤0

g2(x)=x1-(6-λ*)≤0

g3(x)=17+2λ*-x2≤0

g4(x)=x2-(62-2λ*)≤0

g5(x)=0.45+0.1λ*-x3≤0

g6(x)=x3-(1.5-0.14λ*)≤0

g7(x)=8+4λ*-x4≤0

g8(x)=x4-(26-4λ*)≤0

g9(x)=1.3+0.3λ*-x5≤0

g10(x)=x5-(3.1-0.3λ*)≤0

考慮純滾動單圓弧齒輪傳動機構(gòu)的設(shè)計要求和模糊約束的性質(zhì)可知,具體的約束邊界是由模糊約束截集水平值λ來決定的,模糊約束截集水平值越大,則約束邊界就會越向安全許用區(qū)靠近,因此不考慮隸屬度小于0.5的值,確定模糊約束截集水平值為:

λ=[0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 1]

(9)

共有六個因素影響純滾動單圓弧齒輪傳動機構(gòu)的優(yōu)化,分別是制造水平、材料好壞、使用條件、設(shè)計水平、維修費用、重要程度,如表2所列[11],每一個因素按照五個等級進(jìn)行劃分,各因素等級的隸屬度如表3所列[11]。

表2 影響因素的等級

表3 各個因素等級的隸屬度

利用權(quán)向量表示各因素在設(shè)計中影響的重要程度,它能夠反映各個因素和各個因素等級影響模糊約束截集水平值λ,各個因素的權(quán)向量A取值為:

A=[0.25 0.25 0.15 0.1 0.15 0.1]

(10)

然后歸一化處理單因素的評價結(jié)果,并綜合評價結(jié)果,根據(jù)截集分檔情況來確定截集元素的取值范圍為0～1之間。在此區(qū)間內(nèi),劃分若干個等級與其相對應(yīng),然后對每一個因素評語等級的等級評判矩陣進(jìn)行確定。如果各個因素的等級評判矩陣相同,則可根據(jù)專家打分法來取值。二級綜合評判矩陣通過模糊矩陣乘法進(jìn)行評判,最優(yōu)水平截集λ*通過截集加權(quán)平均計算得到,即λ*=0.698,將計算得到的最優(yōu)水平截集值λ*代入到約束條件中,就可以將純滾動單圓弧齒輪傳動的模糊優(yōu)化設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為普通優(yōu)化設(shè)計問題[15]。

2 優(yōu)化方法

純滾動單圓弧齒輪的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計為具有約束條件的非線性規(guī)劃優(yōu)化設(shè)計問題,利用MATLAB軟件[16]中自帶的fmincon函數(shù)進(jìn)行純滾動單圓弧齒輪傳動機的構(gòu)模糊優(yōu)化設(shè)計。fmincon函數(shù)是一種局部優(yōu)化函數(shù),原理是給定初始點后,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),在滿足約束條件下,沿著目標(biāo)函數(shù)的下降方向進(jìn)行迭代,直至收斂。

多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題的求解中,可能存在各個分目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解相互矛盾,有時甚至是完全對立的,很難得到完全解。因此在實際工程應(yīng)用中,需要根據(jù)目標(biāo)的重要性對目標(biāo)進(jìn)行加權(quán)量化,并構(gòu)造適當(dāng)?shù)脑u價函數(shù)來進(jìn)行求解。因此,基于上述分析,采用線性組合法將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題,則構(gòu)造純滾動單圓弧齒輪的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為:

f(x)=107w1f1(x)+107w2f2(x)+w3f3(x)

(11)

式中:w1、w2、w3分別為目標(biāo)函數(shù)f1(x)、f2(x)、f3(x)的加權(quán)系數(shù),w1+w2+w3=1。

由于fmincon函數(shù)的最優(yōu)解和初值的選取關(guān)系密切,要選取合適的初值,需要分析純滾動單圓弧齒輪的單個設(shè)計參數(shù)對每個目標(biāo)的影響規(guī)律。

3 優(yōu)化設(shè)計

3.1 單目標(biāo)分析

當(dāng)設(shè)計變量中的任意一個參數(shù)發(fā)生變化,而其余參數(shù)不發(fā)生改變時,可以得出純滾動單圓弧齒輪的單個參數(shù)對單個優(yōu)化目標(biāo)的影響規(guī)律。取x=[3,23,0.6,18.55,1.5]T,得到法向模數(shù)對單目標(biāo)函數(shù)影響曲線如圖1所示。由圖1可知:隨著法向模數(shù)由1增加到5,相對主曲率半徑的倒數(shù)呈遞減趨勢,對縱向重合度沒有影響,而體積和呈遞增趨勢,綜合考慮,法向模數(shù)在[2.5 3]之間取值,能夠滿足優(yōu)化目標(biāo)條件。

圖1 法向模數(shù)對單目標(biāo)函數(shù)的影響曲線

改變純滾動凸圓弧齒輪的齒數(shù)z1,使其從17增加到60,得到純滾動凸圓弧齒輪的齒數(shù)對單目標(biāo)函數(shù)的影響曲線如圖2所示。從圖2中可以看出,齒數(shù)對純滾動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑影響不是很大,縱向重合度的倒數(shù)呈遞減趨勢,體積和呈遞增趨勢。綜合考慮,純滾動單圓弧齒輪的齒數(shù)z1=35左右取值,能夠滿足優(yōu)化目標(biāo)條件。

圖2 純滾動凸圓弧齒輪的齒數(shù)對單目標(biāo)函數(shù)的影響曲線

齒寬系數(shù)對相對主曲率半徑?jīng)]有影響,將純滾動單圓弧齒輪的齒寬系數(shù)φ從0.4增加到1,得到齒寬系數(shù)對單目標(biāo)函數(shù)的影響曲線如圖3所示。從圖3中可以看出,縱向重合度的倒數(shù)呈遞減趨勢,體積和呈遞增趨勢,齒寬系數(shù)對重合度的影響較大。

將純滾動單圓弧齒輪的螺旋角β從10°增加到25°,得到螺旋角對單目標(biāo)函數(shù)的影響曲線如圖4所示。由圖4可知,相對主曲率半徑的倒數(shù)幾乎沒有影響;縱向重合度的倒數(shù)呈遞減趨勢;而體積和呈遞增趨勢,幾乎不變。即螺旋角對縱向重合度的影響很大,而對其余兩個目標(biāo)影響不大。

圖4 螺旋角對單目標(biāo)函數(shù)的影響曲線

齒廓系數(shù)對單目標(biāo)函數(shù)的影響曲線如圖5所示。由圖5可知,純滾動單圓弧齒輪的齒廓系數(shù)對第二個和第三個目標(biāo)函數(shù)沒有任何影響,即純滾動凸圓弧齒輪的齒廓系數(shù)不影響純滾動單圓弧齒輪的縱向重合度和體積和,只對相對主曲率半徑有影響,且?guī)缀醪蛔儭?/p>

圖5 齒廓系數(shù)對單目標(biāo)函數(shù)的影響曲線

上述結(jié)果表明,通過改變純滾動單圓弧齒輪的設(shè)計變量能夠?qū)儩L動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑、縱向重合度、體積和的影響進(jìn)行量化。在設(shè)計變量中,法向模數(shù)對純滾動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑影響權(quán)重最大,其次是齒數(shù)、齒廓系數(shù),螺旋角對目標(biāo)函數(shù)一幾乎沒有影響,齒寬系數(shù)對目標(biāo)函數(shù)一沒有影響;齒數(shù)、齒寬系數(shù)、螺旋角對縱向重合度影響大,且隨之增加而減小,其他參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)二沒有影響;法向模數(shù)、齒數(shù)、齒寬系數(shù)對齒輪體積和影響大,且隨之增加而增加,螺旋角對目標(biāo)函數(shù)三影響較小,齒廓系數(shù)對目標(biāo)函數(shù)三沒有影響。影響程度從高到低的排序為:法向模數(shù)、齒數(shù)、齒寬系數(shù)、螺旋角、齒廓系數(shù)。在對純滾動單圓弧齒輪的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計中,通過對上面幾個參數(shù)的合理選擇,能夠提高純滾動單圓弧齒輪的接觸性能和承載能力,并減少純滾動單圓弧齒輪的體積,降低質(zhì)量,可達(dá)到節(jié)省材料并降低使用成本的目的。

3.2 多目標(biāo)優(yōu)化

根據(jù)單參數(shù)對單目標(biāo)函數(shù)的影響規(guī)律分析結(jié)果可知,法向模數(shù)主要影響相對主曲率半徑與體積和;齒數(shù)、齒廓系數(shù)主要影響縱向重合度和體積和;螺旋角主要影響縱向重合度,即齒廓系數(shù)對三個目標(biāo)函數(shù)的影響都不是很大,因此取齒廓系數(shù)ρ*=1.5;將重合度轉(zhuǎn)化為約束條件,即0

利用MATLAB軟件,編寫純滾動單圓弧齒輪傳動模型優(yōu)化設(shè)計程序,以x=[3,23,0.6,18.55]T為初始值,其目標(biāo)函數(shù)值為[0.082 7,0.678 4,1.193 3e+06]T;取最優(yōu)水平截集值λ*為0.698,計算得到的模糊優(yōu)化的最優(yōu)解為:x=[ 1.698 0 18.396 0 0.519 8 10.792 0]T,根據(jù)前面的分析,取x=[1.7,20,0.5,18.55]T,計算得出f1(x)=0.169 91,f2(x)=1.01,f3(x)=1.17×105。利用多目標(biāo)模糊優(yōu)化設(shè)計方法計算得出在mn=1.7,z1=20,φ=0.5,β=18.55°,ρ*=1.5時,能夠提高純滾動單圓弧齒輪的接觸性能和承載能力,并降低純滾動單圓弧齒輪傳動機構(gòu)的體積和。

4 結(jié) 語

文章綜合利用模糊評判方法和優(yōu)化設(shè)計方法,以純滾動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑最大、重合度最大和體積和最小為優(yōu)化設(shè)計目標(biāo),建立了純滾動單圓弧齒輪傳動機構(gòu)多目標(biāo)的模糊優(yōu)化模型,提出模糊優(yōu)化的約束條件,對單目標(biāo)進(jìn)行了分析,然后利用MATLAB軟件中自帶的fmincon函數(shù)對純滾動單圓弧齒輪進(jìn)行多目標(biāo)模糊優(yōu)化設(shè)計。

通過設(shè)計分析得出:法向模數(shù)對純滾動單圓弧齒輪的相對主曲率半徑影響權(quán)重最大,其次是齒數(shù)、齒廓系數(shù),螺旋角對目標(biāo)函數(shù)一幾乎沒有影響,齒寬系數(shù)對目標(biāo)函數(shù)一沒有影響;齒數(shù)、齒寬系數(shù)、螺旋角對縱向重合度影響大,且隨之增加而減小,其他參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)二沒有影響;法向模數(shù)、齒數(shù)、齒寬系數(shù)對齒輪體積和影響大,且隨之增加而增加,螺旋角對目標(biāo)函數(shù)三影響較小,齒廓系數(shù)對目標(biāo)函數(shù)三沒有影響。影響程度從高到低的排序為:法向模數(shù)、齒數(shù)、齒寬系數(shù)、螺旋角、齒廓系數(shù)。利用多目標(biāo)模糊優(yōu)化設(shè)計方法計算得出,在mn=1.7,z1=20,φ=0.5,β=18.55°,ρ*=1.5時,能夠提高純滾動單圓弧齒輪的接觸性能和承載能力,并降低純滾動單圓弧齒輪傳動機構(gòu)的體積和,其分析結(jié)果為改善純滾動單圓弧齒輪的受力和輕量化設(shè)計具有重要意義。