機(jī)車(chē)車(chē)輛橡膠元件動(dòng)態(tài)建模及其應(yīng)用

劉林,張濤,,陳清華,凌亮,王開(kāi)云

(1. 西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都 610031;2. 國(guó)家高速列車(chē)技術(shù)創(chuàng)新中心,山東 青島 266300)

0 引言

隨著鐵道車(chē)輛運(yùn)營(yíng)里程的增加,新車(chē)及新修線(xiàn)路暴露出的運(yùn)營(yíng)維護(hù)問(wèn)題愈發(fā)顯著。作為一種常見(jiàn)的外部激勵(lì),輪軌表面磨耗造成的短波不平順將極大地加劇輪軌間的相互作用與振動(dòng)[1-3]。在這種惡劣的運(yùn)行環(huán)境下,若轉(zhuǎn)向架上的懸掛元件不能很好地將輪軌間的高頻振動(dòng)與構(gòu)架和車(chē)體隔離,將導(dǎo)致車(chē)輛發(fā)生高頻顫振,最終加劇車(chē)輛各結(jié)構(gòu)部件的疲勞破壞并嚴(yán)重威脅其使用壽命[4]。因此,為深入研究懸掛元件在高頻激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)特性,亟需建立更符合實(shí)際的力學(xué)模型。

作為鐵道車(chē)輛上常見(jiàn)的懸掛連接部件,國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)橡膠元件的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性及建模方法進(jìn)行了大量研究。早期,Kelvin-Voigt模型常被用于表征橡膠的頻率依賴(lài)性,但其在高頻域會(huì)高估橡膠元件的剛度和阻尼[5-6]。BERG[7-8]基于彈塑性疊加原理將橡膠襯套非線(xiàn)性特征中的應(yīng)力-位移關(guān)系進(jìn)行分解,分別使用彈簧-阻尼單元表征橡膠的黏彈性特征,摩擦單元表征橡膠彈塑性特征,彈簧單元表征彈性特性。SJ?BERG等[9]使用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型替換Berg模型中的Maxwell模型,該模型能更好地預(yù)測(cè)橡膠材料動(dòng)態(tài)特性的振幅相關(guān)性與頻率相關(guān)性。吳杰等[10]采用黏彈性分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型建立了單自由度橡膠隔振器模型,分析了其動(dòng)態(tài)特性。SHI等[11]通過(guò)最小二乘法擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),獲取了鐵道車(chē)輛上橡膠元件的物理參數(shù)。WEI等[12]通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得了不同溫度下軌下墊層的物理參數(shù),研究了其動(dòng)態(tài)特性對(duì)于車(chē)輛-軌道系統(tǒng)垂向振動(dòng)的影響。

本文基于彈塑性理論建立了機(jī)車(chē)車(chē)輛橡膠元件動(dòng)態(tài)仿真模型,分析了諧波激擾的振幅和頻率對(duì)橡膠力學(xué)特性的影響并將該模型與車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型結(jié)合,仿真計(jì)算了車(chē)輛惰行通過(guò)曲線(xiàn)時(shí)一系橡膠節(jié)點(diǎn)力的動(dòng)態(tài)特性。

1 橡膠元件動(dòng)態(tài)建模與求解

1.1 橡膠元件動(dòng)態(tài)建模方法

基于彈塑性理論,本文建立的橡膠元件動(dòng)態(tài)仿真力學(xué)模型如圖1所示。該模型將橡膠元件總力Fr分解為彈性力Fe、摩擦力Ff和黏滯力Fv3個(gè)力疊加:

圖1 橡膠元件動(dòng)態(tài)仿真力學(xué)模型

Fr=Fe+Ff+Fv

(1)

首先引入線(xiàn)性彈簧來(lái)表征橡膠元件的靜態(tài)特性:

Fe=kx

(2)

式中:x=x1-x2為橡膠變形量;k為橡膠材料提供的靜態(tài)剛度。

其次引入摩擦力來(lái)體現(xiàn)激擾幅值對(duì)橡膠動(dòng)態(tài)特性的影響:

(3)

式中:u=Ffs/Ffmax;Ffmax為橡膠材料內(nèi)部提供的最大摩擦力;x2為其達(dá)到最大摩擦力一半Ffmax/2時(shí)所需的位移;(xs,Ffs)為橡膠元件遲滯回線(xiàn)中每條一分叉線(xiàn)的起始點(diǎn),初始時(shí)(xs,Ffs)= (0,0),之后隨振動(dòng)過(guò)程不斷更新。

最后引入分?jǐn)?shù)階微分黏彈性力來(lái)體現(xiàn)激擾頻率對(duì)橡膠元件動(dòng)態(tài)特性的影響:

(4)

式中:b為橡膠材料的阻尼系數(shù);α定義為分?jǐn)?shù)階微分的階數(shù),且0 <α<1。

根據(jù)Grünwald定義[13],式(4)中的分?jǐn)?shù)階微分可由式(5)和式(6)進(jìn)行計(jì)算:

(5)

(6)

式中:Δt為積分步長(zhǎng);N為截?cái)嚯A數(shù),Г(·)為伽馬函數(shù)。

為充分體現(xiàn)模型的可靠性與真實(shí)性,本文采用文獻(xiàn)[11] 測(cè)得的橡膠元件物理參數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真(圖1),具體如下:剛度ke為3.998 MN/m,最大摩擦力Ffmax為464 kN,摩擦力位移x2為133 mm,阻尼b為0.516(kN·s)/mm,分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α取0.251。此外,為兼顧計(jì)算精度與速度,分?jǐn)?shù)階微分截?cái)嚯A數(shù)N取200。

1.2 動(dòng)態(tài)響應(yīng)求解方法

在橡膠元件模型一端引入一質(zhì)量塊后,整個(gè)系統(tǒng)即成為一個(gè)單自由度的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。本文采用文獻(xiàn)[13] 提出的新型顯式積分方法求解其動(dòng)態(tài)響應(yīng)。該方法的積分格式如式(7)所示。

(7)

2 橡膠元件動(dòng)態(tài)特性分析

2.1 摩擦力特性

摩擦力的引入可以反映橡膠元件對(duì)于外界激勵(lì)幅值變化的敏感性。由式(3)可知,摩擦力Ff的值取決于x、x2和Ffmax3個(gè)量,而x2和Ffmax這兩個(gè)值為橡膠自身的物理參數(shù),故摩擦力的大小僅與橡膠總的變形量x有關(guān)。

為研究1.1節(jié)中摩擦力的力學(xué)特性,在摩擦力單元一端施加正弦位移激擾x=x0sinωt,繪制不同激擾倍數(shù)(分別為x0=2x2和x0=5x2)下的摩擦力-位移特性曲線(xiàn),如圖2所示?？梢钥闯?從平衡位置(xs1,Ffs1)=(0,0)位置出發(fā)后,摩擦力及位移會(huì)沿正向迅速達(dá)到最大值,該處即為分叉點(diǎn)(xs2,Ffs2)。接著向反方向移動(dòng),達(dá)到負(fù)向最大值,此處即為分叉點(diǎn)(xs3,Ffs3)。最后又向正向移動(dòng),達(dá)到位移為0的位置,此處即為分叉點(diǎn)(xs4,Ffs4)。從第2圈開(kāi)始,整個(gè)循環(huán)過(guò)程呈穩(wěn)定且封閉的環(huán)狀。

圖2 摩擦力-位移曲線(xiàn)

此外,定義等效剛度為力-位移曲線(xiàn)的斜率,即式(8)所示。

(8)

從圖2中還能發(fā)現(xiàn), 2倍激擾大于5倍激擾下的等效剛度,這說(shuō)明橡膠元件中的摩擦力元可以體現(xiàn)橡膠的剛度對(duì)于外界激擾幅值的依賴(lài)性。

對(duì)于諧波激勵(lì),準(zhǔn)靜態(tài)力幅值Ff0和每一圈的能量損失Ef可以由以下公式計(jì)算[8]:

(9)

(10)

(11)

(12)

式中u0=Ff0/Ffmax。

通過(guò)改變幅值x0,可得到不同激擾幅值下的剛度、阻尼特性曲線(xiàn),如圖3所示?？梢钥闯?其剛度隨激擾幅值的增大而減小,當(dāng)x0趨向于0時(shí),剛度值趨向于Ffmax/x2;當(dāng)x0趨向于無(wú)窮時(shí),剛度值趨向于0。此外,圖3中的阻尼為一無(wú)量綱的量,其值隨激擾幅值的增大而增大,當(dāng)x0趨向于0時(shí),阻尼值趨向于0。

圖3 不同激擾幅值下的剛度和阻尼特性曲線(xiàn)

2.2 黏滯力特性

與2.1節(jié)類(lèi)似,為研究黏滯力的動(dòng)態(tài)變化特性,在黏滯力單元一端施加正弦位移激擾x=x0sin(2πft),則不同激擾頻率f下的黏滯力-位移曲線(xiàn)如圖4所示。

圖4 黏滯力-位移曲線(xiàn)

由圖4可以發(fā)現(xiàn),黏滯力的動(dòng)態(tài)特性曲線(xiàn)與摩擦力相似,同樣在一圈之后會(huì)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。此外,當(dāng)激振頻率為500 Hz時(shí),其黏滯力-位移曲線(xiàn)的斜率比10 Hz時(shí)更大,說(shuō)明500 Hz時(shí)的動(dòng)態(tài)剛度值更大。其等效剛度同樣可由式(8)進(jìn)行計(jì)算,而阻尼的定義如式(12)所示。

(13)

式中E代表每圈循環(huán)的能量損失,其值可由黏滯力沿封閉曲線(xiàn)積分進(jìn)行計(jì)算。

由式(8)和式(13)計(jì)算出黏滯力等效剛度和阻尼值隨外界激勵(lì)頻率變化曲線(xiàn),如圖5所示。可以看出,在0～1 000 Hz范圍內(nèi),剛度和阻尼值均隨頻率的增大而增大。這也說(shuō)明,分?jǐn)?shù)階微分黏滯力的引入可充分體現(xiàn)橡膠元件對(duì)于外界激勵(lì)頻率變化的敏感性。

圖5 不同激振頻率下的剛度和阻尼特性曲線(xiàn)

3 橡膠元件動(dòng)態(tài)模型在車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用

3.1 機(jī)車(chē)-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型

本文采用的機(jī)車(chē)-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型如圖6所示。其中機(jī)車(chē)模型由1個(gè)車(chē)體、2個(gè)牽引拉桿、2個(gè)構(gòu)架、4個(gè)電機(jī)和4個(gè)輪對(duì)構(gòu)成,各懸掛部件除一系定位橡膠節(jié)點(diǎn)(虛線(xiàn)所圈)外均采用普通的彈簧阻尼單元進(jìn)行模擬。車(chē)體、構(gòu)架和輪對(duì)均考慮縱向、橫向、垂向、側(cè)滾、點(diǎn)頭和搖頭6個(gè)自由度,牽引拉桿考慮除側(cè)滾自由度外的5個(gè)自由度,電機(jī)僅考慮其垂向和點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)。

圖6 機(jī)車(chē)-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型

軌道模型考慮了國(guó)內(nèi)鐵路常用的有砟軌道,由鋼軌、軌枕、扣件、道床和路基組成。其中,鋼軌模擬為連續(xù)彈性離散點(diǎn)支承基礎(chǔ)上的鐵木辛柯梁并考慮其垂向、橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。

輪軌接觸幾何關(guān)系采用空間動(dòng)態(tài)耦合模型;輪軌法向力的求解采用Hertz非線(xiàn)性彈性接觸理論;輪軌蠕滑力的計(jì)算采用Kalker線(xiàn)性理論并結(jié)合沈氏理論進(jìn)行非線(xiàn)性修正[14]。

3.2 曲線(xiàn)通過(guò)算例分析

為驗(yàn)證第1節(jié)中所建橡膠元件模型在機(jī)車(chē)-軌道耦合動(dòng)力學(xué)中的實(shí)際力學(xué)特性,現(xiàn)采用以下曲線(xiàn)通過(guò)算例進(jìn)行仿真分析:車(chē)輛運(yùn)行速度為70 km/h(惰行工況),緩和曲線(xiàn)長(zhǎng)度80 m,圓曲線(xiàn)長(zhǎng)度為240 m,曲線(xiàn)半徑600 m。

圖7所示為一系橡膠定位節(jié)點(diǎn)處的橫向力隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)?？梢钥闯?彈性力、摩擦力和黏滯力的動(dòng)態(tài)變化都經(jīng)歷了穩(wěn)態(tài)—下降—穩(wěn)態(tài)—上升—穩(wěn)態(tài)的過(guò)程,這是由于機(jī)車(chē)運(yùn)行線(xiàn)路呈直線(xiàn)—緩和曲線(xiàn)—圓曲線(xiàn)—緩和曲線(xiàn)—直線(xiàn)的分布方式。此外,彈性力、摩擦力和黏滯力的大小依次減小,這是由機(jī)車(chē)車(chē)輛上實(shí)際橡膠元件的物理特性決定,即提供較大的剛度和相對(duì)小的阻尼。

圖7 橡膠節(jié)點(diǎn)處的橫向力響應(yīng)

圖8為橡膠定位節(jié)點(diǎn)處的橫向力-位移變化曲線(xiàn)?？梢园l(fā)現(xiàn),對(duì)于曲線(xiàn)通過(guò)工況,節(jié)點(diǎn)總力的動(dòng)態(tài)歷程不同于傳統(tǒng)的線(xiàn)性彈簧-阻尼單元模型,其中摩擦力表現(xiàn)出一定的非線(xiàn)性特性但并不明顯;而黏滯力則呈現(xiàn)明顯的遲滯特性。節(jié)點(diǎn)總的橫向力在彈性力、摩擦力、黏滯力的疊加作用下也呈現(xiàn)一定的非線(xiàn)性特性。

圖8 節(jié)點(diǎn)橫向力-位移曲線(xiàn)

圖9(a)—圖9(c)為車(chē)輛過(guò)曲線(xiàn)時(shí),不同階段節(jié)點(diǎn)總的橫向力-位移曲線(xiàn)。其中,圖9(a)中8 ～ 10 s對(duì)應(yīng)車(chē)輛通過(guò)緩和曲線(xiàn),此時(shí)節(jié)點(diǎn)橫向力近似呈線(xiàn)性增長(zhǎng)。圖9(b)對(duì)應(yīng)于18 ～ 20 s時(shí)車(chē)輛惰行通過(guò)圓曲線(xiàn),由于車(chē)輛運(yùn)行速度緩慢減小,故此時(shí)節(jié)點(diǎn)橫向力也緩緩減小,且整個(gè)動(dòng)態(tài)歷程呈螺旋狀下降。圖9(c)所示為28 ～ 30 s車(chē)輛出曲線(xiàn)后的穩(wěn)態(tài)過(guò)程。由于此時(shí)未受到外界激擾,整個(gè)系統(tǒng)逐漸趨于平衡,故該過(guò)程中力-位移曲線(xiàn)呈環(huán)狀向平衡位置(0, 0)處收斂。上述曲線(xiàn)通過(guò)算例結(jié)果體現(xiàn)了機(jī)車(chē)車(chē)輛橡膠元件的非線(xiàn)性力學(xué)特性,也說(shuō)明本文建立的橡膠元件能夠較好地應(yīng)用于車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)實(shí)時(shí)仿真計(jì)算。

圖9 不同階段節(jié)點(diǎn)的橫向力-位移曲線(xiàn)

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于黏塑性理論和橡膠元件的實(shí)際物理特性,建立了一種橡膠元件的動(dòng)態(tài)仿真模型,分析了其動(dòng)態(tài)特性并將其應(yīng)用于車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué),主要得出以下結(jié)論。

1)橡膠元件提供的力可分解為彈性力、摩擦力和黏滯力,其中摩擦力和黏滯力可分別體現(xiàn)橡膠元件對(duì)外界激擾振幅和頻率的依賴(lài)性。

2)橡膠內(nèi)部摩擦力提供的等效剛度隨激擾幅值的增大而減小,阻尼隨激擾幅值的增大而增大;黏滯力提供的等效剛度和阻尼均隨激擾頻率的增大而增大。

3)本文建立的橡膠元件動(dòng)態(tài)仿真模型可較好地應(yīng)用于車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)實(shí)時(shí)仿真計(jì)算,且曲線(xiàn)通過(guò)算例中穩(wěn)態(tài)—下降—穩(wěn)態(tài)—上升—穩(wěn)態(tài)的過(guò)程可反映橡膠元件的非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)特性。