一道2022年聯(lián)賽試題的探究及在高考中的應(yīng)用

王東海

(安徽省合肥市肥東縣城關(guān)中學(xué),安徽 合肥 231600)

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題一直是高考及聯(lián)賽的熱點(diǎn)和難點(diǎn),頗受命題者的青睞.在這類考題的命題中往往都是探求一些特殊結(jié)論,這些結(jié)論看似特殊,實(shí)則往往都具有普遍性.我們在解答考題后要深入拓展到一般情況,還要注意探尋其他圓錐曲線的對偶性質(zhì).下面以2022年四川數(shù)學(xué)聯(lián)賽一道圓錐曲線試題的探究為例進(jìn)行說明.

1 真題呈現(xiàn)

題目(2022年四川預(yù)賽第9題)如圖1所示,ABCD是一個(gè)矩形,AB=8,BC=4,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn),以某動(dòng)直線l為折痕將矩形在其下方的部分翻折,使得每次翻折后點(diǎn)M都落在邊CD上,記為點(diǎn)M′,過點(diǎn)M′作M′P垂直于CD交直線l于點(diǎn)P.設(shè)點(diǎn)P的軌跡是曲線E.

圖1 2022年四川預(yù)賽第9題圖

(1)建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求曲線E的方程;

2 解法探究

圖2 第(2)小問幾何圖

消元,得x2+8kx-8=0.

①

由韋達(dá)定理知x1+x2=-8k,x1x2=-8.

②

(-x1,1-y1)=λ(x2,y2-1).

所以x1=-λx2.

解法2 (點(diǎn)參法)設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)為S(x1,y1),T(x2,y2),因?yàn)镾,T在拋物線上,有

③

④

x1=-λx2,y1-1=-λ(y2-1).

將此式代入③,得

再將④式代入,得

又根據(jù)題意知-4≤x2≤4,且由

評注首先設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),然后推出含有五個(gè)未知數(shù)x1,y1,x2,y2,λ的四個(gè)方程,再通過消元處理可以得到x2與λ的一個(gè)等式.最后由點(diǎn)T的橫坐標(biāo)x2的范圍來確定λ的取值范圍.

解法3 (定比點(diǎn)差法)設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)為S(x1,y1),T(x2,y2),因?yàn)镾,T兩點(diǎn)在拋物線上,有

③

④

x1=-λx2,y1-1=-λ(y2-1).

④×λ2-③,得

從而λ2y2=1-λ(y2-1)+2λ2-2.

而由題意知0≤y2<2,

⑤

且由0≤y1<2,0≤1-λ(y2-1)<2,

⑥

評注先利用定比點(diǎn)差法確定出坐標(biāo)y2與λ的等量關(guān)系,再由坐標(biāo)y2的范圍定出λ的范圍.使用定比點(diǎn)差法的關(guān)鍵在于根據(jù)方程特點(diǎn)先配比好系數(shù)然后作差,相比解法2運(yùn)算量少一些.

代入拋物線方程,得

整理,得cos2θ·t2+8sinθ·t-8=0.

評注對于分點(diǎn)弦這類問題,使用直線的參數(shù)方程是常用方法.這是因?yàn)閠的幾何意義恰能方便表示線段之比問題,但準(zhǔn)確理解直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解題的基礎(chǔ).

由拋物線參數(shù)方程可設(shè)T(8t,2-8t2),則得點(diǎn)S(-8λt,1-λ(1-8t2)),

將點(diǎn)S代入拋物線方程,可得

⑦

評注利用拋物線參數(shù)方程實(shí)際上還是先確定t和λ的等量關(guān)系,再由坐標(biāo)t的范圍確定λ的范圍.

3 推廣探究

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞曾說:“沒有任何一個(gè)題目是徹底完成了的,總還會(huì)有些事情可以做.”細(xì)品解題過程,筆者發(fā)現(xiàn)第(2)問的解答值得探究,筆者思考,對于一般性的拋物線有無一個(gè)統(tǒng)一的結(jié)論呢?需不需要也截取拋物線的一段呢?如果背景的圓錐曲線換成橢圓、雙曲線,是否仍有類似的結(jié)論呢[1]?基于以上思考,筆者探究得到如下結(jié)論:

圖3 結(jié)論1幾何圖

從而得m-x1=λ(x2-m),-y1=λy2.

所以x1=m-λ(x2-m),

⑧

y1=-λy2.

⑨

又S,T兩點(diǎn)在拋物線上,代入,得

⑩

所以λ2x2-x1=0=λ2x2-m+λ(x2-m).

圖4 結(jié)論2幾何圖

所以m-x1=λ(x2-m),-y1=λy2.

所以x1=m-λ(x2-m),

⑧

y1=-λy2.

⑨

又S,T兩點(diǎn)在橢圓上,代入,得

則(x2λ-m-λm+λx2)(x2λ+m+λm-λx2)=(λ2-1)a2.

而由題意知-a≤x2≤a.

即2mλ[(a-m)λ-a-m]≤0.

圖5 結(jié)論3幾何圖

所以m-x1=λ(x2-m),-y1=λy2.

所以x1=m-λ(x2-m),

⑧

y1=-λy2.

⑨

又S,T兩點(diǎn)在雙曲線上,則有

將⑧代入上式,得

而由題意知x2≤-a,

4 變式探究

此道四川聯(lián)賽試題,如果我們將題中λ變?yōu)槌?shù),而將定點(diǎn)F改為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(λ,0),那么此動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)λ的取值范圍又是怎樣的呢?

(1)求橢圓Γ的方程;

解析(1)易得橢圓Γ:x2+4y2=1.

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在橢圓上,故

又λ=0不合題意,將式代入,得

我們根據(jù)這道變式題,也可以把它推廣到一般情形 :

證明方法類似于結(jié)論2的定比點(diǎn)差法,略.

將直線AB參數(shù)方程代入橢圓方程x2+4y2=4b2,得(c+tcosθ)2+4t2sin2θ-4b2=0.

將其代入上式,得

化簡此式可得tan2θ=2.

根據(jù)這道變式題,可以把它推廣到一般情形:

5 結(jié)論應(yīng)用

解析設(shè)l的縱截距為b,則e=1,k=-b.

6 結(jié)束語

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們不能滿足于將問題解決了就萬事大吉,而是要進(jìn)一步進(jìn)行探究.我們可以進(jìn)行解法探究,也可以將問題一般化進(jìn)行拓展研究,還可以進(jìn)行變式研究.在教學(xué)中,教師要為學(xué)生提供探究的機(jī)會(huì),讓學(xué)生在探究中體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂,讓探究成為一種習(xí)慣.