線性代數(shù)教學(xué)中矩陣特征值求解探討

摘要：特征值是線性代數(shù)的重要知識(shí)點(diǎn)，是方陣對(duì)角化和二次型標(biāo)準(zhǔn)化的基礎(chǔ)，在許多領(lǐng)域的理論和實(shí)踐中有重要的應(yīng)用。n階方陣的特征值計(jì)算包括求解特征多項(xiàng)式和特征方程這兩步。求解特征多項(xiàng)式相當(dāng)于求解一個(gè)含有變量的n階行列式，求解特征方程相當(dāng)于求解一個(gè)一元n次方程，一般情況下計(jì)算比較煩瑣。針對(duì)幾個(gè)特征值計(jì)算進(jìn)行演示，首先討論特征值計(jì)算的基本方法，然后給出幾種具有特殊性矩陣的特征值計(jì)算的技巧。同時(shí)，要運(yùn)用這些計(jì)算技巧，需要熟練掌握行列式、矩陣、特征值和特征向量的相關(guān)性質(zhì)，并能夠洞察特征多項(xiàng)式和特征方程求解中的特殊性，從而能夠簡潔準(zhǔn)確地得出特征值。

關(guān)鍵詞：特征值 特征多項(xiàng)式 因式分解 矩陣的跡 矩陣的秩

中圖分類號(hào)： O151.2

Discussion of Matrix Eigenvalue Solution in Linear Algebra Teaching

MA Shengyun HUANG Sharina XU Liyang

College of Science， Inner Mongolia Agricultural University， Hohhot， Inner Mongolia Autonomous Region， 010018 China

Abstract： Eigenvalue is important knowledge points in linear algebra， serving as the foundation for matrix diagonalization and standardization of the quadratic form， and have significant applications in theory and practice in many fields. The eigenvalue calculation of an n-order square matrix involves two steps： solving the characteristic polynomial" and the characteristic equation . Solving characteristic polynomial is equivalent to solving an n-order determinant containing variables ， while solving characteristic equations is equivalent to solving an one dimension equation of the n-degree， which is generally computationally cumbersome. Using several examples to demonstrate the calculation of eigenvalues. Firstly， the basic method of eigenvalue calculation is discussed， and then several techniques for eigenvalue calculation with special matrices are provided. At the same time， to apply these computational techniques， proficiency in the properties of determinants， matrices， eigenvalues and eigenvectors is required， the particularities of solving characteristic polynomials and equations can be perceived， so as to obtain eigenvalues concisely and accurately.

Key Words： Eigenvalue; Characteristic polynomial; Factorization; Trace of matrix; Rank of matrix

線性代數(shù)[1]是高等院校大多數(shù)理工類、經(jīng)濟(jì)類和農(nóng)林類專業(yè)的必修公共基礎(chǔ)課程，在其后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)中有著重要的作用。矩陣的特征值是線性代數(shù)中的重要概念，也是各專業(yè)考研的考查熱點(diǎn)[2，3]。在特征值與特征向量的教學(xué)中，需要恰當(dāng)?shù)匾攵叩母拍?，使學(xué)生能夠更好地理解與掌握。例如：利用數(shù)形結(jié)合，從線性不變量的角度引入，從幾何意義來看，特征向量在線性變換下沒有改變方向，特征值就是伸縮的比例[4-6]。特征值與特征向量是方陣對(duì)角化和可對(duì)角化矩陣方冪計(jì)算的主要方法和手段[7，8]。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生需要掌握特征值的基本計(jì)算方法以及具有特殊形式矩陣特征值的計(jì)算技巧[9，10]。實(shí)際上利用數(shù)學(xué)軟件計(jì)算特征值愈加廣泛，可以應(yīng)對(duì)計(jì)算量大，數(shù)據(jù)結(jié)果復(fù)雜等問題[11]。

本文以三階矩陣為例，介紹和討論求解特征值的基本方法和幾種特殊情形下的求解技巧。

三階矩陣的特征值的基本求解過程共有兩步。首先，求特征多項(xiàng)式。因?yàn)榈闹鲗?duì)角線元素均含有的形式，所以一般情況下利用對(duì)角線法則求解，得到一個(gè)關(guān)于的一元三次多項(xiàng)式。其次，求解特征方程。是一個(gè)關(guān)于的一元三次方程，方程的根即為矩陣的特征值，這個(gè)過程需要對(duì)特征多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。一般情況下，按對(duì)角線法則展開并進(jìn)行因式分解的基本求解方法比較繁瑣。

1 求解矩陣特征值的基本方法

例1 求矩陣的特征值。

按對(duì)角線法則展開后的整理過程略顯煩瑣且易錯(cuò)，此處未給出詳細(xì)整理合并過程。

求解的特征值，首先需要因式分解。一般情況下，對(duì)一元三次多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，先要進(jìn)行試根。如果該一元三次多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為零的話，則有零特征值，實(shí)際上相當(dāng)于做了一個(gè)一元二次多項(xiàng)式的因式分解問題，因式分解相對(duì)簡單。若常數(shù)項(xiàng)非零，如例1所示，計(jì)算則稍顯繁瑣，試根依次考慮。假設(shè)得到一個(gè)特征根為，則因式分解式中存在一項(xiàng)，繼續(xù)利用列豎式或者拼湊法即可得到整個(gè)特征多項(xiàng)式的因式分解。

在例1中，容易驗(yàn)證是的一個(gè)根，從而因式分解項(xiàng)中一定含有，進(jìn)行拼湊的具體過程如下：

令，解得的特征值為。

例1中演示了一般情形下三階矩陣特征值的基本求解方法，計(jì)算量偏大，而且計(jì)算過程中必須注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，計(jì)算消耗時(shí)間也較長。

當(dāng)給出的三階矩陣具有某些特殊性時(shí)，特征值的求解會(huì)具有一定的簡便性。

2 具有特殊性矩陣的特征值求解

例2 求矩陣的特征值。

矩陣具有特殊性，的第三列上方兩個(gè)元素都是0，顯然第三行第三列的元素2是的一個(gè)特征值，同時(shí)的另兩個(gè)特征值也易于求出。這種情形下特征值的求解主要利用行列式按行按列展開定理的引理，即行列式的某一行或者某一列只有一個(gè)非零元，則行列式等于該非零元與其代數(shù)余子式之積。這種情形下，展開求解時(shí)易于得到的形式，因式分解也相對(duì)簡單。

令，解得的特征值為。

根據(jù)例2的求解過程可以看到，具備這樣特殊性的矩陣的特征值的求解過程較例1簡潔。同時(shí)注意到的特征值取值與其第三行的前兩個(gè)元素?zé)o關(guān)。

例3 求矩陣的特征值。

注意矩陣的特殊性，它的每行元素的和均為4。利用這個(gè)特殊性也可以簡化計(jì)算過程，只需要將的后兩列都加到第1列上，可以看到第1列元素都變成，提出公因數(shù)后再用后兩行分別減去第1行，即具備了例2中的特殊性。

進(jìn)一步求解得到，解得的特征值為。

例4 求矩陣的特征值。

首先注意到，矩陣具有與例3中矩陣相同的特殊性，即每行元素的和相等，可以按照例3的解法求解的特征值。再進(jìn)一步觀察，較更特殊，的主對(duì)角線元素都是5，主對(duì)角線以外元素都是2。

顯然，當(dāng)時(shí)，中的所有元素均為2。所以，并且。

由可知為的一個(gè)特征值。同時(shí)注意到計(jì)算關(guān)于的特征向量需要求解齊次線性方程組，該方程組的所有非零解向量均為關(guān)于的特征向量。因?yàn)?，所以的基礎(chǔ)解析中包含2個(gè)向量，即關(guān)于存在兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量。注意矩陣的任意特征值至多存在與其重?cái)?shù)個(gè)數(shù)相同的線性無關(guān)的特征向量，所以至少為的一個(gè)二重特征值，即有。對(duì)于三階矩陣，已知兩個(gè)特征值，要確定第三個(gè)特征值，可以利用“矩陣的所有特征值的和等于矩陣主對(duì)角線上所有元素和”，即。所以有，解得。

例4中求解的特征值不需要展開，不需要得到特征多項(xiàng)式的具體形式，也不需要進(jìn)行因式分解。將例4推廣到一般形式為：

若，為階方陣，則的特征值為

這種形式矩陣特征值的計(jì)算，需要熟練掌握線性代數(shù)的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并能夠?qū)⑦@些知識(shí)點(diǎn)有機(jī)的結(jié)合起來。

例5 求矩陣的特征值。

矩陣的特征值計(jì)算與例4中類似，若能敏銳的注意到所具備的特殊性，則不需要按例1的復(fù)雜計(jì)算過程即可得到特征值。

顯然，中任意兩行元素對(duì)應(yīng)成比例。依據(jù)行列式的性質(zhì)“行列式的某兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，行列式等于零”，則有。同時(shí)注意到“矩陣的行列式等于的所有特征值的乘積”，或者“不可逆存在零特征值”，所以，存在零特征值。同時(shí)，還需要注意中任意兩行元素對(duì)應(yīng)成比例，所以，，與例4分析類似，零特征值至少是的二重特征值，即有。再利用，有。

3 結(jié)語

一般情況下，特征值基本求解方法的計(jì)算量相對(duì)較大。當(dāng)矩陣具有某些特性時(shí)，特征值的求解可以簡化。要能夠根據(jù)矩陣的具體形式，靈活地運(yùn)用相應(yīng)方法進(jìn)行處理和運(yùn)算，達(dá)到最佳的計(jì)算效率，需要扎實(shí)掌握線性代數(shù)的基本概念和基本性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上不斷提高對(duì)具體矩陣是否存在特殊性的洞察力。

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