復雜事故樹最小割集和最小徑集求解模式研究

木拉里·馬扎甫 王越 黃超

作者簡介：木拉里·馬扎甫、王越，講師；黃超，副高級工程師。

DOI：10.3969/j.issn.1671-489X.2024.02.053

摘? 要? 介紹復雜事故樹進行最小割集和最小徑集分析過程中主要問題，提出最小割集和最小徑集相互求解方法，建立不同結構事故樹的最小割集和最小徑集求解模式，并通過事故樹實例驗證最小割集和最小徑集相互求解方法及模式的正確性和有效性，為實現(xiàn)復雜事故樹分析提供有效的算法支撐。

關鍵詞? 事故樹；最小割集；最小徑集；求解模式

中圖分類號：G642.0? ? 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2024）02-0053-03

0? 引言

事故樹分析是礦山及其他高危行業(yè)最常用的安全分析方法，其分析過程圍繞著最小割集和最小徑集進行結構重要度、概率重要度、臨界重要度及頂上事件概率分析計算，最終確定最危險事故途徑和最佳控制方案[1]。因此，進行事故樹分析必須先求出最小割集和最小徑集。但是事故樹的規(guī)模和結構決定著最小割集和最小徑集求解的復雜程度及其數(shù)量。有些事故樹最小割集數(shù)量龐大且求解過程煩瑣，這類事故樹分析經(jīng)常只求最小徑集而不求最小割集，導致缺少對事故的規(guī)律性和危險性的分析。有些事故樹求解最小徑集的工作量大，需要多次轉(zhuǎn)換邏輯門且畫出與原事故樹規(guī)模等同的成功樹，耗時且容易出錯。若不求解最小徑集就不能正確分析控制事故的方案。針對此問題，本文首先提出最小割集和最小徑集相互求解的方法，在此基礎上建立了不同結構事故樹的最小割集和最小徑集的求解模式，并通過實例驗證了該方法的正確性和有效性。

1? 通過最小割集求解最小徑集

1.1? 通過最小割集求解最小徑集的原理

最小徑集傳統(tǒng)求解方法首先需要把限制門、條件與門、條件或門等帶條件的邏輯門轉(zhuǎn)換成與門或者是與門和或門的組合，使事故樹中只有與門和或門[2]。再畫出與原事故樹規(guī)模等同的成功樹，目的就是寫出成功樹的數(shù)學表達式，對其進行邏輯運算，求出成功樹的最小割集，再對偶轉(zhuǎn)換成事故樹的最小徑集。求解過程工作量大，耗時且容易出錯。

而事故樹分析中，有了事故樹就可以寫出對應的數(shù)學表達式，即事故樹的數(shù)學模型，并可以利用布爾代數(shù)的知識對其進行數(shù)學的邏輯運算，實現(xiàn)模型的簡化，從而突出頂上事件和基本事件之間的邏輯關系[3]。簡化后的數(shù)學模型，即最簡數(shù)學表達式，表示的邏輯關系和原事故樹表示的邏輯關系是一致的，也就是說最初的事故樹和最簡數(shù)學表達式是等同的[4]。因此，把事故樹轉(zhuǎn)換成功樹的畫圖過程用事故樹的最簡數(shù)學表達式進行對偶轉(zhuǎn)換寫出成功樹的數(shù)學表達式來代替，對其進行簡化求出成功樹的最小割集，就能求出事故樹的最小徑集。

不難發(fā)現(xiàn)，事故樹的最簡數(shù)學表達式其實就是該事故樹的最小割集。而最小割集的求解是所有事故樹分析的第一個定性分析步驟，在此基礎上利用該方法求解最小徑集，省略了傳統(tǒng)方法轉(zhuǎn)換帶條件邏輯門、畫成功樹等容易出錯的、復雜的分析過程。

1.2? 實例應用

以圖1所示事故樹為例，先寫出該事故樹的最簡表達式，即最小割集。

T=A1+A2=x1x2A3+x4A4=x1x2（x1+x3）+x4x7（x6+x4x5）=x1x2+

x4x5x7+x4x6x7

事故樹最簡表達式對偶轉(zhuǎn)換為成功樹的數(shù)學表達式，求解其最小割集：

則事故樹的最小徑集為：

T=（x1+x4）（x1+x7）（x1+x5+x6）（x2+x4）（x2+x7）（x2+x5+x6）

1.3? 分析

根據(jù)實例應用可知通過最小割集求解最小徑集的方法具有以下特點。

1）求解最小徑集的同時，求出了最小割集，能更全面地了解事故的規(guī)律性和危險性。

2）比傳統(tǒng)求解方法簡單、省時，簡化了轉(zhuǎn)換帶條件邏輯門的事故樹作圖和對偶轉(zhuǎn)換成功樹作圖過程，減小了手工計算的出錯概率。尤其是對于大型復雜的事故樹，該方法更為高效。

3）因為是事故樹的最簡數(shù)學表達式直接對偶轉(zhuǎn)換，得到的成功樹的表達式也較為簡單，其簡化過程，相比傳統(tǒng)求解方法中與原事故樹規(guī)模等同的、復雜的成功樹求解更為容易。

2? 通過最小徑集求解最小割集

2.1 通過最小徑集求解最小割集的原理

一般通過布爾代數(shù)對事故樹的數(shù)學表達式進行簡化求解最小割集[5]。但當被分析的事故較危險時，編制出的事故樹的規(guī)模較大，要逐步用下層事件的“與、或”組合代替上層事件，直至事故樹數(shù)學表達式中只?；臼录?，再用布爾代數(shù)對其進行簡化，這一過程非常容易出錯。事故越危險，事故樹結構中基本事件和或門的數(shù)量越多，出現(xiàn)很多個基本事件的“與、或”組合交集的情況，導致簡化過程煩瑣，很容易出錯，也不能估計最小割集的數(shù)量。

在這種情況下，事故樹對應的成功樹的結構中與門較多，或門較少，布爾代數(shù)簡化較為簡單，求出的成功樹的最小割集，即事故樹的最小徑集數(shù)量較少[6]。此時，用最小徑集可以寫出事故樹的數(shù)學表達式，其主要形式是基本事件并集的交集，它是事故樹的另外一種最簡數(shù)學表達式，其邏輯關系和原事故樹的邏輯關系是一致的。對該最簡數(shù)學表達式用布爾代數(shù)進行簡化，使之變成基本事件交集的并集，既是事故樹的最小割集。

2.2 實例應用

以圖2所示沖床沖手事故樹為例，先求出該事故樹的最小徑集：

用最小徑集寫出該事故樹的數(shù)學表達式，對其進行簡化求出最小割集：

T=x1（x3+x4+x5）（x2+x6+x7+x8）（x2+x6+x7+x9+x10）=x1x2x3+

x1x3x6+x1x3x7+x1x3x8x9+x1x3x8x10+x1x2x4+x1x4x6+x1x4x7+

x1x4x8x9+x1x4x8x10+x1x2x5+x1x5x6+x1x5x7+x1x5x8x9+x1x5x8x10

2.3 分析

1）求解最小割集的同時，求出了最小徑集，能更全面地了解預防事故的方案，真正達到事故分析的目的。

2）因為需簡化的數(shù)學表達式是基本事件并集的交集，即最小徑集的邏輯乘，簡化過程相比逐步用下層事件代替上層事件寫出表達式進行簡化要簡單，且不容易出錯。

3）若對邏輯運算熟練，可以很快算出最小割集的數(shù)量。

3? 復雜事故樹最小割集和最小徑集求解模式

以上分析證明最小割集和最小徑集是可以相互求解的，但不同的事故樹其求解難易程度大不一樣。合理的求解模式能夠高效、正確地求出最小割集和最小徑集，起到事半功倍的效果[7]。

一般事故樹中或門增加最小割集的數(shù)量，與門增加最小割集的容量[8]。因為對偶性的關系，對于最小徑集正是相反，或門增加最小徑集的容量，與門增加最小徑集的數(shù)量。根據(jù)這一規(guī)律本文提出如圖3所示的求解模式。

1）與門多。當事故樹中與門多時，最小割集數(shù)較少，而最小徑集數(shù)較多，此時應先求最小割集，再通過最小割集求解最小徑集。

2）或門多。當事故樹中或門多時，最小割集數(shù)較多，而最小徑集數(shù)較少，此時應先求最小徑集，再通過最小徑集求解最小割集。

3）或門和與門數(shù)量相當。當事故樹中與門和或門的數(shù)量相當時，最小割集和最小徑集數(shù)量也相當，但先求解最小徑集需要畫成功樹，因此該情況下應先求最小割集，再通過最小割集求解最小徑集。

4）或門和與門數(shù)量相當且有帶條件邏輯門。事故樹中或門和與門數(shù)量相當且有帶條件邏輯門的情況下，先求最小割集，再通過最小割集求解最小徑集[9]。因為有帶條件邏輯門的事故樹轉(zhuǎn)換為成功樹更為麻煩，需要先將這些帶條件邏輯門轉(zhuǎn)換為與門或者是與門和或門的組合。

4? 結束語

文章提出并驗證了最小割集和最小徑集相互求解方法，該方法在最小割集的基礎上不畫成功樹就能求出最小徑集，在最小徑集的基礎上可以較為簡單的求出最小割集，相比傳統(tǒng)求解方法更為簡潔、高效。其次可以用該方法驗證已經(jīng)求出的最小割集和最小徑集是否正確。在相互求解方法的基礎上建立了最小割集和最小徑集的求解模式，明確了不同結構的事故樹應該先求最小割集還是先求最小徑集，從而使事故樹分析變得更為簡單。

5? 參考文獻

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