基于二次攝動法的SMA層合梁非線性自由振動分析

張配

(西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,陜西 西安 710026)

0 引言

復(fù)合材料有著優(yōu)異的力學(xué)特性,使得復(fù)合材料制成的結(jié)構(gòu)部件被廣泛應(yīng)用于機(jī)械工程的各個領(lǐng)域,如交通運輸、制造和汽車等領(lǐng)域[1]。形狀記憶合金(SMA)在受熱的情況下會表現(xiàn)出很大的形變,因而可以將SMA應(yīng)用到復(fù)合材料領(lǐng)域,實現(xiàn)材料剛度的調(diào)節(jié)。研究顯示,內(nèi)嵌SMA的層合板減小了變形撓度[2-3]。SHIAU等[4]的研究得到SMA的體積分?jǐn)?shù)和預(yù)應(yīng)變的增加會產(chǎn)生更多的恢復(fù)應(yīng)力,從而增加層合板的剛度。ASADI等[3]的研究顯示夾層板的熱慣性穩(wěn)定性可以通過SMA絲的體積分?jǐn)?shù)和SMA纖維中的預(yù)應(yīng)變來控制。MAHABADI等[5]的研究顯示方形SMA層合板比有相同長度的矩形板具有更高的基頻。

二次攝動用于結(jié)構(gòu)的屈曲與振動分析,有不少文獻(xiàn)關(guān)于二次攝動法的應(yīng)用。張大光[6]得到高次攝動解適于描述梁的深度后屈曲和深度非線性彎曲。佘桂林[7]對比了KBM法和二次攝動法在求解大幅振動時的差異,得到二次攝動法更加符合工程實際。BABAEI等[8]用二次攝動法研究了3種不同的剪切變形梁在彈性支承上的振動特性。文獻(xiàn)[9] 中二次攝動法的引入可以不增加計算量,得到結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的較精確估計。GAO等[10]用二次攝動法得到非局部應(yīng)變理論和應(yīng)變梯度理論對線性和非線性有相反的影響頻率。SHEN、HUI等[11-14]研究表明FGM材料的FG-X對稱分布可以顯著提高頻率,得到當(dāng)溫度升高或基礎(chǔ)剛度降低時,固有頻率降低,但非線性頻率比增加,且Voigt與Mori-Tanaka模型間的結(jié)果差異更小。BABAEI等[15]分析了受熱傳導(dǎo)、線性溫度變化、均勻溫升等不同類型熱環(huán)境的FGM管。

通過對現(xiàn)有文獻(xiàn)的梳理,可知尚沒有研究使用二次攝動法分析SMA層合結(jié)構(gòu)的非線性振動特性。本文考慮了溫度變化和不可移動簡支邊界條件的SMA層合梁。使用Von-Karman大變形理論描述梁位移與應(yīng)變的關(guān)系,用Brison模型描述了不同溫度下SMA的恢復(fù)應(yīng)力和馬氏體體積分?jǐn)?shù)。使用Hamilton原理建立了SMA層合梁的動力學(xué)方程。采用二次攝動法求解這些方程。研究了SMA不同初始應(yīng)變、體積分?jǐn)?shù)、鋪設(shè)角度不同時頻率比的變化。

1 系統(tǒng)建模

1.1 SMA本構(gòu)方程

根據(jù)Brison模型,使用Reuss方法計算SMA的Young′s模量[2]?？紤]零初始條件下,SMA絲恢復(fù)應(yīng)力為

σr=ES(ξ)(ε-εLξS)+ΘΔT

(1)

式中:σr是SMA絲恢復(fù)應(yīng)力;ES(ξ)為彈性模量;ε、Θ分別是SMA的應(yīng)變和熱彈性系數(shù);εL為SMA最大殘余應(yīng)變;ξS為應(yīng)力誘發(fā)的馬氏體相變體積分?jǐn)?shù);ΔT(相對溫度)是加熱溫度與初始溫度的差值。

1.2 系統(tǒng)控制方程

圖1為SMA的層合梁示意圖。使用Vigot模型描述SMA/石墨/環(huán)氧樹脂層的物性參數(shù)。需要說明的是,材料物性參數(shù)的下標(biāo)“m”和“s”分別表示基體材料(石墨/環(huán)氧樹脂)和SMA。梁的橫截面為矩形,寬度為B,總厚度為H,梁的長度為L,層數(shù)為Nl,各層纖維是對稱布置的。層合梁受到橫向均布載荷q,梁在彈性地基上,并處于熱環(huán)境中。

圖1 SMA層合梁示意圖

依據(jù)Reddy高階剪切理論以及Hamilton原理,可得系統(tǒng)動力學(xué)方程為:

(2)

(3)

式中:I是廣義慣量;X是梁的無量綱坐標(biāo);W是梁的無量綱橫向位移;Φ是梁的無量綱截面轉(zhuǎn)角;t是無量綱時間;NT是SMA的熱力;Nr是SMA的恢復(fù)力。

2 振動分析

本節(jié)采用分析法推導(dǎo)出SMA層合梁非線性屈曲和自由振動的響應(yīng)。在本節(jié)中,采用二次攝動法進(jìn)行分析[16],解為

(4)

式中:ε是一個小擾動參數(shù),有τ=εt;n是級數(shù)的項數(shù),在本文中取n=3。依據(jù)攝動參數(shù)εi合并同類項,獲得如下微分方程。

一階攝動方程表示為

(5)

(6)

二階攝動方程表示為

(7)

(8)

三階攝動方程表示為

(9)

(10)

由滿足簡支邊界條件的解,并使用Galerkin法得到:

Γ3(εA10)3+…

(11)

上式的系數(shù)分別為:

(12)

對于自由振動λq=0,可得系統(tǒng)固有頻率為

(13)

式中:ωNL為非線性固有頻率;ωL是線性固有頻率;wmax為變形位移的最大值。

3 數(shù)值計算

層合梁的長度L=0.2m,寬度B=0.1m,厚度H=0.01m。每一層的厚度是相等的。SMA的材料參數(shù)見文獻(xiàn)[2] 。初始情況下ξT0=0,T0=20 ℃,σ0=0,ε0=0.2%,VS=2%。式(13)可以計算出系統(tǒng)的線性固有頻率,非線性頻率與線性頻率之比。

表1顯示不同算法所得SMA梁的無量綱線性頻率?？芍疚姆椒ㄋ玫木€性頻率與Ritz[16]、GDQ[17]的結(jié)果差值很小,本文方法和Ritz法相差很小,與GDQ相差較大。當(dāng)VS較小時頻率隨溫度的增大而減小,當(dāng)VS較大時線性頻率先減小后增大再減小,其變化趨勢與文獻(xiàn)[3] 一致。通過不同方法的對比,證明本文方法是正確的。

表1 不同求解方法的無量綱線性頻率

SMA層合梁的中部撓度與頻率比(非線性頻率與線性頻率之比)如圖2所示。SMA體積分?jǐn)?shù)VS=2%,初始應(yīng)變ε0=0.4%,長高比L/H=20,不考慮地基的剛度。結(jié)果和預(yù)期的一樣,溫度增加時頻率比增加,線性固有頻率減小。這是因為所選取的溫度范圍內(nèi),熱應(yīng)力比SMA恢復(fù)應(yīng)力大得多,結(jié)構(gòu)的剛度主要受熱應(yīng)力的影響,而熱應(yīng)力使梁的剛度減小。

圖2 溫度變化時的頻率

圖3中SMA體積分?jǐn)?shù)VS=10%,初始應(yīng)變T=120 ℃,長高比L/H=30,不考慮地基的剛度。SMA初始應(yīng)變增加,頻率比減小,線性頻率增加。溫度不變時結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力不變,結(jié)構(gòu)剛度的變化主要受SMA恢復(fù)應(yīng)力的影響,初始應(yīng)變越大,SMA恢復(fù)應(yīng)力越大,導(dǎo)致系統(tǒng)剛度增加。

圖3 初始應(yīng)變變化時的頻率

圖4中SMA初始應(yīng)變ε0=0.4%,T=150 ℃,長高比L/H=30,不考慮彈性地基的作用。SMA體積分?jǐn)?shù)增加,頻率比減小,線性頻率減小,主要原因是SMA體積分?jǐn)?shù)越大,結(jié)構(gòu)中的金屬相組分越多,系統(tǒng)的剛度越大,等效密度也增大,這樣廣義慣量的增加對系統(tǒng)頻率的影響大于剛度。

圖4 體積分?jǐn)?shù)變化時的頻率

圖5是長高比對頻率的影響曲線。長高比L/H增大時頻率比增大,線性頻率減小。這是由于SMA梁跨度增大使柔度增加所導(dǎo)致的。L/H越大時系統(tǒng)的非線性特性越顯著。觀察到L/H比對頻率比的影響在較低的長高比下更為明顯。

圖5 長高比變化時的頻率

圖6是SMA角度對頻率的影響曲線,可以看出SMA鋪設(shè)角度越大,梁的線性固有頻率越小,而頻率比越大。這是由于隨著SMA鋪設(shè)方向與主方向之間角度的增加,系統(tǒng)的總剛度降低導(dǎo)致的。

圖6 SMA角度對頻率的影響

4 結(jié)語

利用Hamilton變分原理,建立了SMA層合梁的動力學(xué)方程。使用二次攝動法研究了系統(tǒng)的自由振動特性,得出如下結(jié)論。

1)較低的溫度下,熱應(yīng)力占主導(dǎo),溫度上升使得線性固有頻率下降。

2)初始應(yīng)變越大SMA恢復(fù)應(yīng)力越大,系統(tǒng)剛度越大;SMA體積分?jǐn)?shù)越大,系統(tǒng)的剛度、慣量同時增加,慣量的增加大于剛度的增加。

3)長高比增大時,頻率比增大,線性頻率減小;SMA鋪設(shè)方向與主方向夾角的增加,導(dǎo)致線性頻率下降,而頻率比上升。