解析幾道以迭代數(shù)列為背景的高考題

薛紅利

(長(zhǎng)春第六中學(xué),吉林 長(zhǎng)春 130000)

高考題一般都是大學(xué)老師命制的,所以高考題尤其是高考?jí)狠S題,有高等數(shù)學(xué)背景也是常有的事.這就要求一線教師不僅要會(huì)做高考?jí)狠S題,還要弄清楚高考?jí)狠S題的高數(shù)背景,這樣才能看清試題的命制思路和背景,才能更好地服務(wù)于教學(xué).

1 預(yù)備知識(shí)

定義稱xn+1=f(xn),n=1,2,…為迭代數(shù)列,稱其中的f(x)為迭代函數(shù).(以下均假設(shè)f與n無(wú)關(guān))[1].

定理2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào),數(shù)列{xn}滿足迭代公式xn+1=f(xn),n∈N*,且xn∈I,n∈N*,則只有兩種可能:

(1)當(dāng)f(x)為單調(diào)遞增時(shí),{xn}為單調(diào)數(shù)列;

(2)當(dāng)f(x)為單調(diào)遞減時(shí),{xn}的子列{x2n-1}和{x2n}是具有相反單調(diào)性的兩個(gè)單調(diào)子列.

其幾何解釋如下圖:

圖1 定理2幾何解釋

2 高考試題及其背景分析

(1)若b=1,求a2,a3及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若b=-1,問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n

an+1=f(an).

下面用數(shù)學(xué)歸納法加強(qiáng)命題:a2n

所以a2

假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)命題成立,即

a2k

因?yàn)閒(x)在(-∞,1]上單調(diào)遞減,所以c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2.所以1>c>a2k+2>a2.所以c=f(c)

本題以迭代數(shù)列為背景,考查迭代數(shù)列的極限.由定理1,先求出f(x)的不動(dòng)點(diǎn),即令c=f(c),再證明a2n

同理可得,a3=f(a2)>f(a4)=a5.

一直下去,可得:

a1>a3>…>a2n-1>a2n+1(n∈N*),

a2

對(duì)以上兩式兩邊取極限,可得

解法2當(dāng)b=-1時(shí)由題意,得

(an+1+1)2=(an-1)2+1.

從而得到(a2n+1+1)2=(a2n-1)2+1.

①

假設(shè)存在實(shí)數(shù)c使得a2n

(a2n+1)2<(c+1)2<(a2n+1+1)2.

由①式得(a2n+1)2<(c+1)2<(a2n-1)2+1.

例2(2012年大綱全國(guó)卷理)函數(shù)f(x)=x2-2x-3.定義數(shù)列{xn}如下:x1=2,xn+1是過(guò)兩點(diǎn)P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(1)證明:2≤xn

(2)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.

(1)參考答案用的是數(shù)學(xué)歸納法.

所以2≤xn

(2)若b=1,問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n

(2)方法類似于例1的解法2.

根據(jù)以上分析,其高數(shù)背景是定理2的情形(2),即需證子列{a2n}和{a2n-1}分別單調(diào),且收斂于同一極限c.

即0

由f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,得a2=f(a1)f(a4)=a5,a4=f(a3)

a2

a1>a3>a5>…>a2n-1>a2n+1.

3 結(jié)束語(yǔ)

站得高,才能看得遠(yuǎn).作為教師,應(yīng)該具備一定的高等數(shù)學(xué)知識(shí),這其實(shí)就是我們大學(xué)本科四年學(xué)習(xí)的基本功,這樣,遇到壓軸題才能輕松應(yīng)對(duì),游刃有余.在具體操作上,可先分析出試題的高數(shù)背景,獲得答案,這時(shí)就得到了解題的方向,然后再用高中知識(shí)和方法去書寫解題過(guò)程.由此可見,掌握一定的高數(shù)知識(shí),弄清楚高考題的高數(shù)背景和命制思路是非常必要的.