巧用二項(xiàng)式定理解答兩類問(wèn)題

二項(xiàng)式定理為：[（a+b）n=C0nan+C1nan-1b1+C2nan-2b2+…+Cinan-ibi+…+Cnnbn].其中等式右邊的式子為二項(xiàng)展開式，[Cin（i=0，1，2，…，n）]為二項(xiàng)式的系數(shù)，表示從[n]個(gè)元素中選出[i]個(gè)元素的組合數(shù)，并且[Cin=n！i?。╪-i）！].二項(xiàng)式的通項(xiàng)為[Cinan-ibi]，是二項(xiàng)展開式的第[i+1]項(xiàng).利用二項(xiàng)式定理，不僅可以把二項(xiàng)式[（a+b）n]展開成一個(gè)多項(xiàng)式，也可以把展開式合并成[（a+b）n].那么如何運(yùn)用二項(xiàng)式定理解題呢？下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行討論.

一、求二項(xiàng)式的系數(shù)

二項(xiàng)式定理中的二項(xiàng)式、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)都是用字母表示的，因此為了使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，我們可以給字母賦予一些特殊值，即可通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算求得二項(xiàng)式的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等.在求二項(xiàng)式的系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，要注意項(xiàng)的符號(hào)和項(xiàng)數(shù).

例1.已知[x+1ax9]的展開式中含[x3]項(xiàng)的系數(shù)為[-212]，則實(shí)數(shù)[a]的值為______.

解：由二項(xiàng)式定理可得二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為[Tr+1=Cr9x9-r1axr=Cr91arx9-2r]，

令[9-2r=3]，解得[r=3]，

所以[T4=C391a3x3=84a3x3]，

則[84a3=-212]，解得[a=-2].

我們需先根據(jù)二項(xiàng)式定理求得[x+1ax9]的展開式的通項(xiàng)[Tr+1=Cr9x9-r1axr]；然后令x的系數(shù)為3，據(jù)此求得r的值，就可以確定[-212]是第四項(xiàng)的系數(shù)；再列出第四項(xiàng)，即可求得a的值.

例2.已知[（1-3x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9]，求[a0+a1+a2+…+a9].

解：利用二項(xiàng)式定理將[（1-3x）9]展開可得：

[（1-3x）9=C09+C19（-3x）+C29（-3x）2+…+Cn9（-3x）9]，

而[（1-3x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9].

那么[a0，a2，a4，a6，a8]為正數(shù)，[a1，a3，a5，a7，a9]為負(fù)數(shù)，

所以[a0+a1+a2+…+a9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9]，

令[x=-1]，則[a0+a1+a2+…+a9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=[1-3×（-1）]9=49].

根據(jù)二項(xiàng)式定理將[（1-3x）9]展開，即可判斷出[（1-3x）9]的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，便可將目標(biāo)式中的絕對(duì)值符號(hào)去掉，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求[a0-a1+a2-a3+…+a8-a9].再令[x=-1]，就能順利求得問(wèn)題的答案.

二、求最大系數(shù)

由二項(xiàng)式定理可知，二項(xiàng)展開式的系數(shù)分別為[C0n，C1n，…，Cnn].如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)為偶數(shù)，則中間項(xiàng)的系數(shù)[Cn2n]最大；若二項(xiàng)式的冪指數(shù)為奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的系數(shù)[Cn-12n]和[Cn+12n]最大.而二項(xiàng)式的展開式中[x]項(xiàng)的系數(shù)是[Cin]與常數(shù)的乘積，要求二項(xiàng)式的展開式中[x]項(xiàng)的最大系數(shù)，需先根據(jù)二項(xiàng)式定理求得二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，然后求系數(shù)最大的項(xiàng).

例3.若[（12+2x）n]展開式的第五項(xiàng)、第六項(xiàng)、第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù).

解：由二項(xiàng)式定理可知展開式的第五項(xiàng)、第六項(xiàng)、第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為[C4n、C5n、C6n]，所以[C4n+C6n=2C5n]，即[n2-21n+98=0]，解得[n=7]或[n=14]，

當(dāng)[n=7]時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是[T4]和[T5]，則[T4]的系數(shù)為[C37?（12）4?23=352]，[T5]的系數(shù)為[C47?（12）3?24=70].

當(dāng)[n=14]時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是[T8]，則[T8]的系數(shù)為[C714?（12）7?27=3432].

解答本題，需明確二項(xiàng)式系數(shù)是[Cin].要求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，需確定二項(xiàng)式的展開式的中間項(xiàng)，計(jì)算出[n]的值，即可找到二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

二項(xiàng)式及其展開式問(wèn)題雖然看似較為復(fù)雜，但我們只要靈活運(yùn)用二項(xiàng)式定理將其展開，根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)尋找到二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)及其最大值，就能輕松獲解.