一元三次方程韋達(dá)定理及其應(yīng)用

劉海濤

(1.安徽省蕪湖市第一中學(xué),安徽 蕪湖 241000;2.新青年數(shù)學(xué)教師工作室,安徽 蕪湖 241000)

在教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn),在高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽或一些高校的強(qiáng)基考試中,經(jīng)常會出現(xiàn)對一元三次方程的韋達(dá)定理的考查,甚至在一些省、市的高考模擬卷中也偶有考查.但是學(xué)生對此知識點(diǎn)知之甚少(該定理不屬于高中教材內(nèi)容),少部分學(xué)生雖知道該定理卻不會應(yīng)用,導(dǎo)致普遍對涉及該定理的問題望而生畏、望而卻步,從而被動放棄,實在可惜.筆者通過梳理近些年的相關(guān)考題,在介紹一元三次方程的韋達(dá)定理的基礎(chǔ)上,從該定理在不同問題上的應(yīng)用予以分類,整理成文,以供讀者學(xué)習(xí)、交流之用,以期拋磚引玉[1].

1 定理的介紹

證明由a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=a[x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x3x1)x-x1x2x3],得

-a(x1+x2+x3)=b,

a(x1x2+x2x3+x3x1)=c,

-ax1x2x3=d,

化簡得證.

說明該定理是在復(fù)數(shù)域內(nèi),即三個根(x1,x2,x3)可為實數(shù)也可為虛數(shù).

2 定理的應(yīng)用

2.1 在三次方程中的直接應(yīng)用

解析由韋達(dá)定理得a+b+c=3,ab+bc+ca=-2,abc=-1,則

=a4b4+b4c4+c4a4

=(a2b2+b2c2+c2a2)2-2(a4b2c2+a2b4c2+a2b2c4)

=[(ab+bc+ca)2-2abc(a+b+c)]2-2a2b2c2[(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)]=74.

2.2 在函數(shù)問題中的應(yīng)用

2.2.1求函數(shù)的解析式

例2設(shè)α,β,γ為方程x3-x+1=0的三個實根,求一個三次項系數(shù)為1的三次函數(shù)f(x),使方程f(x)=0的三根分別為1+α2,1+β2,1+γ2.

解析由韋達(dá)定理,得α+β+γ=0,αβ+βγ+γα=-1,αβγ=-1,則

α2+β2+γ2=2,(αβ)2+(βγ)2+(γα)2=1.

不妨設(shè)f(x)=x3+ax2+bx+c,則

a=-[(1+α2)+(1+β2)+(1+γ2)]=-5,

b=(1+α2)(1+β2)+(1+β2)(1+γ2)+(1+γ2)(1+α2)=8,

c=-(1+α2)(1+β2)(1+γ2)=-5.

故f(x)=x3-5x2+8x-5.

評注該題為2021年天津大學(xué)強(qiáng)基考題,該題實為考查一元三次方程韋達(dá)定理的正向、逆向使用.

2.2.2研究三次函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系

例3 已知函數(shù)f(x)=x(x-3)2,若存在f(a)=f(b)=f(c),a

A.1

C.a+b>2 D.abc∈(0,4)

解析求導(dǎo)得f′(x)=3(x-1)(x-3).

易知f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減,極小值f(3)=0,極大值f(1)=4.

設(shè)f(a)=f(b)=f(c)=k,易知k∈(0,4),a∈(0,1),b∈(1,3),不難判斷出函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上屬于極值點(diǎn)左移,有a+b>2.

由f(x)=k得方程x3-6x2+9x-k=0,其中a,b.c為該方程三個根.

由韋達(dá)定理得a+b+c=6,abc=k∈(0,4).

故選BCD.

評注該題為2023年深圳市一?？碱}的11題,網(wǎng)上有深圳市老師反映該題得分率較低,多數(shù)學(xué)生不知道如何判斷B,D兩選項的正確與否,少部分學(xué)生答對也是靠對函數(shù)圖象的直觀性做出的猜測.事實上,若考生考前了解過一元三次方程的韋達(dá)定理,則可較為快速、準(zhǔn)確地解出該題.

2.2.3求函數(shù)的最小值

解析設(shè)方程x3-ax2+bx-a=0的三個正實根分別為α,β,γ,則

α+β+γ=αβγ=a,αβ+βγ+γα=b.

由三元均值不等式,得

由(α+β+γ)2≥3(αβ+βγ+γα),得a2≥3b.

評注該題為2020年第十屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克考試第1天的第1題.作為一項重大競賽考題,該題的難度偏小,主要考查一元三次方程的韋達(dá)定理和兩個三元不等式,是一個可以輕松“拿分”的數(shù)學(xué)競賽考題.

2.3 在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用

例5 求下列三式的值:

(1)cos40°+cos80°+cos°160°;

(2)cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°·cos40°;

(3)cos40°cos80°cos160°.

于是得到

(1)cos40°+cos80°+cos160°=0;

評注該題為華東師范大學(xué)出版社出版的《數(shù)學(xué)奧林匹克小叢書》上的一道題,解答該題的關(guān)鍵在于數(shù)系一元三次方程的韋達(dá)定理的三式結(jié)構(gòu)特征,以及三倍角余弦公式.

2.4 在數(shù)論問題中的應(yīng)用

例6 已知a,b,c∈Z,且a+b+c=0,求證:2(a4+b4+c4)是一個完全平方數(shù).

證明構(gòu)造方程x3+mx2+nx+k=0(m,n,k∈Z),其中a,b,c是該方程的三個整數(shù)根,由韋達(dá)定理得m=0,n=ab+bc+ca,k=-abc.

由方程得a3=-(na+k),b3=-(nb+k),c3=-(nc+k).

所以2(a4+b4+c4)=-2n(a2+b2+c2)-2k(a+b+c)=-2n[(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)]=(2n)2,是一個完全平方數(shù).

評注該題對高中數(shù)學(xué)競賽生來說,是一道很平常的數(shù)論練習(xí)題,方法也有很多,但是利用一元三次方程(這里是整數(shù)域下的三次方程)的韋達(dá)定理解題,能起到事半功倍的效果,給人耳目一新的感覺[2].

2.5 在復(fù)數(shù)問題中的應(yīng)用

例7 已知三個復(fù)數(shù)a,b,c的模均為1,且a+b+c=1,abc=1,求a,b,c.

所以ab+bc+ca=abc=1.

由此可得a,b,c為方程x3-x2+x-1=0的三個根,因式分解方程可得(x-1)(x2+1)=0.

故{a,b,c}={1,i,-i}.

2.6 在不等式問題中的應(yīng)用

例8 設(shè)a,b,c是實數(shù),方程x3+ax2+bx+c=0有三個正根,證明:2a3+9c≤7ab,并且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)這3個正根相等.

證明設(shè)題中方程的三個正根分別為α,β,γ,由韋達(dá)定理,得

α+β+γ=-a,αβ+βγ+γα=b,αβγ=-c.

2a3+9c-7ab=-2(α+β+γ)3-9αβγ+7(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)=(α+β+γ)[7(αβ+βγ+γα)-2(α+β+γ)2]-9αβγ=(α+β+γ)[3(αβ+βγ+γα)-2(α2+β2+γ2)]-9αβγ=(α2β+αβ2+β2γ+βγ2+γ2α+γα2)-2(α3+β3+γ3)=-(α3+β3-α2β-αβ2)-(β3+γ3-β2γ-βγ2)-(γ3+α3-γ2α-γα2)=-(α+β)(α-β)2-(β+γ)(β-γ)2-(γ+α)(γ-α)2≤0,當(dāng)且僅當(dāng)α=β=γ時取等號,故得證.

評注該題是2014年北京大學(xué)夏令營考題,利用韋達(dá)定理將2a3+9c-7ab轉(zhuǎn)化為關(guān)于三正根α,β,γ的表達(dá)式,代數(shù)化簡即可得證.

2.7 在立體幾何中的應(yīng)用

例9 已知長方體的體積為1,長、寬、高之和為k,表面積為2k,求實數(shù)k的取值范圍.

解析設(shè)該長方體的長、寬、高分別為a,b,c,則a+b+c=k,ab+bc+ca=k,abc=1,則可將a,b,c視作方程x3-kx2+kx-1=0的三根.

又該方程可因式分解為(x-1)[x2-(k-1)x+1]=0,不妨設(shè)a=1,則b,c是方程x2-(k-1)x+1的兩根.

評注題中三個條件恰好得到一元三次方程的韋達(dá)定理式的三個結(jié)構(gòu)式,自然將長、寬、高作為一元三次方程的三根,借助三次方程解題.

2.8 在三角形中的應(yīng)用

例10 已知△ABC的三邊分別為a,b,c,周長為2,求證:a2+b2+c2+2abc<2.

證明由題知a+b+c>2c,易得0

不等式a2+b2+c2+2abc<2等價于a2+b2+c2+2abc1+abc.

設(shè)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),化簡得

f(x)=x3-2x2+(ab+bc+ca)x-abc.

問題等價于證明f(1)>0.

而由a,b,c∈(0,1),得證f(1)=(1-a)(1-b)(1-c)>0.

評注對于ab+bc+ca>1+abc的證明,解法多樣,但是利用一元三次方程的韋達(dá)定理解題卻是最簡便的.

3 結(jié)束語

一元三次方程的韋達(dá)定理雖沒有出現(xiàn)在教材中,也不屬于高中數(shù)學(xué)的知識點(diǎn),但是通過文中的推導(dǎo),我們不難發(fā)現(xiàn),對于高中生而言該定理的理解完全不成問題,可以作為一種新定義題來命制題目,來考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)能力.基于此,筆者認(rèn)為,在日常的教學(xué)中,廣大一線教師可以考慮介紹一些介于高中與大學(xué)之間的數(shù)學(xué)知識,尤其是從數(shù)學(xué)邏輯推理的角度予以介紹,并給出證明過程,并輔之適量的習(xí)題以供訓(xùn)練,這樣,學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和知識儲備都將得到大幅提升,高考中的優(yōu)勢自然明顯,將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也必將順利.在介紹教材之外的知識點(diǎn)時,更重要的是讓學(xué)生親歷知識的生成過程,知道概念的由來、定理的具體推導(dǎo),從而掌握其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法[3],這樣,在遇到一道陌生問題時,學(xué)生才具有分析問題、解決問題的能力,考試自然能取得理想的成績[4].