抓住遞推式的特點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式

數(shù)列是按照一定的次序排列的一列數(shù)，通?？捎孟鄳?yīng)的通項(xiàng)公式來表示一個(gè)數(shù)列.而求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，往往需重點(diǎn)研究數(shù)列的遞推關(guān)系式，根據(jù)其特點(diǎn)進(jìn)行合理的變形.本文結(jié)合幾個(gè)典型例題，介紹一下求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的兩種方法.

一、累加（乘）法

n-1，并將這n-1個(gè)式子累加，即可通過簡單的計(jì)算，求得[an]的表達(dá)式.

例2.設(shè)數(shù)列[an]是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且[（n+1）an+12-nan2+an+1an=0（n=1，2，3，…）]，求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)閇（n+1）an+12-nan2+an+1an=0]，

所以[（n+1）an+1-nanan+1+an=0]，

二、構(gòu)造法

構(gòu)造法是求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法.對于一些結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的遞推關(guān)系式，通常需通過換元、取倒數(shù)、取對數(shù)、平方、開方、引入待定系數(shù)等方式，構(gòu)造出輔助數(shù)列，如等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列，或便于計(jì)算的常見數(shù)列，便可通過求輔助數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得原數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例5.若數(shù)列[an]中，[a1=3]，[an+1=a2n]（[n]是正整數(shù)），求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式.

解：由題意知[angt;0]，

例6.在數(shù)列[an]中，[a1=-1，an+1=2an+4?3n-1]，求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式.

解：設(shè)[an+1+λ?3n=2an+λ?3n-1]，

將其與[an+1=2an+4?3n-1]的系數(shù)相比較可得[λ=-4]，

則[an+1-4?3n=2an-4?3n-1]，

所以數(shù)列[an-4?3n-1]是一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為[a1-4?31-1=-5]，公比是2，

則[an-4?3n-1=-5?2n-1]，即[an=4?3n-1-5?2n-1]，

[a1=-1]滿足該通項(xiàng)公式，所以數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式為[an=4?3n-1-5?2n-1].

解答本題，需利用待定系數(shù)法求出[λ]的值，進(jìn)而構(gòu)造出等比數(shù)列.通過運(yùn)用待定系數(shù)法來構(gòu)造輔助數(shù)列的常見遞推關(guān)系式有：（1）[an+1=Aan+B]（A、B為常數(shù)）型，可將其化為[an+1+λ=Aan+λ]的形式；（2）[an+1=Aan+B?Cn]（A、B、C為常數(shù)）型，可將其化為[an+1+λ?Cn+1=Aan+λ?Cn]的形式；（3）[an+2=A?an+1+B?an]（A、B為常數(shù)）型，可將其化為[an+2+λan+1=A?an+1+λan]的形式；（4）[an+1=Aan+Bn+C]（A、B、C為常數(shù)）型，可將其化為[an+1+λ1n+λ2=Aan+λ1（n-1）+λ2]的形式，從而構(gòu)造出輔助數(shù)列.

可見，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，需將遞推關(guān)系式進(jìn)行合理的變形，如做除法、做減法、換元、取倒數(shù)、取對數(shù)、平方、開方、引入待定系數(shù)等，以將問題轉(zhuǎn)化為簡單的、易于計(jì)算的數(shù)列通項(xiàng)公式問題，這樣才能化繁為簡，提升解題的效率.