基于均勻相位采樣提高阻抗譜測量精度的研究

王選擇, 蔡玉雄, 尹晉平, 翟中生, 馮維

(1.湖北工業(yè)大學機械工程學院, 武漢 430068; 2.湖北省現(xiàn)代制造質(zhì)量重點實驗室, 武漢 430068)

長期以來,阻抗譜是一種為實物對象建立等效電路模型的基本研究方法,在電化學、陶瓷工程、建筑領域等領域存在廣泛的應用[1-3],為準確建立被測對象的等效電路模型以及模型參數(shù)的精確識別提供了重要的依據(jù)。因此,精確的阻抗譜測量變得尤為重要。

在阻抗譜測量中,隨著激勵頻率的增加,滿足采樣定理的信號采集轉(zhuǎn)換頻率也必須隨之增加[4-5],導致低成本的常規(guī)轉(zhuǎn)換速率的ADC模塊無法滿足要求?？紤]到阻抗譜測量中,用于激勵輸入與產(chǎn)生響應的輸出正弦信號具有周期重復的特點,滿足等效時間采樣方法中,通過常規(guī)的低頻采樣轉(zhuǎn)換實現(xiàn)等效的高頻信號采集的要求,在阻抗譜的高頻段測量中選用該方法具有非常實用的價值[5-6]。它的基本思想是通過合理設計采樣頻率與激勵頻率的關系,把多個周期內(nèi)采樣的信號重構(gòu)為一個周期內(nèi)的采樣信號,實現(xiàn)從欠采樣過渡到等效過采樣的目的。

阻抗譜測量主要是通過不同頻率正弦信號的激勵,同時求解輸出與輸入信號的幅值比與相位差,來給出被測系統(tǒng)的幅值譜與相位譜[7-8]。因此阻抗譜的準確測量往往依賴于對采集的正弦信號的幅值與初相位進行準確的估計[9]。在頻率已知的條件下,采用基于最小二乘法的三參數(shù)正弦曲線擬合,以抑制白噪聲的影響,并估計采集信號的幅值與相位信息[10-11]。然而,特別是對于基于直接數(shù)字合成(direct digital synthesis, DDS)技術所產(chǎn)生的高頻正弦信號,其干擾不僅來自隨機的白噪聲,也來自窄頻的干擾,如諧波或間諧波的影響等[12],它們直接導致正弦信號上局部點的系統(tǒng)誤差,決定著擬合估計參數(shù)的正確性。因此,抑制局部點系統(tǒng)誤差的影響可以顯著提高阻抗譜的測量精度。

現(xiàn)以ARM單片機STM32F4為核心,利用其DAC與ADC模塊,產(chǎn)生正弦激勵信號,并同步采集激勵與輸出信號。針對相對高頻的20～100 kHz,在傳統(tǒng)等效時間采樣思想的基礎上,通過激勵與采樣時鐘觸發(fā)頻率的條件設計,實現(xiàn)等效高頻與完整周期信號采樣的目的。利用誤差分析論證基于等效采樣思想的均勻相位采樣方法與常規(guī)的重復相位采樣方法對正弦擬合參數(shù)的影響,表明均勻相位采樣方法在參數(shù)估計中具有更高的誤差抑制能力。利用一階的RC系統(tǒng)模型進行實測與計算,驗證所設計的等效采樣方法具有更精確的阻抗譜的估計精度。

1 均勻相位采樣方法描述

本文提出的均勻相位采樣方法,實質(zhì)是利用等效時間采樣的思想,在多個信號周期的采樣時間內(nèi),實現(xiàn)均勻相位的采樣。具體方法是在m個整數(shù)正弦信號周期內(nèi)采樣n個點,且滿足m、n互質(zhì)的關系,這樣n個點的相位通過圓整等效到(-π,π)之間后,此時n點相位在(-π,π)內(nèi)均勻分布,稱為n點均勻相位采樣方法。

圖1顯示了7個周期內(nèi)等間隔采樣20個點與7個周期內(nèi)等間隔采樣21個點的采樣情況,其中橫坐標為相位。顯然由于7與20互質(zhì),因此為均勻相位采樣,7與21最大公倍數(shù)為7,因此,每個采樣相位點被重復7次,屬于重復相位采樣。

圖1 均勻相位采樣與重復相位采樣Fig.1 Uniform phase sampling and repetitive phase sampling

圖2為通過橫坐標相位圓整重構(gòu)后的信號:重構(gòu)到一個周期后,均勻相位采樣的20個點平均分布不同相位上,而重復相位的21個采樣點僅僅被分配在3個相位點上,每個相位點上對應有7個采樣點。

圖2 信號重構(gòu)Fig.2 Signal reconstruction

對相位的重構(gòu)采用的方法為

(1)

式(1)中:φ為采樣點對應的相位,分布在m個采樣周期內(nèi),其值對應(0,2mπ)范圍內(nèi);φc為圓整后的相位,分布在(-π,π)范圍內(nèi);[]為向下取整運算。

這種周期數(shù)與采樣點數(shù)互質(zhì)的采樣設計既保證了采樣信號的周期完整性,又保證一個周期內(nèi)具有足夠不同相位的采樣點,為后續(xù)數(shù)據(jù)處理上精度的提高提供了對稱性與完備性的保證。

2 均勻相位采樣提高精度的理論證明

2.1 整周期三參數(shù)正弦擬合簡化計算方法

不管是基于等效采樣時間思想的均勻相位采樣還是常規(guī)的重復相位采樣方法,對正弦信號等間隔采樣獲得的n個序列點,均可表達為

x(k)=Asin(φ0+kδ)+c+εk

(2)

式(2)中:A為正弦信號的幅值;φ0為采樣初相位;δ為采樣間隔相位;c為直流偏置;k為采樣序列號,從0到n-1;εk為采樣誤差;A、φ0與c為待估參數(shù);δ為已知量。

式(2)展開后可寫成

x(k)=Asinφ0coskδ+Acosφ0sinkδ+c+εk

(3)

(4)

一旦求得a、b,再通過式(5),可以計算正弦信號的幅值A與初相位φ0。

(5)

2.2 兩種采樣方法參數(shù)估計誤差的比較分析

雖然基于等效采樣的均勻相位采樣方法在信號處理精度上明顯優(yōu)于重復采樣方法,特別是在信號存在一定畸變的條件下優(yōu)勢更加明顯,但目前沒有查閱到對該結(jié)論進行完整的理論分析與證明方面的文獻,這里從誤差假設以及擬合計算所用推導算法的角度上加以分析,進行必要的論證。

前面提及正弦激勵信號的干擾既含有隨機白噪聲,也含有窄頻諧波或間諧波的干擾影響,加上DDS技術采用的模/數(shù)轉(zhuǎn)換器(digital to analog convertor, DAC)本身非線性的影響導致正弦信號出現(xiàn)的系統(tǒng)畸變。因此,假設任何采樣點上都存在畸變系統(tǒng)誤差εpk與隨機誤差εrk,且信號上來自于畸變的系統(tǒng)誤差與采樣相位點φk相關,那么采樣信號去掉畸變系統(tǒng)誤差εpk后,有

y(k)=x(k)-εpk

(6)

也就是y(k)為只含隨機誤差、不含畸變系統(tǒng)誤差的采樣序列,假設滿足的關系為

(7)

式(7)中:A*、φ0*、c*為待求的信號幅值、初相位及直流偏置。

(8)

比較式(4)與式(8),得出有畸變與無畸變情況下的擬合參數(shù)之差為

(9)

(10)

假設各相位點之間的系統(tǒng)誤差是相互獨立的,即不同的相位點上,系統(tǒng)誤差具有隨機性。因此對于均勻相位采樣方法,所有εpk相互獨立,受正弦信號畸變的影響,其擬合參數(shù)的方差滿足

(11)

對于重復相位采樣方法,假設有s組相位相同,相互獨立的εpk僅有n/s,那么擬合參數(shù)的方差計算為

(12)

3 均勻相位采樣系統(tǒng)相關參數(shù)的設計

3.1 采樣系統(tǒng)的硬件方案

阻抗譜測量系統(tǒng)的核心硬件設計,直接采用單片機STM32F4的模塊功能完成。如圖3所示,利用內(nèi)部集成的12位DAC與多個12位ADC模塊,通過DDS與同步采樣技術分別產(chǎn)生正弦激勵信號與完成輸入與輸出信號的采集。

圖3 硬件設計示意圖Fig.3 Hardware design diagram

DAC模塊產(chǎn)生的正弦激勵信號直接作為輸入信號與輸出信號分別送入到采集模塊ADC1與ADC2,用于阻抗譜的分析。

由于單片機內(nèi)部的ADC采樣觸發(fā)時間包含采樣與保持兩個階段的時間,真正的AD轉(zhuǎn)換在保持階段進行。如圖4所示,雖然它的采樣積分時間T1很短,但由于受到轉(zhuǎn)換時間T2的限制,采樣轉(zhuǎn)換頻率也受到很大的限制。盡管如此,采樣積分時間T1很短的特點為均勻相位采樣方式提供了實現(xiàn)的必要條件。

圖4 A/D周期間隔Fig.4 A/D cycle interval

3.2 均勻相位采樣的激勵與采集觸發(fā)參數(shù)的設計

在m、n互質(zhì)條件下,m個周期內(nèi)采樣n個點的均勻相位采樣,要求高頻激勵信號頻率fx與采樣頻率fs需要滿足的關系為

(13)

也就是采樣頻率滿足fs=(n/m)fx,通過重構(gòu)的周期合成后,n個點合成到一個周期內(nèi),那么等效采樣頻率fse為

fse=nfx=mfs

(14)

顯然通過激勵信號與采樣信號頻率的合理設置,保證等效采樣頻率相對實際采樣頻率而言,得到顯著提高。

考慮到激勵信號的頻率或周期由DDS的周期數(shù)據(jù)量NDDS與DAC的觸發(fā)時間TDAC決定,而觸發(fā)時鐘一般由單片機內(nèi)部定時器實現(xiàn)。假設DAC觸發(fā)定時器累加計數(shù)器設置為NDAC,單片機的基準時鐘周期為TB,那么激勵信號的周期為

Tx=NDDSNDACTB

(15)

同樣,若ADC轉(zhuǎn)換由另一個具有同樣基準時鐘的定時器來觸發(fā),那么ADC采樣周期Ts也由該觸發(fā)定時器累加計數(shù)器NADC決定。

Ts=NADCTB

(16)

結(jié)合式(13),相關參數(shù)的設置應滿足的要求為

mNDDSNDAC=nNADC

(17)

由于m、n互質(zhì),則必須存在正整數(shù)r滿足的條件為

(18)

對于基準時鐘頻率為168 M的單片機系統(tǒng),滿足式(18)且m、n互質(zhì)條件的20～100 kHz的激勵信號各參數(shù)設置如表1所示。這里NDDS、NDAC、NADC的設置充分考慮了單片機DAC與ADC轉(zhuǎn)換所需要的極限時間,因此它們的取值特別是NDAC與NADC受到了限制,不能小于一定的量值。

表1 正弦激勵與信號采樣頻率相關參數(shù)設置Table 1 Setting of parameters related to sinusoidal excitation and signal sampling frequency

4 實驗驗證

為了驗證基于等效思想的均勻采樣相位方法在提高阻抗譜測量精度上的有效性,采用以下兩種不同的模型進行驗證:它們以標準電阻R0作為參考,分別組成兩種電路模型,其中一種被測對象直接采用最簡單的電容模型,一種是電容電阻組合模型,如圖5所示。

圖5 測量模型Fig.5 Measurement model

根據(jù)電容的阻抗特性,圖5(a)所示的模型輸出與輸入之間滿足如下的傳遞函數(shù)關系,即

(19)

式(19)中:VI(s) 為輸入信號Vi的拉式變換;VO(s)為輸出信號Vo的拉式變換。

圖5(b)中輸出與輸入之間滿足如下關系,即

(20)

選擇電阻R0=10 kΩ,Rx=10 kΩ,Cx=10 nF,Cx1=22 nF,Cx2=10 nF,在同等環(huán)境與采樣硬件條件下,分別采用均勻相位與重復相位采樣處理方式,測試兩種模型的輸入輸出阻抗譜,如圖6所示,其中圖6(a)和圖6(b)顯示了G1的幅頻與相頻的測試特性曲線,圖6(c)和圖6(d)為G2的幅頻與相頻特性曲線。

圖6 單次測試阻抗譜Fig.6 Single test impedance spectrum

從圖6中可以看出,在低頻段均勻相位采樣與重復相位采樣處理結(jié)果基本一致,與理論曲線相符;在高頻段,重復相位采樣的相位結(jié)果極大偏離理論結(jié)果,而均勻相位采樣的幅相譜均與理論曲線符合,最大模值相對誤差誤差小于0.002 8,最大相位誤差不超過0.01 rad,有效抑制了系統(tǒng)誤差。

為了驗證兩種方法測試結(jié)果的穩(wěn)定性,分別對兩組模型進行300次測試實驗,實驗結(jié)果分別如圖7和圖8所示。由圖7和圖8可知,在頻率高于20 kHz后,重復相位采樣的300次實驗結(jié)果的標準差明顯高于均勻相位采樣標準差,且均勻相位采樣的300次實驗結(jié)果的標準差均在0.000 5以下,因此,均勻相位采樣能夠更有效地抑制隨機誤差的影響,測試穩(wěn)定性更高。

圖7 純電容模型多次阻抗譜測試結(jié)果Fig.7 Test results of multiple impedance spectrum of pure capacitance model

圖8 復阻抗模型多次阻抗譜測試結(jié)果Fig.8 Multiple impedance spectrum test results of complex impedance model

5 結(jié)論

針對阻抗譜高頻測量段采樣頻率過低導致采樣精度不足的問題,提出了利用等效采樣思想設計與激勵頻率與采樣頻率有關的參數(shù),使得在低頻的A/D轉(zhuǎn)換下,實現(xiàn)高頻周期信號的采集,解決欠采樣條件下擬合精度過低的問題。

(1)從正弦激勵與響應信號本身存在的系統(tǒng)畸變誤差角度,分析并證明了相對于常規(guī)的重復相位采樣方法而言,等效采樣所實現(xiàn)均勻相位采樣方法能夠提高測量精度的原因。

(2)通過所設計的實驗對兩種常規(guī)等效電路模型的驗證,表明該方法在所設計的高頻段20～100 kHz上阻抗譜精度與穩(wěn)定性得到了顯著的提高,為目前自帶A/D轉(zhuǎn)換的現(xiàn)有高性能單片機直接實現(xiàn)相對寬帶高頻阻抗的測量提供了新思路。