A-Si光伏電池I-V特性的遞推曲線建模

摘 要：為探索一種準(zhǔn)確、簡單的光伏電池I-V特性擬合方法，嘗試?yán)脙蓷l遞推曲線刻畫不同類型光伏電池的輸出特性。以a-Si電池為例，將短路電流點作為第一條遞推曲線控制多邊形的第1頂點，將最大功率點作為第3頂點。同樣，將最大功率點作為第二條遞推曲線控制多邊形的第1頂點，將開路電壓點作為第3頂點。在平行于短路電流和開路電壓點連線，且經(jīng)過最大功率點的直線上尋找兩個控制多邊形第2頂點的位置。進(jìn)而，發(fā)掘出誤差最小時，控制多邊形第2頂點位置隨廠商給定填充因子的變化規(guī)律，并基于該變化規(guī)律構(gòu)建了一種a-Si電池I-V特性擬合方法。最后，對5種電池I-V特性進(jìn)行遞推建模，并就平均相對誤差、絕對誤差和均方根誤差等指標(biāo)，與已有的4種建模方法進(jìn)行了相比，系統(tǒng)地論證了所提建模方法的準(zhǔn)確性和簡潔性。

關(guān)鍵詞：光伏電池；I-V特性；遞推曲線；變化規(guī)律；填充因子

DOI：10.15938/j.jhust.2024.05.008

中圖分類號： TM615

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1007-2683（2024）05-0065-08

Recursive Curve Modeling of I-V Curve for A-Si Photovoltaic Cells

FU Zhen1， SHI Nan^2，3， ZHU Xianhui1， LIU Zhongwu1

（1.School of Electrical and Automation Engineering， Heilongjiang University of Science and Technology， Harbin 150022， China;2.School of Electrical and Electronic Engineering， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080，China;

3.The Engineering Training and Basic Experiment Center， Heilongjiang University of Science and Technology， Harbin 150022， China）

Abstract：To explore an accurate and simple method for fitting the I-V characteristics of photovoltaic cells， two recursive curves were used to characterize the output characteristics of different types of photovoltaic cells. Taking a-Si batteries as an example， the short-circuit current point is taken as the first vertex of the first recursive curve control polygon， and the maximum power point is taken as the third vertex. Similarly， the maximum power point is taken as the first vertex of the second recursive curve control polygon， and the open circuit voltage point is taken as the third vertex. The positions of the second vertex of two control polygons on a straight line parallel to the short-circuit current and open-circuit voltage points are determined， and passing through the maximum power point. Furthermore， the variation law of the second vertex position of the control polygon with the manufacturer′s given fill factor was discovered when the error was the smallest， and a fitting method for I-V characteristics of a-Si batteries was constructed based on this variation law. Then， according to the above method， the variation pattern of the second vertex position of other types of photovoltaic cell control polygons with the fill factor given by the manufacturer was discovered. Finally， recursive modeling was conducted on the I-V characteristics of five types of batteries， and the accuracy and simplicity of the proposed modeling method were systematically demonstrated by comparing it with the existing four modeling methods in terms of average relative error， absolute error， and root mean square error.

Keywords：photovoltaic cell; I-V characteristics; recursive curve; change pattern; fill factor

0 引 言

隨著太陽能發(fā)電市場化進(jìn)程的不斷深入，對光伏電池進(jìn)行最大功率跟蹤和經(jīng)濟(jì)效益評估等研究的重要性也日益凸顯^［1-2］，準(zhǔn)確地構(gòu)建輸出電流-電壓（I-V）特性曲線是上述研究的重要基礎(chǔ)^［3］，具有很好的理論和現(xiàn)實意義^［4-5］。

單二極管模型能夠較好地描述光伏電池的工作機(jī)理，但表征單二極管電路輸出特性的I-V關(guān)系為超越方程^［6-7］，無法用簡單的代數(shù)方法求解，且該方程中包含著5個未知參量，進(jìn)一步增加了求解其I-V特性的繁瑣程度^［8-10］。

為簡化光伏電池I-V特性的求解過程，對無需求解超越方程和未知參量，直接擬合I-V特性曲線的研究日益重視。比如，文［11］利用形狀參數(shù)γ和m，給出了光伏電池輸出特性的建模方法，文［12］改進(jìn)了其指數(shù)項，進(jìn)一步提高了建模精度。文［13］利用模型參數(shù)m，構(gòu)建了一種基于指數(shù)方程的輸出特性曲線模型。文［14］基于擬合參數(shù)m、n，提出了光伏電池的輸出特性建模方法，文［15］與文［14］所提模型相似，同樣給出了基于兩個形狀參數(shù)的I-V特性歸一化代數(shù)方程。但是，上述方法需要利用實測數(shù)據(jù)計算擬合參數(shù)，不僅耗費大量時間和成本，且不可避免地引入測量誤差。

此外，文［16］和文［17］分別給出了包含2（3）個擬合參數(shù)的光伏電池I-V特性代數(shù)求解方法，該方法在求解擬合參數(shù)時，需要預(yù)先計算超越方程的未知參量，過程較為繁瑣^［18］。文［19］和文［20］則分別利用Levenberg-Marquardt和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對I-V特性曲線進(jìn)行預(yù)測，但該類方法需要大量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)。文［21-24］分別給出了一種僅需廠商給定數(shù)據(jù)，利用代數(shù)方程即可描述光伏電池I-V特性曲線的模型。但所給模型雖然簡單，但其建模精度仍然有進(jìn)一步提高的空間。文［25-28］提出了利用曲線擬合不同類型光伏電池輸出特性曲線的方案，并基于填充因子的線性擬合關(guān)系實現(xiàn)了光伏電池的簡單建模。

上述文獻(xiàn)均未對a-Si光伏電池進(jìn)行研究。實際上，不同類型光伏電池（比如非晶硅、晶體硅等）的制造過程和工作機(jī)理完全不同，其輸出I-V曲線也存在一定差異，導(dǎo)致針對某一類型光伏電池精度較高的建模方法，對其他不同類型的光伏電池建模時會存在較大誤差^［29-30］。

此外，文［25-28］僅采用平均相對誤差對結(jié)果精度進(jìn)行了分析，無法明確地描述所提模型誤差分布的系統(tǒng)性和全面性。大量的理論和實踐結(jié)果表明，除相對誤差外，均方根差^［31-32］，絕對誤差的和^［32］以及計算時間^［33］也是表征計算精度的重要指標(biāo)。

綜上，本文針對a-Si光伏電池類型，提出一種僅利用廠商給定數(shù)據(jù)的Bezier建模方法。與文［25-28］相比，所提方法給出一種新型的遞推曲線擬合算法，以實現(xiàn)I-V特性的有效逼近，并與文［21-24］給定模型的平均相對誤差、均方根差、絕對誤差的和以及仿真時間進(jìn)行對比分析，以全面論證所提方法的有效性、簡單性和準(zhǔn)確性。

1 Bezier遞推算法的曲線生成

1.1 Bezier遞推算法

Bezier遞推算法主要用于曲線的矢量繪制，其核心思想是首先給定某一控制多邊形，然后以平滑曲線（后文統(tǒng)稱為遞推曲線）逼近給定的控制多邊形，具體如下：

p（t）=∑n^t=0Pif^i，n（t） 0lt;tlt;1（1）

式中：n為遞推次數(shù);Pi（i=0，1，…，n）為控制多邊形的頂點坐標(biāo);f^i，n（t）為伯恩斯坦基函數(shù)，滿足

f^i，n（t）=Cinti（1－t）^n－i（2）

Bezier遞推算法可以描述為，由n+1個控制點Pi（i=0，1，…，n）定義的n次多項式所生成的曲線Pn0，可表為前n個和后n個控制點分別確定的2條n-1次遞推P^n-10和P^n-11的線性組合，滿足

Pki=Pik=0

（1－t）P^k－1i+tP^k－1i+1k=1，2…n，i=0，1…n－k（3）

式中：Pki中的下標(biāo)i表示控制多邊形的頂點順序;上標(biāo)k表示遞推的級數(shù)。

由于具有2個頂點控制多邊形的Bezier遞推結(jié)果為1條直線。本文以具有3個頂點的控制多邊形為例進(jìn)行分析，具體如圖1所示。

圖1中P0P1P2為控制多邊形，控制頂點分別為P0點、P1點和P2點。對控制多邊形P0P1P2進(jìn)行Bezier遞推逼近，步驟如下：

1）在空間平面確定原始控制多邊形矢量頂點P0，P1，P2的位置;

2）基于給定的某一定值t，在原始控制多邊形上確定第一級定比分割點P10、P11的位置，并使線段的長度比滿足

P0P10P0P1=P1P11P1P2=t（4）

3）以第一級定比分割點P10、P11為新的控制多邊形頂點，依照遞推曲線的生成規(guī)則，同樣按照式（4）的長度比t確定第二級定比分割點P20。

P10P20P10P11=t（5）

則當(dāng)t按照一定步長增量從0變化到1時，就可以得到一條P20的軌跡，該軌跡對應(yīng)的曲線即為Bezier遞推曲線。

可見，Bezier遞推算法的繁瑣程度與控制多邊形頂點的數(shù)量有關(guān)，控制多邊形頂點的數(shù)量越多，Bezier遞推求解過程也就越繁瑣。

1.2 Bezier遞推曲線的擬合思路

由前述分析可知，由3頂點控制多邊形所產(chǎn)生的遞推曲線，必然經(jīng)過第1個控制頂點P0和第3個控制頂點P3。而光伏電池的I-V特性曲線同樣必然經(jīng)過短路電流點，最大功率點和開路電壓點。綜合考慮上述兩個因素，可以得到以下結(jié)論：

結(jié)論1：構(gòu)造第1個3頂點的控制多邊形，將短路電流點作為控制多邊形的第1個頂點，最大功率點作為控制多邊形的第3個頂點，則該控制多邊形生成的遞推曲線必經(jīng)過短路電流和最大功率點。

結(jié)論2：構(gòu)造第2個3頂點的控制多邊形，同理將最大功率點和開路電壓點作為控制多邊形的第1和第3個頂點，則該控制多邊形生成的遞推曲線必經(jīng)過最大功率點和開路電壓點。

利用結(jié)論1和結(jié)論2控制多邊形的構(gòu)造，保證了所生成的2條Bezier遞推曲線能夠通過I-V特性曲線的短路電流點，最大功率點和開路電壓點。

上述兩個結(jié)論同樣表明，最大功率點是2條Bezier遞推曲線的交點，保證2條曲線在最大功率點處的平滑連接，不僅有助于提高建模結(jié)果的精度，也是保證準(zhǔn)確跟蹤最大功率點的必要條件。

由導(dǎo)數(shù)連續(xù)性定理，若兩條曲線在連接點處的1階導(dǎo)數(shù)相等，則兩條曲線在該點的連接是平滑的。

仍以圖1為例分析，P0P1和P1P2分別是3頂點控制多邊形的兩條邊，由遞推曲線的生成過程可知，P0P1和P1P2也是遞推曲線在P0和P2點的切線。

同理，采用2個3頂點控制多邊形的遞推曲線擬合光伏電池整個I-V特性，則第1個控制多邊形的最后1條邊是第1條遞推曲線的切線，第2個控制多邊形的第1條邊是第2條遞推曲線的切線。結(jié)合導(dǎo)數(shù)連續(xù)性定理，可以得到以下結(jié)論：

結(jié)論3：只需保證第1個控制多邊形的最后1條邊和第2個控制多邊形的第1條邊在同一條直線上。也就是說，保證2個控制多邊形的2個頂點在同一條直線上，即可滿足導(dǎo)數(shù)連續(xù)性定理，進(jìn)而保證兩條遞推曲線在最大功率點處的連接是平滑的。

考慮到后續(xù)研究控制多邊形頂點位置分布規(guī)律的簡單性，在經(jīng)過最大功率點，且與開路電壓點和短路電流點連線平行的直線上尋找2個控制多邊形的第2個頂點，具體如圖2所示。

圖2用黑色實線表示實際光伏電池的I-V曲線，Lp表示平行于開路電壓點和短路電流點的直線L且經(jīng)過最大功率點的直線。以第一個3頂點控制多邊形為例，該多邊形的3個頂點依次為P0、C1和Pm時，Bezier遞推曲線為L^C1。當(dāng)頂點分別為P0、C2和Pm時，Bezier遞推曲線為L^C2。第2個3頂點控制多邊形及其遞推曲線的情況與此類似，不再贅述。

進(jìn)一步對圖2進(jìn)行分析，在控制多邊形的第2頂點的位置沿著直線Lp變化時，遞推曲線的形狀也隨之變化，并且從光伏電池I-V曲線的上側(cè)轉(zhuǎn)移到下側(cè)，則可以得到以下結(jié)論：

結(jié)論4：由于Bezier遞推曲線的凹凸性與第2頂點的位置相關(guān)，則必然存在一個最優(yōu)頂點，由最優(yōu)頂點和P0點、Pm點（或者Pm點，P3點）構(gòu)成控制多邊形，可得到最優(yōu)Bezier遞推曲線，該曲線和光伏電池I-V特性具有最小的擬合誤差。

綜上，在經(jīng)過最大功率點，且與短路電流和開路電壓點連線的平行線上選取控制多邊形第2頂點位置，以短路電流點（最大功率點）和最大功率點（開路電壓點）分別作為第1和第3個頂點，構(gòu)造2個3頂點控制多邊形，計算Bezier遞推曲線，能夠達(dá)到較好地描述光伏電池I-V曲線的目的。

2 遞推曲線生成及校驗

2.1 誤差分析基準(zhǔn)的構(gòu)建

采用單二極管模型時光伏電池的I-V特性如下：

I^pv=I1－I^satexpV^pv+I^pvRsNKTα/q－1－V^pv+I^pvRsRp（6）

式中：I1為光生電流;I^sat為二極管暗電流;Rs、Rp分別為串、并聯(lián)電阻;α為二極管品質(zhì)因子;N為串聯(lián)電池數(shù);K為玻爾茲曼常數(shù);T為開氏溫度;q為電子電量。

針對式（1）的隱函數(shù)形式，為給出光伏電池的I-V曲線，通常需要采用數(shù)值計算方法對其所包含的串、并聯(lián)電阻，光生電流，二極管暗電流和品質(zhì)因子等5個未知參量進(jìn)行求解。本文采用文［34］中構(gòu)造的高斯德賽爾迭代模型對式（1）進(jìn)行計算，所得參量數(shù)值結(jié)果如表1所示。

基于表1的超越方程參數(shù)計算結(jié)果，再次利用高斯德賽爾迭代算法求解式（1）描述的a-Si電池超越方程的數(shù)值解，即可得到I-V特性曲線。

文［15］已經(jīng)證明了以迭代計算I-V特性方程的解，可以作為誤差分析基準(zhǔn)。因此，本文同樣將迭代所得曲線作為分析遞推曲線擬合結(jié)果精度的參考。

2.2 基于遞推曲線的a-Si電池I-V建模

分別對7種不同廠家和型號a-Si電池的輸出特性曲線進(jìn)行Bezier遞推計算，調(diào)節(jié)控制多邊形第2個頂點的位置，并將包括起點、控制點和終點在內(nèi)的頂點橫、縱坐標(biāo)，分別代入到式（1）中，計算最優(yōu)遞推曲線（誤差最小）的橫、縱坐標(biāo)，即可得到最優(yōu)擬合結(jié)果，如圖3所示。

1.Bin 430 W 2.TM115TF 3.TY-40 4.SCG60-HV-L 5.SKALA B140 6.VS10 L2 P78 7.General solar

將迭代算法得到的超越方程數(shù)值解作為基準(zhǔn)，給出擬合誤差最小時，7種不同廠家和型號的a-Si電池誤差結(jié)果可詳見表2。

表2中em為最大相對誤差，e^av為平均相對誤差。由表2可知，Bezier遞推曲線最優(yōu)擬合結(jié)果最大相對誤差均小于2%，平均相對誤差均小于1%，擬合效果較好，證明了利用Bezier遞推算法擬合^a-Si電池I-V曲線的準(zhǔn)確性和有效性。

3 控制多邊形頂點位置分布規(guī)律

a-Si電池I-V特性特點如下：

1）最大功率點左側(cè)曲線變化范圍是從短路電流點（0，I^sc）到最大功率點（Vm，Im）;

2）最大功率點右側(cè)曲線的變化范圍為最大功率點（Vm，Im）到開路電壓點（V^oc，0）之間。

為探索控制多邊形第2個頂點位置與a-Si電池I-V特性之間的本質(zhì)聯(lián)系，重點考察廠商數(shù)據(jù)手冊給定的填充因子Fx，其表征了I-V特性的最大功率和在短路電流，開路電壓點的比例關(guān)系，即

Fx=VmImV_ocI_sc（7）

以Fx參量為切入點，尋找控制多邊形第2個頂點位置與Fx的函數(shù)關(guān)系，重畫Bezier遞推曲線示意圖如圖4所示。

由圖4可知，△AOB和△A1O1B1為相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以實現(xiàn)控制多邊形第2頂點位置的簡單確定，以達(dá)到簡化分析和計算過程的目的。

若A1（V^A1，I^A1）為圖4中控制多邊形的第2個頂點，設(shè)L^A1B1為A1點到最大功率點B1點的長度，L^AB為短路電流點A（0，I^sc）到開路電壓點C（V^oc，0）長度，并將L^A1B1與L^AB比值作為縱坐標(biāo)，以填充因子Fx作為橫坐標(biāo)，得到7種不同a-Si電池的長度比與Fx之間的關(guān)系如圖5所示。

進(jìn)一步給出兩個控制多邊形第2頂點位置與填充因子FF之間的線性擬合關(guān)系式lf、lr如下：

lf=－0.5639FF+0.5342（8）

lr=－0.3928FF+0.4479（9）

基于式（8）和式（9）給定的規(guī)律，可實現(xiàn)無需任何實驗的前提下，僅利用廠商數(shù)據(jù)手冊給定參數(shù)即可建立a-Si電池I-V特性的簡單模型。

4 算例對比和分析

為驗證所提規(guī)律，重新選取5種不同廠家和類型的光伏電池，以本文模型進(jìn)行計算，利用高斯德賽爾迭代數(shù)值解作為誤差分析的基準(zhǔn)，并與文［21-24］模型的誤差進(jìn)行對比分析。5種電池的型號如表3所示。

基于表3中的廠商給定參數(shù)，利用式（8）、式（9）和式（7）分別確定2個控制多邊形第2個頂點位置，進(jìn)而利用Bezier遞推算法計算式（2），即可給出5種電池的I-V特性曲線。并將遞推結(jié)果與高斯德賽爾迭代的數(shù)值解進(jìn)行對比，結(jié)果如圖6所示。

和本文所提Bezier模型類似，文［21-24］分別提出了4種光伏電池輸出特性的解析模型，為進(jìn)一步驗證所提Bezier模型的有效性和優(yōu)越性，將表3給定參數(shù)代入文［21-24］所提模型，同樣與迭代數(shù)值解進(jìn)行對比，結(jié)果如圖7所示。

進(jìn)一步分析5種類型電池輸出特性的建模精度，在取500個數(shù)據(jù)點時，其平均相對誤差^［25］結(jié)果如表4所示。表4中e^av表示本文Bezier遞推曲線的平均相對誤差，e^tv、e^pv、e^mv和e^hv分別表示文［21-24］使用模型的平均相對誤差。

由表4可知，Bezier遞推曲線對5種不同電池的輸出特性建模的平均相對誤差分別為1.05%、1.54%、1.71%、1.16%和1.67%。平均相對誤差均小于2%，5種電池平均相對誤差的平均值為1.426%。文［21-24］所使用模型的平均相對誤差的平均值分別為2.298%、4.208%、2.142%和2.88%。

表5中給出了5種不同模型擬合結(jié)果的絕對誤差絕對值之和。es表示本文Bezier遞推曲線的絕對誤差絕對值的和，e^tvs、e^pvs、e^mvs和e^hvs分別表示文［21-24］使用模型的絕對誤差絕對值的和。

進(jìn)一步分析表5可知，Bezier遞推曲線對5種不同電池的輸出特性建模的絕對誤差之和均為最小，分別為15A、1.7A、36.65A、6.02A和26.57A。

表6給出了5種不同模型擬合結(jié)果的均方根差結(jié)果。表6中ej表示本文Bezier遞推曲線的均方根差，e^tvj、e^pvj、e^mvj和e^hvj分別表示文［21-24］使用模型的均方根差。

整體而言，不同模型下各電池的均方根差計算結(jié)果的差異并不顯著。比如對于VBHN330電池而言，不同模型擬合結(jié)果的均方根誤差分別為^{4.1201A、4.1155A、4.1250A、4.1139A}和^4.1311A，大致在4.11A～4.13A的范圍之內(nèi)，其他電池與此類似，表明不同預(yù)測模型的離散程度基本相同。

通過表4～6不同誤差的計算，驗證了本文所提基于遞推曲線光伏電池模型的可靠性和正確性。

5 結(jié) 論

針對不同類型光伏電池I-V特性擬合問題，提出一種無需復(fù)雜計算和實驗測試的方法，僅利用廠商給定數(shù)據(jù)，通過Bezier算法得到的遞推曲線逼近光伏電池I-V特性。主要結(jié)論如下：

①提出了以短路電流點，最大功率點作為第1個控制多邊形的第1個和第3個頂點，以最大功率點，開路電壓點作為第2個控制多邊形的第1個和第3個頂點，并在經(jīng)過最大功率點且平行于短路電流和開路電壓點連線的直線上構(gòu)造2個控制多邊形第2個頂點的思路，給出了以Bezier遞推曲線擬合不同類型光伏電池I-V特性曲線的方案。

②分別采用平均相對誤差，絕對誤差的和以及均方根誤差對所提曲線遞推方法的精度進(jìn)行了驗證，并與其他四種類似模型進(jìn)行了對比分析，論證了所提I-V特性建模方法的簡單性和準(zhǔn)確性。

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（編輯：溫澤宇）

基金項目： 國家自然科學(xué)基金（51677057）；黑龍江省教育廳普通高校青年創(chuàng)新人才培養(yǎng)計劃項目（NPYSCT-2017144）；2019年度黑龍江省屬高等學(xué)?；究蒲袠I(yè)務(wù)費科研項目（2019-KYYWF-0730）.

作者簡介：付 朕（1999—），男，碩士研究生；

朱顯輝（1975—），男，博士后，碩士研究生導(dǎo)師.

通信作者：師 楠（1982—），女，博士，副教授，E-mail：snhit@sina.cn.