基于時變參數(shù)的灰色模型在變形監(jiān)測中的應用

樊海青，馬彥鳳

（1.廣東省國土資源測繪院，廣東 廣州 510500；2.廣東省測繪工程有限公司，廣東 廣州 510700）

灰色系統(tǒng)通過建模、預測和分析等過程，能從已有少量信息中提取有價值的信息，為多個領域的組織決策和控制提供依據?；疑Ｐ褪窃谪毿畔⒌那闆r下進行建模，對少量的原始觀測數(shù)據進行處理，生成新的數(shù)據序列，并通過建立與求解白化微分方程得到預測模型，因此被廣泛應用于變形監(jiān)測工程中[1-5]。利用灰色GM(1,1)模型建立變形監(jiān)測預測模型的方法較普遍，但也會出現(xiàn)模型的擬合與預測結果與實際值偏離較大的情況，因此相關學者采用灰色Verhulst模型、灰色二階GM(2,1)模型、灰色GM(1,N)模型[6-8]等改進灰色模型進行數(shù)據分析，其中灰色二階GM(2,1)模型能反映序列的趨勢性變化，對數(shù)據的變化趨勢提取更加有效。傳統(tǒng)灰色模型在建立白化微分方程時，發(fā)展系數(shù)和灰色作用量為固定值，但在相關文獻中提出，在同一時間序列中發(fā)展系數(shù)是固定量，而灰色作用量會隨時間發(fā)生變化，即具有時變性質。本文以礦區(qū)地表沉降實測數(shù)據為例建立灰色模型，根據灰色作用量時變性質和灰色二階GM(2,1)模型的優(yōu)勢，建立了傳統(tǒng)灰色模型和基于時變參數(shù)的灰色模型；并對比了不同灰色模型沉降觀測的預測結果和精度，以驗證基于時變參數(shù)的灰色模型在沉降觀測和模型預測過程中的可靠性與優(yōu)越性。

1 基于時變參數(shù)的灰色模型

1.1 灰色模型

基于時變參數(shù)的灰色模型是由傳統(tǒng)灰色模型改進而來，本文主要介紹灰色GM(1,1)模型和GM(2,1)模型。

1.1.1 灰色GM(1,1)模型

假設存在一組原始觀測數(shù)據序列，即[3-4]

將原始數(shù)據進行累加，生成一次累加序列，即

由于一次累加序列存在指數(shù)型增長的趨勢，滿足式（3）灰微分模型：

根據最小二乘法求解灰微分方程的待求參數(shù)估值，即

將a1、b1以及初始條件x(1)( )1 =x(0)( )1 代入式（3），即可求解傳統(tǒng)GM(1,1)模型的表達式：

還原數(shù)列得到原始觀測序列的預測值，即

1.1.2 灰色GM(2,1)模型

不同于灰色GM(1,1)模型，灰色GM(2,1)模型除了對原始觀測值進行了一次累加生成序列，還進行了一次累減生成序列。將式（1）中的原始數(shù)據進行累減，生成一次累減序列[9]，即

式中，a(1)x(1)(t)=x(0)(t)-x(0)(t-1)，t=2，3，…，n。

此時灰色GM(2,1)模型滿足的灰微分模型為：

以最小二乘法求解式（8）的待求參數(shù)估值為：

1.2 基于時變參數(shù)的灰色模型建立

張振超[10]等為優(yōu)化灰色GM(1,1)模型擬合與預測精度，通過時變參數(shù)優(yōu)化灰作用量，建立了一種基于時變參數(shù)的GM(1,1)模型，采用線性時間函數(shù)代替固定不變的灰作用量。因此，本文在傳統(tǒng)GM(1,1)模型和GM(2,1)模型的基礎上分別建立了基于時變參數(shù)的灰色模型[10-12]。

若以時間的線性函數(shù)b3+b4t代替灰色作用量固定值，傳統(tǒng)GM(1,1)模型的灰微分方程表達式為：

以最小二乘法求解式（10）的待求參數(shù)估值為：

將a1、b3、b4以及初始條件x(1)( )1 =x(0)( )1 代入式（10），即可求解基于時變參數(shù)的GM(1,1)模型表達式，即

同理，GM(2,1)模型的灰微分方程表達式為：

以最小二乘法求解式（13）的待求參數(shù)估值為：

采用式（6）還原數(shù)列，得到原始觀測序列的預測值。

1.3 基于時變參數(shù)的灰色模型檢驗

基于時變參數(shù)的灰色模型以灰色模型為基礎，因此應進行灰色模型檢驗，驗證建立模型是否符合實際情況。檢驗指標以相對誤差、后驗方差比和小誤差概率為主，判斷灰色模型預測精度等級（表1）。

表1 灰色模型精度檢驗

2 實例分析

2.1 數(shù)據來源

本文以礦區(qū)采空區(qū)某走向觀測線中93號、101號

沉降監(jiān)測點為例，分別觀測14期，采用電子水準儀按照國家三、四等水準測量規(guī)范要求對沉降監(jiān)測點的垂直位移進行觀測（表2、3）。為比較不同灰色模型的預測結果，本文設計了4 種灰色模型的算方案：①傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型；②傳統(tǒng)灰色GM(2,1)模型；③基于時變參數(shù)的GM(1,1)模型；④基于時變參數(shù)的GM(2,1)模型；將前10期作為擬合觀測序列，后4期作為觀測序列。

表2 93號監(jiān)測點累計沉降值

表3 101號監(jiān)測點累計沉降值

2.2 預測結果分析

2.2.1 傳統(tǒng)灰色模型預測結果

根據傳統(tǒng)灰色GM(1,1)和GM(2,1)模型建立的過程，編制灰色GM(1,1)和GM(2,1)模型的計算機語言程序，輸入沉降監(jiān)測點原始數(shù)據并建立灰色模型，得到預測結果以及預測值與實測值的殘差值，見表4、5。

表4 93號監(jiān)測點傳統(tǒng)灰色模型預測結果/mm

表5 101號監(jiān)測點傳統(tǒng)灰色模型預測結果/mm

2.2.2 基于時變參數(shù)的灰色模型預測結果

由于灰色作用量具有時變性質，本文建立基于時變參數(shù)的灰色GM(1,1)和GM(2,1)模型。根據時變參數(shù)灰色模型的建立過程，以沉降監(jiān)測點為原始數(shù)據建立模型并計算，得到預測結果以及預測值與實測值的殘差值（表6、7）。

表6 93號監(jiān)測點時變參數(shù)灰色模型預測結果/mm

表7 101號監(jiān)測點時變參數(shù)灰色模型預測結果/mm

2.2.3 不同模型預測結果對比分析

1）對于93 號監(jiān)測點，方案①、②的殘差絕對值最大值分別為100 mm、40 mm，均方根誤差分別為11.53 mm、5.92 mm；對于101號監(jiān)測點，方案①、②的殘差絕對值最大值分別為73 mm、68 mm，均方根誤差分別為12.12 mm、10.09 mm。在傳統(tǒng)灰色模型中，方案②建立的灰色GM(2,1)模型求取的預測值均方根誤差最小，預測精度最高。

2）對于93 號監(jiān)測點，方案③、④的殘差絕對值最大值分別為32 mm、21 mm，均方根誤差分別為3.89 mm、3.18 mm；對于101 號監(jiān)測點，方案③、④的殘差絕對值最大值分別為72 mm、43 mm，均方根誤差分別為10.86 mm、9.64 mm。在基于時變參數(shù)的灰色模型中，方案④建立的時變參數(shù)GM(2,1)模型求取的預測值均方根誤差最小，模型預測精度最高。

3）根據表1 對基于時變參數(shù)的GM(2,1)模型進行精度評價，兩個沉降監(jiān)測點的精度檢驗等級均為Ⅱ級。

3 結 語

為提高灰色模型擬合與預測精度，本文將灰色作用量表示為隨時間的變化的線性函數(shù)，建立了以時變參數(shù)優(yōu)化灰色作用量的改進灰色模型；并通過建立不同灰色模型，對比分析了預測效果。結果表明，基于時變參數(shù)的GM(2,1)模型具有更好的預測效果，彌補了灰色作用量固定不變導致的預測精度差的問題。不足之處在于，在微分方程相關矩陣計算中，背景值基于前后緊鄰值等權的原則，未對背景值進行優(yōu)化，有待于進一步研究。