用學(xué)具統(tǒng)整知識(shí)建構(gòu)

摘 要：三角尺是特殊的三角形，具備三角形的所有特征，可以從角、邊、形狀、大小等維度展開探究，從而整體建構(gòu)三角形的知識(shí)。由此，以“探尋三角尺的秘密”為主題，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)中三角形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行統(tǒng)整（拓展），來組織研究性學(xué)習(xí)：首先引導(dǎo)學(xué)生查閱資料，了解三角尺的“前世今生”，然后組織學(xué)生操作實(shí)物，從一個(gè)三角尺到多個(gè)三角尺，從角、邊到形狀、大小，循序漸進(jìn)地探究三角尺的奧秘，最后讓學(xué)生對(duì)三角尺進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)，并闡述設(shè)計(jì)思路。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；三角尺；三角形；主題教學(xué)

三角尺是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備工具，學(xué)生需要使用三角尺進(jìn)行畫線段、量長(zhǎng)度、畫垂線和平行線、判斷角等常規(guī)操作。在一次操作過程中，一位學(xué)生對(duì)這個(gè)熟悉的學(xué)具提出了疑問：“為什么每一副三角尺的形狀都是一樣的？”一石激起千層浪：“三角形有各種形狀，為什么三角尺只有這兩種形狀？”“為什么三角尺都是直角三角形，不做成銳角三角形或鈍角三角形？”……

筆者認(rèn)為，學(xué)生疑問表象的背后蘊(yùn)含著對(duì)三角形概念理解的本質(zhì)訴求。三角尺是特殊的三角形，具備三角形的所有特征，可以從角、邊、形狀、大小等維度展開探究，從而整體建構(gòu)三角形的知識(shí)——自然可以獲得“三角尺為什么要設(shè)計(jì)成這種形狀”的答案。

從角的維度看，每一副三角尺角的度數(shù)是固定的。通過對(duì)三角尺角的研究，可以深入理解：三角尺是直角三角形（涉及三角形的分類）；三角尺三個(gè)角的和是180°（涉及三角形的內(nèi)角和）；三角尺的三個(gè)角存在倍數(shù)關(guān)系（涉及拼出的角是15°的倍數(shù)）……

從邊的維度看，一種三角尺的兩條直角邊相等，另一種三角尺的短直角邊是斜邊的一半。通過對(duì)三角尺邊的研究，可以深入理解：一種三角尺是等腰三角形，另一種三角尺是等邊三角形的一半（涉及三角形的分類）；三角尺的三條邊存在一定的數(shù)量關(guān)系（涉及三角形的三邊關(guān)系以及三角形的周長(zhǎng)）……

從形狀和大小的維度看，每一副三角尺的形狀都是固定的，而大小不固定。通過對(duì)三角尺形狀和大小的研究，可以深入理解：兩個(gè)完全一樣的三角尺能拼成正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、箏形等（涉及三角形面積與四邊形面積的關(guān)系）；四個(gè)完全一樣的三角尺能拼成弦圖等（涉及初中的勾股定理）……

鑒于此，筆者以“探尋三角尺的秘密”為主題，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)中三角形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行統(tǒng)整（拓展），來組織研究性學(xué)習(xí)?？紤]到這是一個(gè)開放、多元的主題，相關(guān)問題的解決具有一定的難度，以及三角尺的設(shè)計(jì)通常只是一種合乎情理的“規(guī)定”，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生查閱資料，了解三角尺的“前世今生”，然后組織學(xué)生操作實(shí)物，從一個(gè)三角尺到多個(gè)三角尺，從角、邊到形狀、大小，循序漸進(jìn)地探究三角尺的奧秘，最后讓學(xué)生對(duì)三角尺進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)，并闡述設(shè)計(jì)思路。

一、 查閱資料，了解三角尺的“前世今生”

課前，讓學(xué)生自由組隊(duì)，查閱關(guān)于三角尺的資料（上網(wǎng)搜索、到圖書館查詢等），記錄感興趣的內(nèi)容，進(jìn)而結(jié)合查閱的資料，提出研究的問題，思考研究的方向。

課始，教師組織學(xué)生小組展示、匯報(bào)前期調(diào)查的結(jié)果，談?wù)勅浅叩摹澳切┦聝骸?，并說說本組的研究思路。具體過程如下：

師 同學(xué)們，關(guān)于三角尺，你們查找到了哪些資料，了解了哪些情況？

生 三角尺上一般都有直尺。

生 有的三角尺上還有半圓形的量角器。

生 三角尺都是直角三角形。

生 一個(gè)三角尺的兩條直角邊相等，另一個(gè)的兩條直角邊不相等。

生 我們查到，三角尺是魯班發(fā)明的，剛開始是用來畫直角的，也被稱為班尺。

生 建筑工人可以用三角尺來測(cè)量墻是不是直角，但是為什么都是直角三角形，我們沒有查到這方面的資料。

師 同學(xué)們查到的關(guān)于三角尺的資料還比較少，無法很好地解釋我們提出的問題。對(duì)此，我們可以進(jìn)一步探究。那么，你們覺得可以從哪些方面展開？

生 可以量一量三角尺的角和邊，看有沒有什么特別的地方。

生 可以用幾把三角尺拼一拼，看跟其他圖形有沒有什么聯(lián)系。

生 三角尺是三角形的，可以研究一下三角形，然后跟三角尺比一比，看有沒有什么特別的地方。

師 角、邊是平面圖形的局部要素，形狀、大小是平面圖形的整體屬性?？梢詮倪@幾個(gè)方面去探究，找一找三角尺有什么特別之處。

前期的調(diào)查與分享，使學(xué)生多角度地了解三角尺的歷史與現(xiàn)狀，對(duì)三角尺的價(jià)值和功能形成一定的認(rèn)知：三角尺既能作為學(xué)習(xí)工具，也具有生活、生產(chǎn)的實(shí)用性。學(xué)生查到的資料不全面：只能提供“是什么”的直觀感受，無法更好地解釋“為什么”的理性思考。這一點(diǎn)在筆者的預(yù)設(shè)中：四年級(jí)學(xué)生查閱資料的能力還有待提高。同時(shí)，為后續(xù)教學(xué)做好了鋪墊：學(xué)生必須進(jìn)一步基于實(shí)物，聯(lián)系三角形的特征，探究三角尺的奧秘。而引導(dǎo)學(xué)生確定研究思路，可以強(qiáng)化研究平面圖形的一般方法，幫助學(xué)生以整體的視角審視三角尺。

二、 操作實(shí)物，對(duì)一個(gè)三角尺進(jìn)行觀測(cè)

（一） 探究角的特征

師 觀察三角尺的角，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生 兩種三角尺都有一個(gè)直角和兩個(gè)銳角。

生 所以，它們都是直角三角形。

師 直角三角形只是三角形中的一種類型，還有哪些類型的三角形？

生 銳角三角形和鈍角三角形。

師 （出示多個(gè)三角形）有了三角尺，你能用比一比、畫一畫等方法給這些三角形歸歸類嗎？

生 我用三角尺上的直角比了一下，有一個(gè)角是鈍角，這個(gè)三角形是鈍角三角形。

生 三個(gè)角都是銳角，這個(gè)三角形是銳角三角形。

生 有一個(gè)角是直角，這個(gè)三角形是直角三角形——但是，它的形狀跟三角尺的形狀不一樣。

師 如果三角尺不是直角三角形，你還能用三角尺很快判斷出一個(gè)三角形是什么三角形嗎？

生 能，有的鈍角和銳角一眼就能看出來。

生 不一定，有的鈍角和銳角要用直角去比才能判斷出。

師 做成直角三角形，能快速判斷其他三角形的類型，這是三角尺的一個(gè)優(yōu)勢(shì)。下面，請(qǐng)你們?cè)贉y(cè)量一下三角尺三個(gè)角的大小，說說有什么發(fā)現(xiàn)。

生 一個(gè)三角尺的三個(gè)角分別是30°、60°、90°，兩個(gè)大的角分別是最小角的2倍、3倍。

生 另一個(gè)三角尺的三個(gè)角分別是45°、45°、90°，兩個(gè)小的角是一樣的，都是90°的一半。

生 我發(fā)現(xiàn)，三角尺的兩個(gè)銳角加起來都是90°。

生 我算了一下，三角尺的三個(gè)角加起來都是180°。

師 三個(gè)角的和就是內(nèi)角和。每一副三角尺的內(nèi)角和都是180°，請(qǐng)你猜測(cè)一下：其他三角形的內(nèi)角和會(huì)是多少？

生 鈍角三角形的內(nèi)角和應(yīng)該比180°大，銳角三角形的內(nèi)角和應(yīng)該比180°小。

生 我猜測(cè)都是180°。

師 （提供各種三角形的紙片）請(qǐng)你們用量一量、撕一撕等方法研究一般三角形的內(nèi)角和，說說你有什么發(fā)現(xiàn)。

生 我量的這個(gè)銳角三角形，三個(gè)角加起來是180°。

生 我量的是鈍角三角形，也是180°。

生 我量了這個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角，加起來正好是90°，所以，這個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180°。

生 我折了一下這個(gè)鈍角三角形，三個(gè)角組合起來，正好形成一條直線，所以，它的內(nèi)角和是180°。

生 我把這個(gè)銳角三角形的三個(gè)角撕下來拼了一下，發(fā)現(xiàn)能拼出一個(gè)平角，就是180°。

師 三角形的內(nèi)角和都是180°，三角尺作為其中的兩種特殊類型，它們的三個(gè)角之間還存在倍數(shù)關(guān)系。

（二） 探究邊的特征

師 測(cè)量三角尺三條邊的長(zhǎng)度，看它們有什么關(guān)系？

生 兩個(gè)銳角相等的三角尺，兩條直角條邊也相等。

生 兩個(gè)銳角不等的三角尺，短一點(diǎn)的直角邊是斜邊的一半。

生 我發(fā)現(xiàn)，斜邊比較長(zhǎng)，直角邊比較短。

生 我發(fā)現(xiàn)，所對(duì)的角越小，邊就越短。

生 我發(fā)現(xiàn)，兩條短一點(diǎn)的邊加起來比最長(zhǎng)的那條邊要長(zhǎng)。

師 這就表明，任意兩條邊加起來都比第三條邊要長(zhǎng)。那么，一般三角形的三條邊是不是也有這樣的關(guān)系呢？請(qǐng)你用量一量、比一比、算一算等方法來研究一下。

生 其他角度的直角三角形不存在兩條直角邊相等的情況，短一點(diǎn)的直角邊也不是斜邊的一半。

生 任意三角形的兩邊之和都大于第三邊。

師 看來三角形的三邊關(guān)系是一定的，而三角尺的三邊關(guān)系又有特殊的地方。

角、邊是多邊形的基本要素。對(duì)一個(gè)三角尺進(jìn)行觀測(cè)，重點(diǎn)可以放在對(duì)角、邊的觀測(cè)上。采用從特殊到一般的探究方法，可以讓學(xué)生借助具體、直觀、真實(shí)的三角尺，更好地理解一般三角形基于角的分類、基于邊的分類以及角的關(guān)系、邊的關(guān)系，同時(shí)深刻地感悟三角尺相較于一般三角形的獨(dú)特性，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三角尺的價(jià)值和功能。

三、 操作實(shí)物，用兩個(gè)三角尺進(jìn)行組拼

（一） 用兩個(gè)不同的三角尺組角

師 三角尺的角是固定的特殊角，用一副三角尺能畫出哪些不同的角度？

生 用一個(gè)角畫，能畫出四種角度：30°、45°、60°、90°。

生 把兩個(gè)角加起來，還能畫出六種角：75°、105°、120°、135°、150°、180°。

生 用一個(gè)角減另一個(gè)角，還能畫出15°。

生 把三個(gè)角加起來，還能畫出165°，即30°+45°+90°。

師 （從小到大排列學(xué)生畫出的角度）仔細(xì)觀察這些角度，它們有什么特點(diǎn)？

生 能畫出的最小的角度是15°，其他角度都是15°的倍數(shù)。

師 按照這個(gè)規(guī)律，用一副三角尺還能畫出哪些角度？

生 還能畫出300°。

生 從180°開始，不停地加15°，都能畫出來。

師 是的，一直可以畫到360°。（出示一個(gè)圓）如果讓你用一副三角尺把這個(gè)圓平均分，你會(huì)操作嗎？

生 我用直角分，分成了4份。

生 我用45°角分，分成了8份。

生 我們用60°角分，分成了6份。

生 我們用30°角分，分成了12份。

師 還有不同的分法嗎？試試看。

生 可以用兩個(gè)三角尺重疊后得出的15°角分，能分成24份。

師 三角尺有邊有角，卻可以把圓平均分，這是由三角尺角的特殊性決定的。

（二） 用兩個(gè)相同的三角尺拼圖

師 嘗試發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)不一樣的三角尺拼不出規(guī)則的圖形。那么，請(qǐng)你用兩個(gè)一樣的三角尺拼一拼，看看可以拼出哪些平面圖形。

生 我們用兩個(gè)等腰三角尺拼出了正方形、平行四邊形和大的等腰直角三角形。

生 我們用兩個(gè)斜三角尺拼出了長(zhǎng)方形、平行四邊形、等邊三角形和等腰鈍角三角形，還有一個(gè)叫不出名字的四邊形。

師 老師來告訴你：這個(gè)四邊形叫作箏形。它有兩組鄰邊相等，它的對(duì)角線互相垂直。（出示圖1和圖2）觀察這兩個(gè)圖形，你覺得三角尺為什么要設(shè)計(jì)成現(xiàn)在這種形狀呢？

生 兩種三角尺分別是正方形和等邊三角形的一半。

生 正方形的四條邊相等，四個(gè)角相等；等邊三角形的三條邊相等，三個(gè)角相等。它們都是很完美的圖形，而它們一分為二就形成了三角尺的形狀。

師 等邊三角形又叫正三角形，正方形又叫正四邊形。古希臘人把最具有對(duì)稱美的正三角形和正四邊形看成最基本的圖形，而一副三角尺正好是這兩個(gè)基本圖形的一半，這就是三角尺最獨(dú)特的地方。（稍停）你覺得三角尺的面積與拼出的平面圖形的面積有什么關(guān)系呢？

生 三角尺的面積是拼出的圖形面積的一半。

師 是的，這很明顯。面積一般是用相互垂直的一組底和高來計(jì)算的。暫不考慮我們沒有學(xué)過的箏形，如果把正方形的兩條鄰邊、長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都看作一組底和高，那么三角尺的底和高和拼出的圖形的底和高有什么關(guān)系？

生 三角尺的底和高和拼出的三角形的底的一半和高對(duì)應(yīng)相等，和拼出的四邊形（非箏形）的底和高對(duì)應(yīng)相等。

師 很好！可見，三角尺的面積是底為2倍、等高三角形面積的一半，這是顯然的；三角尺的面積也是等底、等高四邊形面積的一半，這是個(gè)有趣的結(jié)論。猜一猜：一般三角形的面積與等底、等高的四邊形面積有怎樣的關(guān)系？（出示若干組相同的三角形）請(qǐng)你用兩個(gè)相同的三角形拼一拼、剪一剪、移一移，研究一般三角形的面積，說說你們的發(fā)現(xiàn)。

生 我用兩個(gè)相同的三角形拼出了平行四邊形，三角形的面積就是這個(gè)平行四邊形面積的一半。

生 我拼出的四邊形跟他不一樣，但是我的結(jié)論跟他一樣。

師 看來，無論是哪一種三角形，它的面積都是與它等底、等高的四邊形面積的一半。

對(duì)兩個(gè)三角尺進(jìn)行組拼，重點(diǎn)可以放在對(duì)角和整個(gè)圖形的組拼上。組角可以引導(dǎo)學(xué)生從單個(gè)角到多個(gè)角地有序思考，發(fā)現(xiàn)所得角度的規(guī)律，感受其中的基本量思想，體會(huì)三角尺角的特殊性。用兩個(gè)一樣的三角尺拼圖可以引導(dǎo)學(xué)生分三條邊重合、兩個(gè)方向重合地有序思考，窮盡所得圖形的所有可能，在感受基本圖形作用的同時(shí)，建立三角形與四邊形之間的關(guān)系，在體會(huì)三角尺形狀特殊性的同時(shí)，認(rèn)識(shí)三角尺設(shè)計(jì)的重要道理，并且從特殊到一般，借助圖形間的關(guān)系得到面積間的關(guān)系，從形狀的認(rèn)識(shí)走向大小的認(rèn)識(shí)。

四、 創(chuàng)新設(shè)計(jì)，從更多的三角尺到不一樣的“三角尺”

（一） 用四個(gè)相同的三角尺拼圖

師 嘗試發(fā)現(xiàn)，用更多一樣的三角尺拼圖很難窮盡所有可能?，F(xiàn)在，請(qǐng)你試著用四個(gè)一樣的三角尺拼一拼，盡量發(fā)揮你們的創(chuàng)意，拼出漂亮的圖形。

生 我們用四個(gè)相同的等腰三角尺拼出了梯形、平行四邊形、長(zhǎng)方形和大的等腰直角三角形。

生 我們用四個(gè)相同的斜三角尺拼出了梯形、平行四邊形、長(zhǎng)方形和大的斜直角三角形。當(dāng)然，梯形、平行四邊形、長(zhǎng)方形的形狀和他們的不一樣。

師 很好！不過，這些都是比較常規(guī)的靠在一起的邊完全重合的拼法。還有沒有更有創(chuàng)意的拼法？

生 （出示圖3）我用等腰三角尺拼出了一個(gè)正方形。（出示圖4）把四個(gè)等腰三角尺向外翻過去，就得到了這樣的中空的正方形。

生 （出示圖5）我用斜三角尺拼出了這樣的有點(diǎn)中空的正方形。（出示圖6）把四個(gè)斜三角尺向外翻過去，就得到了這樣的中空更大的正方形。

師 這四個(gè)圖形就比較有創(chuàng)意了，也更漂亮了。我們?cè)賮矸治龇治鏊鼈?，看看還可以怎樣想到這樣的拼法，以及它們之間還有什么聯(lián)系？

生 無論是等腰三角尺，還是斜三角尺，兩個(gè)銳角的和都是90°，能拼出直角，加上相同的三角尺斜邊相等，所以能拼出正方形。

生 無論是等腰三角尺，還是斜三角尺，相同三角尺，兩條直角邊的和也相等，加上它們都有直角，所以也能拼出正方形。

生 第一個(gè)正方形和第二個(gè)正方形中間的空白正方形一樣大，它們的邊都是等腰三角尺的斜邊。

生 第三個(gè)正方形和第四個(gè)正方形中間的空白正方形一樣大，它們的邊都是斜三角尺的斜邊。

師 很好！其實(shí)，這些圖形背后還蘊(yùn)藏著更深?yuàn)W的數(shù)學(xué)原理，同學(xué)們進(jìn)入初中后會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的。

（二） 設(shè)計(jì)不一樣的“三角尺”

學(xué)生分工合作，結(jié)合三角尺的特征及使用中的問題，從美觀和實(shí)用兩個(gè)角度對(duì)三角尺進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)（繪制圖紙），撰寫設(shè)計(jì)思路，并召開“新型三角尺設(shè)計(jì)分享會(huì)”，交流作品與理念。教學(xué)片段如下：

生 （出示圖7）我們組設(shè)計(jì)了一把組合尺：斜三角尺的長(zhǎng)直角邊可以在等腰三角尺的斜邊上左右移動(dòng)，這樣畫垂線和平行線就很方便；斜三角尺還可以翻折上去，便于收納。

生 （出示圖8）我們做了“合三為一”的設(shè)計(jì)，以等腰三角尺為主，中間鏤空一把斜三角尺和一把直尺，這樣一把尺子就有三個(gè)功能。

生 （出示圖9）我們把直尺和三角尺組合在一起，折疊合攏時(shí)就是一把直尺，旋轉(zhuǎn)展開后就有兩把三角尺。

師 同學(xué)們對(duì)這些創(chuàng)新的“三角尺”有什么評(píng)價(jià)和建議？

生 我覺得，他們都考慮到了三角尺的特殊性，把三角尺組合起來，就能把它們的優(yōu)點(diǎn)整合到一起，既方便我們?cè)诓僮髦惺褂?，也方便我們保存?/p>

生 我更喜歡第一個(gè)設(shè)計(jì)，因?yàn)槲耶嬈叫芯€和垂線時(shí)，總是不太會(huì)使用兩把尺子，他們這樣設(shè)計(jì)就幫我解決了畫線的問題。

師 看來同學(xué)們?cè)谠O(shè)計(jì)時(shí)都保留了三角尺的原有特征，同時(shí)通過各種組合讓新的“三角尺”更實(shí)用了。當(dāng)然，通過后續(xù)學(xué)習(xí)，大家還會(huì)有更新、更好的設(shè)計(jì)。

讓學(xué)生發(fā)揮審美創(chuàng)意，拓展實(shí)用追求，從數(shù)量和形式兩個(gè)方面對(duì)三角尺進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)，有助于學(xué)生對(duì)三角形特征做更全面的審視與更深入的思考，也可以通過更加開放的探究充分發(fā)揮本課內(nèi)容的教育價(jià)值。

（莊治新，江蘇省無錫市新吳區(qū)坊前實(shí)驗(yàn)小學(xué)。）