DFR法和LDG法解線性三階KdV方程的等價(jià)性

摘 要：研究了直接通量重構(gòu)方法（Direct Flux Reconstruction，簡稱DFR）和局部間斷Galerkin方法（Local discontinuous Galerkin，簡稱LDG）求解線性三階KdV方程的等價(jià)性問題。首先分別利用DFR法和LDG法對線性三階KdV方程進(jìn)行空間離散并給出兩種數(shù)值算法的空間離散格式，其次用兩種方法證明了DFR法和LDG法求解線性三階KdV方程的等價(jià)性。第一種方法借助高斯求積的性質(zhì)：M點(diǎn)高斯求積具有2M-1階代數(shù)精度；第二種方法利用洛巴托多項(xiàng)式的特殊性質(zhì)：M+1次洛巴托多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)是M個高斯點(diǎn)。最后以M=1為例，給出了兩種數(shù)值算法求解線性三階KdV方程的離散常微分方程組，驗(yàn)證了兩種方法的等價(jià)性。

關(guān)鍵詞：直接通量重構(gòu)法；局部間斷Galerkin法；線性三階KdV方程；高斯求積；洛巴托多項(xiàng)式

DOI：10.15938/j.jhust.2024.05.016

中圖分類號： O241.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1007-2683（2024）05-0142-07

Equivalence Between DFR Method and LDG Method for Solving Linear Third-Order KdV Equation

BI Hui， LI Xiaotong

（School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：The equivalence between direct flux reconstruction method and local discontinuous Galerkin method in solving linear third-order KdV equation is studied. Firstly， the linear third-order KdV equation is spatially dispersed by DFR method and LDG method respectively， and the spatial discretization schemes of two numerical algorithms are given. Secondly， the equivalence of DFR and LDG methods is proved by two methods. The first proof relies on the property of Gauss quadrature： the M-point Gauss quadrature has 2M-1 order algebraic accuracy; the second proof takes advantage of the special property of the Lobatto polynomial： the zeros of the derivative of Lobatto polynomial of degree M+1 are M Gauss points. At last， taking the value of M to be 1 as an example， it is shown that the two numerical algorithms are equivalent to the ordinary differential equations used for programming when solving the linear third-order KdV equation.

Keywords：direct flux reconstruction method; local discontinuous Galerkin method; linear third-order KdV equation; Gauss quadrature; Lobatto polynomial

0 引 言

1973年，Reed和Hill^［1］在研究中子運(yùn)輸問題時提出了一種將投影作為近似解的數(shù)值解法——間斷Galerkin（discontinuous galerkin，簡稱DG）法。該法具有高階精度和易于處理復(fù)雜幾何形狀或復(fù)雜邊界問題的優(yōu)點(diǎn)，但是對于含有高階偏導(dǎo)數(shù)的偏微分方程，直接應(yīng)用DG法很難得到相容的數(shù)值格式。1998年，在Bassi和Rebay^［2］處理可壓縮的Navier-Stokes方程的啟發(fā)下，Cockburn和Shu^［3］在求解對流擴(kuò)散方程時提出了局部間斷Galerkin（local discontinuous galerkin，簡稱LDG）法。該方法的主要思想是通過引入輔助變量把原有的高階偏微分方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)的一階偏微分方程組，再對所得到的一階偏微分方程分別使用DG法，作為DG法的推廣，可以靈活的處理含有更高階偏導(dǎo)數(shù)的偏微分方程，例如：含有三階偏導(dǎo)數(shù)的KdV方程^［4］、含有四階偏導(dǎo)數(shù)的雙調(diào)和方程^［5］、非線性波動方程^［6-7］、含有對流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)的四階線性偏微分方程^［8］等。更多關(guān)于DG法和LDG法的研究成果可以查閱文［9-15］。

2007年，Huynh^［16］在求解守恒律方程時提出了一種將插值和投影結(jié)合起來的高階精度的數(shù)值解法——通量重構(gòu)（flux reconstruction，簡稱FR）法。該方法的靈活性體現(xiàn)在先用插值法近似構(gòu)造通量函數(shù)，再選擇一個校正函數(shù)將分段的不連續(xù)通量重建為全局連續(xù)通量，但是使用校正函數(shù)時需要許多不同的計(jì)算步驟，使得該方法的復(fù)雜性和計(jì)算費(fèi)用大大增加。2016年，Romero、Asthana和Jameson^［17］提出了一種通量重構(gòu)法的簡化方法——直接通量重構(gòu)（direct flux reconstruction，簡稱DFR）法，同時證明了DFR法和FR法求解雙曲守恒律方程的等價(jià)性。該方法是一種僅使用插值法的數(shù)值解法，更多關(guān)于FR法和DFR法的研究成果可以查閱文［18-23］。2020年，Huynh使用更簡潔的方法證明了DFR法、FR法和DG法求解一維非線性雙曲守恒律方程的等價(jià)性^［24］，求解拋物方程、線性對流擴(kuò)散方程^［25］的等價(jià)性也有了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。但是，求解含有更高階偏導(dǎo)數(shù)的偏微分方程是否具有等價(jià)性仍需進(jìn)一步求證。

Korteweg-de Vries（簡稱 KdV）方程最初是用于研究一種單向運(yùn)動淺水波的偏微分方程，隨后又被用來描述超流費(fèi)米氣體、離子聲波等不同類型的物理現(xiàn)象。該方程在流體力學(xué)、水文學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用，因此，對于KdV方程數(shù)值方法的研究一直是偏微分方程數(shù)值解法的重要課題之一。本文研究了DFR法和LDG法求解含有三階偏導(dǎo)數(shù)的線性KdV方程的等價(jià)性問題，并列舉了M=1時兩種方法對方程進(jìn)行空間離散后得到的常微分方程組，更直觀的展示兩種數(shù)值方法的等價(jià)。

本文的結(jié)構(gòu)如下：第一節(jié)預(yù)備知識介紹了本文證明等價(jià)性時所用到的符號、線性變換、拉格朗日插值基函數(shù)；第二節(jié)首先給出線性三階KdV方程的DFR法格式和LDG法格式，其次用兩種方法證明DFR法和LDG法求解線性三階KdV方程的等價(jià)性，最后以M=1為例，給出兩種數(shù)值算法用于編程的常微分方程組；最后一節(jié)給出結(jié)論和工作展望。

1 預(yù)備知識

1.1 網(wǎng)格剖分和有限元空間

考慮計(jì)算區(qū)域Ω=［0，2π］，并對其進(jìn)行如下的網(wǎng)格剖分：

0=x^1/2lt;x^3/2lt;…lt;x^N+1/2=2π

當(dāng)j∈{1，2，…，N}時，將剖分出來的第j個區(qū)間記為Ej=［x^j－1/2，x^j+1/2］，區(qū)間中點(diǎn)和區(qū)間長度分別記為xj=（x^j－1/2+x^j+1/2）/2，hj=（x^j+1/2－x^j－1/2）。數(shù)值解空間定義為：

Vh={v∈L2（Ω）：v|^Ej∈P^M－1j（Ej），j=1，2，…，N}

其中P^M－1j（Ej）為定義在區(qū)間Ej上次數(shù)不超過M－1次的多項(xiàng)式所構(gòu)成的空間，L2（Ω）為定義在Ω上平方Lebesgue可積函數(shù)所構(gòu)成的空間。對于任意的v∈Vh，定義函數(shù)v（x）在點(diǎn)x^j+1/2處的左、右極限分別為v－^j+1/2，v+^j+1/2，函數(shù)v（x）在Ej的邊界點(diǎn)上的跳躍和平均值為［v］=v+^j+1/2－v－^j+1/2和{v}=（v+^j+1/2+v－^j+1/2）/2。

1.2 線性變換

設(shè)I=［－1，1］，將I上次數(shù)不超過M－1次的多項(xiàng)式所構(gòu)成的空間記作P^M－1（I）。對于I上任意的點(diǎn)ξ可以通過線性變換：

x=ξhj/2+xj（1）

得到Ej上與ξ對應(yīng)的點(diǎn)x；對于I上任意的可微函數(shù)rI（ξ），可以通過線性變換：

rj（x）=rI（ξ（x））=rI（ξ）（2）

得到Ej上與rI（ξ）對應(yīng)的函數(shù)rj（ξ）；rj（ξ）的導(dǎo)數(shù)可以通過線性變換：

drjdx=2hjdrIdξ（3）

得到。

1.3 兩組拉格朗日插值基函數(shù)

設(shè)v（ξ，t）是［－1，1］×［0，T）上的一個二元函數(shù)，規(guī)定：ξ0=－1，ξ^M+1=1，I上M次勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)為ξ1，ξ2，…，ξM。若將ξ1，ξ2，…，ξM作為I上M點(diǎn)高斯求積節(jié)點(diǎn)，那么其也被稱為高斯點(diǎn)。若固定v的第一個變量，此時得到的v是一個一元函數(shù)，如果用v0表示v（ξ0，t），那么同樣的方法可以得到v1，v2，…，v^M+1。

當(dāng)n∈{1，2，…，M}時，分別以ξ1，ξ2，…，ξM與ξ0，ξ1，…，ξ^M+1為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造兩組拉格朗日插值基函數(shù)：

n=∏M^m=1，m≠n（ξ－ξm）（ξn－ξm）（4）

^{^}n=∏^{M+1m=0，m≠n}（ξ－ξm）（ξn－ξm）（5）

此時v在I上的M點(diǎn)與M+2點(diǎn)拉格朗日插值近似分別為

vM=∑Mⁿ⁼¹vnn（6）

v^M+2=∑^M+1n=0vn^{^}n（7）

當(dāng)j∈{1，2，….N}時，設(shè)uj是Ej×［0，T）上的一個二元函數(shù)，通過式（1）～（3）可以得到Ej上M次勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)為x^j，1，x^j，2，…，x^j，M，并規(guī)定：x0=x^j－1/2，x^M+1=x^j+1/2。

當(dāng)n∈{1，2，…，M}時，通過式（1）～（5）可得到分別以x^j，1，x^j，2，…，x^j，M與x^j，0，x^j，2，…，x^j，M+1為插值節(jié)點(diǎn)的兩組拉格朗日插值基函數(shù)：

^j，n=∏M^{m=1，m≠n}（x－x^j，m）（x^j，n－x^j，m）（8）

^{^j，n}=∏^{M+1m=0，m≠n}（x－x^j，m）（x^j，n－x^j，m）（9）

此時uj在Ej上的M點(diǎn)與M+2點(diǎn)拉格朗日插值近似分別為

u^j，M=∑Mⁿ⁼¹u^j，nj，n（10）

u^j，M+2=∑^M+1n=0u^{j，n^j，n}（11）

其中u^j，n=uj（x^j，n，t）。

2 DFR法和LDG法解線性三階KdV方程的等價(jià)性

2.1 線性三階KdV方程的DFR法格式

考慮如下格式的線性三階KdV方程：

ut+ux+u^xxx=0（x，t）∈［0，2π］×［0，T）

u（x，0）=u0（x）x∈［0，2π］（12）

假設(shè)初值u0（x）充分光滑且方程的精確解^{u（x，t）}滿足周期性邊界條件。

DFR法對方程式（12）進(jìn)行空間離散的具體步驟如下：

第一步，按照本文1.1節(jié)的要求去處理方程式（12），按照1.3節(jié)的要求構(gòu)造兩組拉格朗日插值基函數(shù)。在每個Ej上用一個次數(shù)不超過M－1次的多項(xiàng)式uj去表達(dá)DFR法的數(shù)值解，由式（10）得：

uj=∑Mⁿ⁼¹u^{j，nj，n}（13）

用一個次數(shù)不超過M+1次的多項(xiàng)式Fj近似表達(dá)－（uj+u^jxx）。由式（11）得：

Fj=∑^M+1n=0F^{j，n^j，n}（14）

Fj的具體構(gòu)造如下：

F^j，0=F（x^j，0，t）=－（j+j）|^xj，0

F^j，n=F（x^j，n，t）=－（u^j，n+q^j，n） n∈{1，2，…，M}

F^j，M+1=F（x^j，M+1，t）=－（j+j）|^{xj，M+1}

其中qj是定義在Ej上的用來近似表達(dá)p^jx的不超過M－1次的多項(xiàng)式，pj是定義在Ej上的用來近似表達(dá)u^jx的不超過M－1次的多項(xiàng)式，pj與qj的具體構(gòu)造如下：

pj=∑Mⁿ⁼¹pj（x^j，n，t）^j，n=∑Mⁿ⁼¹p^{j，nj，n}

qj=∑Mⁿ⁼¹qj（x^j，n，t）^j，n=∑Mⁿ⁼¹q^{j，nj，n}

p^j，n=u^jx（x^j，n，t）+2hjwn［（j－u－j）－^j，n|^xj+1/2－（j－u+j）+^j，n|^xj－1/2］

q^j，n=p^jx（x^j，n，t）+2hjwn［（j－p－j）－^j，n|^xj+1/2－（j－p+j）+^j，n|^xj－1/2］

其中j，j，j為數(shù)值通量，選取方法如下：

j=u－j，j=p+j，j=q+j（15）

第二步，令uj和Fj在Ej上的x^j，1，x^j，2，…，x^j，M點(diǎn)處滿足方程（12）式：

^（uj）t（x^j，n，t）=^（Fj）x（x^j，n，t） n∈{1，2，…，M}（16）

根據(jù)拉格朗日插值基函數(shù)的性質(zhì)，^j，n僅在點(diǎn)x^j，n處取值為1，其余點(diǎn)處取值為0可將（16）式化簡為

^（uj，n）t=^（Fj）x（x^j，n，t） n∈{1，2，…，M}（17）

式（17）即為DFR法對方程式（12）的空間離散格式，它是一個由M個常微分方程所組成的常微分方程組，利用Runge-Kutta法求解式（17）可以得到Ej上的DFR法數(shù)值解uj。將u1，u2，…，uN連起來就可以得到［0，2π］×［0，T）上的DFR法數(shù)值解uh。因?yàn)閡h是在每個Ej上分別求得的，所以uh僅能保證在每個Ej上連續(xù)，不能保證在整個定義域上連續(xù)。

2.2 線性三階KdV方程的LDG法格式

LDG法對方程（12）進(jìn)行空間離散的具體步驟如下：

第一步，引入輔助變量p，q將含有三階偏導(dǎo)數(shù)的方程（12）等價(jià)的改寫為僅含有一階偏導(dǎo)數(shù)的偏微分方程組：

ut=－（ux+qx）

q=px

p=ux（18）

第二步，按照本文1.1節(jié)的要求處理式（18），在每個Ej上，先用一個次數(shù)不超過M－1次的多項(xiàng)式uj表示數(shù)值解，其次用一個次數(shù)不超過M－1次的多項(xiàng)式pj表示u^jx，最后用一個次數(shù)不超過M－1次的多項(xiàng)式qj表示p^jx。要求uj滿足：

∫^Eju^jtj，ndx－∫^Ej（uj+qj）^j，nxdx=

－（j+j）－^j，n|^xj+1/2+（j+j）+^j，n|^xj－1/2

∫^Ejqj^j，ndx+∫^Ejpj^j，nxdx=

j－^j，n|^xj+1/2－j+^j，n|^xj－1/2 n∈{1，2，…，M}

∫^Ejpj^j，ndx+∫^Ejuj^j，nxdx=

j－^j，n|^xj+1/2－j+^j，n|^xj－1/2（19）

其中j，j，j為數(shù)值通量，選取方法如下：

j=u－j，j=p+j，j=q+j（20）

本文選用以M點(diǎn)高斯點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值基函數(shù)作為投影空間基函數(shù)，這種方法稱為節(jié)點(diǎn)局部間斷有限元（nodalLDG法）法。

式（19）即為nodalLDG法對方程（12）的空間離散格式，它是一個由M個常微分方程所組成的常微分方程組，利用Runge-Kutta法求解式（19）可以得到Ej上的LDG法數(shù)值解uj，被寫作式（13）的形式。將u1，u2，…uN連起來，就可以得到［0，2π］×［0，T）上的LDG法數(shù)值解uh。與DFR法數(shù)值解一樣，uh僅能保證在每個Ej上連續(xù)，不能保證在整個定義域上連續(xù)。

2.3 DFR法和LDG法求解線性三階KdV方程的等價(jià)性證明1

定理1 DFR法和LDG法求解線性三階KdV方程（12）所得到的數(shù)值解等價(jià)。

證明：由本文2.1節(jié)、2.2節(jié)對DFR法和LDG法解線性三階KdV方程的格式介紹可以看出要證明兩種數(shù)值解法等價(jià)只需證明：當(dāng)j∈{1，2，…，N}時，在每個Ej上，對于n∈{1，2，…，M}，式（17）和式（19）等價(jià)即可。

對于n∈{1，2，…，M}，先對u^jt和F^jx分別乘以^j，n再在Ej上積分得到：

∫^Eju^jtj，ndx=∫^EjF^jxj，ndx（21）

下面我們分別證明式（21）和式（17）、式（19）都是等價(jià)的。對式（21）左右兩側(cè)應(yīng)用M點(diǎn)高斯求積，由高斯求積的性質(zhì)，M點(diǎn)高斯求積具有2M－1階代數(shù)精度可以得到：

wnhj2^（uj，n）t=wnhj2^（Fj）x（x^j，n，t）（22）

其中：wn為Ej上的M點(diǎn)高斯求積系數(shù)。對式（17）左右兩側(cè)同時乘以wnhj/2也可以得到式（22），即證得式（21）和式（17）等價(jià)。

下證式（21）和式（19）等價(jià)。首先需要證明Fj與－（uj+u^jxx）在Ej上的x^j，1，x^j，2，…，x^j，M點(diǎn)處取值相等。對于n∈{1，2，…，M}，對式（19）第三式和式（19）第二式的左側(cè)第二項(xiàng)使用分部積分可以得到：

∫^Ejpj^j，ndx－∫^Eju^jxj，ndx=

（j－u－j）－^j，n|^xj+1/2－（j－u+j）+^j，n|^xj－1/2（23）

∫^Ejqj^j，ndx－∫^Ejp^jxj，ndx=

（j－p－j）－^j，n|^xj+1/2－（j－p+j）+^j，n|^xj－1/2（24）

對式（23）左側(cè)應(yīng)用M點(diǎn)高斯求積可得：

wnhj2pj（x^j，n）=∫^Ejpj^j，ndx=∫^Eju^jxj，ndx+

（j－u－j）－^j，n|^xj+1/2－（j－u+j）+^j，n|^xj－1/2=

wnhj2u^jx（x^j，n）+（j－u－j）－^j，n|^xj+1/2－

（j－u+j）+^j，n|^xj－1/2=wnhj2p^j，n

對式（24）左側(cè)應(yīng)用M點(diǎn)高斯求積可得：

wnhj2qj（x^j，n）=∫^Ejqj^j，ndx=∫^Ejp^jxj，ndx+

（j－p－j）－^j，n|^xj+1/2－（j－p+j）+^j，n|^xj－1/2=

wnhj2p^jx（x^j，n）+（j－p－j）－^j，n|^xj+1/2－

（j－p+j）+^j，n|^xj－1/2=wihj2q^j，n

于是有：

F^j，n=Fj（x^j，n，t）=－（u^j，n+q^j，n）=－

（u^j，n+p^j，nx）=－（u^j，n+p^j，nx（x^j，n））=－

（u^j，n+q^j，n（x^j，n））

以上過程就證明了Fj與－（uj+u^jxx）在Ej上的x^j，1，x^j，2，…，x^j，M點(diǎn)處取值相等，上述分析也能夠說明DFR法與LDG法對qj與pj的定義是等價(jià)的。然后對式（21）右側(cè)使用分部積分可以得到：

∫^Eju^jtj，ndx+∫^EjFj^j，nxdx=

F^j，M+1－^j，n|^xj+1/2－F^j，0+^j，n|^xj－1/2（25）

對式（19）第一式和式（25）應(yīng)用M點(diǎn)高斯求積，由高斯求積的性質(zhì)和Fj的定義可知式（19）第一式和式（25）相等。綜上可知式（21）和式（19）第一式等價(jià)。

以上證明了式（21）和式（17）、式（19）都是等價(jià)的，故式（17）和式（19）等價(jià)。證畢。

這樣就完成了DFR法和LDG法求解線性三階KdV方程的第一種等價(jià)證明，證明的關(guān)鍵在于M點(diǎn)高斯求積具有2M-1階代數(shù)精度。接下來，通過先構(gòu)造多項(xiàng)式^{f^}j使其滿足：在P^M－2j上的投影與－（uj+qj）在P^M－2j上的投影相同，在Ej邊界處的通量與－（uj+qj）在Ej邊界處的通量取值相同，再利用洛巴托多項(xiàng)式的特殊性質(zhì)，證明FR方法分別與DFR法、LDG法等價(jià)，給出第二種等價(jià)證明。

2.4 DFR法和LDG法求解線性三階KdV方程的等價(jià)性證明2

證明：定理1的第二種證明主要分兩步：

第一步，對于每個Ej構(gòu)造一個多項(xiàng)式^{f^}j，要求^{f^}j滿足：

P^M－2j（^{f^}j）=P^M－2j［－（uj+qj）］（26）

^{f^}j（x^j，0）=－（j+j）|^xj，0（27）

^{f^}j（x^j，M+1）=－（j+j）|^xj，M+1（28）

第二步證明：

^{f^jx}（x^j，n）=F^jx（x^j，n），n∈{1，2，…，M}（29）

具體證明過程如下：本文2.3節(jié)中已經(jīng)證明了DFR法和LDG法對于qj與pj的定義是等價(jià)的，故不再重復(fù)證明。首先令：

^{f^}j=－（uj+qj）+（－（j+j）|^xj，0+

（uj+qj）（x^j，0））RM^j，R+（－（j+j）|^xj，M+1+

（uj+qj）（x^j，M+1））RM^j，L

其中，當(dāng)M≥1時，RM^j，L是定義在Ej上的標(biāo)準(zhǔn)M次左拉登多項(xiàng)式，RM^j，R是定義在Ej上的標(biāo)準(zhǔn)M次右拉登多項(xiàng)式。

由左拉登多項(xiàng)式和右拉登多項(xiàng)式的正交性，RM^j，L和RM^j，R在Ej上任意不超過M－2次多項(xiàng)式構(gòu)成的空間P^M－2j投影為0，可計(jì)算^{f^}j在P^M－2j的投影證得式（30）成立。由左拉登多項(xiàng)式的性質(zhì)，RM^j，L在點(diǎn)x^j，0處取值為0，在點(diǎn)x^j，M+1處取值為1，右拉登多項(xiàng)式的性質(zhì)，RM^j，R在x^j，0處取值為1，在點(diǎn)x^j，M+1處取值為0，可以計(jì)算^{f^}j在點(diǎn)x^j，0，x^j，M+1處的取值證得式（27）和式（28）成立。

對于n∈{1，2，…，M}，觀察下式：

∫^Eju^jtj，ndx+∫^{Ejf^}j^j，nxdx=

^{f^}j－^j，n|^xj+1/2－^{f^}j+^j，n|^xj－1/2（30）

式（19）第一式和式（30）左側(cè)第一項(xiàng)相同。由式（26）可得：式（19）第一式和式（30）左側(cè)第二項(xiàng)相等。由式（27）和式（28）可得：式（19）第一式和式（30）右側(cè)兩項(xiàng)一一對應(yīng)相等。即式（19）第一式和式（30）等價(jià)。

對（30）式左側(cè)第二項(xiàng)使用分部積分可得到：

∫^Eju^jtj，ndx=∫^{Ejf^jxj，n}dx（31）

對式（31）左右兩側(cè)同時應(yīng)用M點(diǎn)高斯求積，再對兩側(cè)同時乘以wihj/2得到：

^（uj，n）t=^{f^jx}（x^j，n）（32）

顯然式（32）與式（31）等價(jià)。然后令：

Q^M+1j=Fj－^{f^}j（33）

由式（25）左側(cè)第二項(xiàng)和式（26）可得：

P^M－2j（Q^M+1j）=0（34）

將Q^M+1j寫作勒讓德多項(xiàng)式的展開形式：

Q^M+1j=∑^M+1n=0CnLnj（35）

其中，當(dāng)n≥0時，Lnj是定義在Ej上的標(biāo)準(zhǔn)n次勒讓德多項(xiàng)式，Cn是勒讓德多項(xiàng)式展開系數(shù)。由（34）式得：

P^M－2j（Q^M+1j）=P^M－2j（∑^M+1n=0CnLnj）=

P^M－2j（∑^M－2n=1CnLnj）+P^M－2j（∑^M+1n=M－1CnLnj）=0

由勒讓德多項(xiàng)式的正交性，Lnj在Ej上任意不超過M－1次多項(xiàng)式組成的空間P^M－1j投影為0，可得到：

C0=C1=…=C^M－2=0

由Fj和^{f^}j左、右端點(diǎn)的定義可以得到：

CM=0，C^M－1=－C^M+1

于是式（33）可以被寫為如下形式：

Q^M+1j=cLo^M+1j（36）

其中，當(dāng)M≥2時，Lo^M+1j是定義在Ej上的標(biāo)準(zhǔn)M+1次洛巴托多項(xiàng)式，c是一個常數(shù)。

由洛巴托多項(xiàng)式的性質(zhì)，M+1次洛巴托多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)是M次勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)，可以得到：

^{f^jx}（x^j，n）－F^jx（x^j，n）=^{（f^}j－Fj）x（x^j，n）=

^（QM+1j）x（x^j，n）=^（cLoM+1j）x（x^j，n）=0

n∈{1，2，…，M}

再由式（32）可得到：

^（uj，n）t=^{f^jx}（x^j，n）=F^jx（x^j，n）

n∈{1，2，…，M}（37）

式（37）說明：式（17）和式（32）是等價(jià)的。因?yàn)槭剑?9）第一式和式（30）是等價(jià)的，所以式（19）第一式和式（17）也是等價(jià)的。證畢。

2.5 兩種算法用到的常微分方程組

針對方程（12），以M=1為例說明DFR法和LDG法用于編程的常微分方程組是等價(jià)的。

考慮在每個Ej上，使用DFR法處理方程（12）如下：

uj=u^j，1

Fj=F^{j，0^j，0}+F^{j，1^j，1}+F^{j，2^j，2}

^{^j，0}=（x－x^j，1）（x－x^j，2）（x^j，0－x^j，1）（x^j，0－x^j，2）

^{^j，1}=（x－x^j，0）（x－x^j，2）（x^j，1－x^j，0）（x^j，1－x^j，2）

^{^j，2}=（x－x^j，0）（x－x^j，1）（x^j，2－x^j，0）（x^j，2－x^j，1）

F^j，0=－（u^{j－1，1}+q^j，1）

F^j，1=－（u^j，1+q^j，1）

F^j，2=－（u^j，1+q^j+1，1）

因此：

^（Fj）x（x^j，1）=F^{j，0（^j，0}）x（x^j，1）+

F^{j，1（^j，1}）x（x^j，1）+F^{j，2（^j，2}）x（x^j，1）=

（x^j，1－x^j，2）（x^j，0－x^j，1）（x^j，0－x^j，2）（－（u^{j－1，1}+q^j，1））+

（x^j，1－x^j，0）（x^j，2－x^j，0）（x^j，2－x^j，1）（－（u^j，1+q^j+1，1））

最終得到的常微分方程組為

^（uj，1）t=（x^j，1－x^j，2）（x^j，0－x^j，1）（x^j，0－x^j，2）（－（u^{j－1，1}+q^j，1））+（x^j，1－x^j，0）（x^j，2－x^j，0）（x^j，2－x^j，1）（－（u^j，1+q^j+1，1））

q^j，1=1（x^j，2－x^j，0）（p^j+1，1－p^j，1）

p^j，1=1（x^j，2－x^j，0）（－（u^j－1，1－u^j，1））

使用LDG法處理方程（16）最終得到的常微分方程組如下：

^{（uj，1}）t=1（x^j，2－x^j，0）（－（u^j，1+q^j+1，1））+

1（x^j，2－x^j，0）（－（u^j－1，1+q^j，1））

p^j，1=1（x^j，2－x^j，0）（－（u^j－1，1－u^j，1））

q^j，1=1（x^j，2－x^j，0）（p^j+1，1－p^j，1）

由于M=1時，勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)x^j，1=（x^j，2+x^j，0）/2。對比以上兩組常微分方程組可知，兩方程組相等。

3 結(jié) 論

本文研究了DFR法和LDG法求解高階偏微分方程的等價(jià)性問題。針對線性三階KdV方程，用兩種方法證明DFR法和LDG法所求得的數(shù)值解等價(jià)，進(jìn)一步完善了求解偏微分方程時使用插值理論和投影理論的聯(lián)系。以上工作是針對線性方程所做出的研究，這使得研究過程中所用到的高斯求積結(jié)果具有高精度，但對于非線性方程這一點(diǎn)是難以滿足的。關(guān)于含有更高階偏導(dǎo)數(shù)的非線性方程的插值法與投影法是否具有等價(jià)性有待證明。

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（編輯：溫澤宇）

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金青年基金（12201157）；黑龍江省自然科學(xué)基金聯(lián)合引導(dǎo)項(xiàng)目（LH2020A015）.

作者簡介：李曉彤（1997—），女，碩士研究生.

通信作者：畢 卉（1982—），女，博士，教授，博士研究生導(dǎo)師，E-mail：bihui@hrbust.edu.cn.