妙用圖形的對稱性求函數(shù)的解析式

對稱性是函數(shù)的性質(zhì)之一，主要包括中心對稱和軸對稱.一般地，對于曲線方程[Fx，y=0]，①如果用[-y]替換[y]，方程不變，則曲線關(guān)于[x]軸對稱；②如果用[-x]代替[x]，方程不變，則曲線關(guān)于[y]軸對稱；③如果用[-y]替換[y]、用[-x]代替[x]，方程依舊保持不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱.可見圖形的對稱性與函數(shù)的解析式聯(lián)系緊密.那么如何根據(jù)圖形的對稱性求函數(shù)的解析式呢？可以從以下兩個方面入手.

一、利用中心對稱圖形的性質(zhì)求函數(shù)的解析式

例1.若函數(shù)[y=fx]是奇函數(shù)，當(dāng)[xgt;0]時， [fx=x2-2x+3]，則當(dāng)[xlt;0]時，函數(shù)[fx]解析式為（" " "）.

[A. fx=-x2+2x-3] [B. fx=-x2-2x-3]

[C. fx=x2-2x+3] [D. fx=-x2-2x+3]

解：因?yàn)楹瘮?shù)[y=fx]是奇函數(shù)，

則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以[fx=-f-x]，

設(shè)[xlt;0]，則[-xgt;0]，

則[f-x=-x2-2-x+3=x2+2x+3]，

則[-f-x=-x2-2x-3]，

即當(dāng)[xlt;0]時，函數(shù)[fx]的解析式為[fx=-x2-2x-3].

故正確答案為B選項(xiàng).

由于[Mx，y]關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為[M′-x，-y]，所以對于關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)，只需要用[-y]替換[y]、用[-x]代替[x]，即可求得函數(shù)的解析式.本題中的函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象為中心對稱圖形，所以[f-x=-fx]，用-x替換當(dāng)[xgt;0]時函數(shù)解析式中的x，即可求得當(dāng)[xlt;0]時函數(shù)的解析式.

例2.已知函數(shù)[fx]是定義在[R]上的奇函數(shù)，當(dāng)[x≤0]時， [fx=-x2-2ax+a+1]，求函數(shù)[fx]的解析式.

解：∵[fx]是定義在[R]上的奇函數(shù)，

∴[f0=a+1=0]，解得[a=-1]，

∴當(dāng)[x≤0]時， [fx=-x2+2x]，

∵[fx]是定義在[R]上的奇函數(shù)，

∴[f-x=-fx]，即[fx=-f-x=x2+2x]，

解答本題，需根據(jù)函數(shù)奇函數(shù)的對稱性，即關(guān)于原點(diǎn)對稱，來建立關(guān)系式[f-x=-fx]， [f0=0]，從而求出參數(shù)[a]的值和在定義域[R]上的函數(shù)解析式.

例3.已知函數(shù)[fx=x2+x]與函數(shù)[gx]的圖象關(guān)于點(diǎn)[-2，3]對稱，求函數(shù)[gx]的解析式.

解：設(shè)[Mx，y]是[y=gx]上的任意一點(diǎn)，且點(diǎn)[Mx，y]關(guān)于點(diǎn)[-2，3]對稱的點(diǎn)[Mx，y]，

整理得[y=-x2-7x-6]，

∴函數(shù)[gx]的解析式為[y=-x2-7x-6].

首先設(shè)出[fx=x2+x]、[y=gx]上的點(diǎn)[Mx，y]、[Mx，y]；然后根據(jù)M、[M]關(guān)于點(diǎn)[-2，3]對稱，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程式組；再用x、y表示出[x]、[y]，即可消去[x]、[y]，從而求得函數(shù)[gx]的解析式.

二、根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)求函數(shù)的解析式

例4.已知函數(shù)的解析式[y=lgx2+1xgt;0]，若函數(shù)[fx]是該函數(shù)的反函數(shù)，求函數(shù)[fx]的解析式.

解：由題意可得，反函數(shù)的圖象和原函數(shù)的圖象關(guān)于[y=x]對稱，

我們知道M（x、y）關(guān)于[y=x]對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為[My，x]，且互為反函數(shù)的圖形關(guān)于[y=x]對稱，所以只需用[y]取代原解析式中的[x]，用[x]取代原解析式中的[y]，即可求得函數(shù)的解析式.

由于函數(shù)[fx]與[f-1x]的圖象關(guān)于[y=x]對稱，所以用[y]取代函數(shù)解析式中的[x]，用[x]取代函數(shù)解析式中的[y]，就能求出反函數(shù)的解析式.

M（x，y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為[M-x，y]，因此[f-x=fx]或[y=-y].在求關(guān)于y軸對稱的函數(shù)解析式時，只需用-x替換x，即可求得函數(shù)的解析式.

例7.已知函數(shù)[fx]是定義在[R]上的偶函數(shù)，當(dāng)[x≤0]時， [fx=x2+2x]，則當(dāng)[x≥0]時， [fx=]_____.

解：當(dāng)[x≥0]時，[-x≤0]，

則[f-x=x2-2x=fx]，

即當(dāng)[x≥0]時， [fx=x2-2x].

對于偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以直接令[x=-x]，通過代換即可求得函數(shù)的解析式.

總之，根據(jù)圖形的對稱性求函數(shù)的解析式，要熟悉中心對稱、軸對稱圖形的性質(zhì)，明確圖形中對稱點(diǎn)之間的關(guān)系，以及對稱點(diǎn)與對稱中心、對稱軸之間的關(guān)系，據(jù)此建立關(guān)系式，通過代換求得問題的答案.