基于威布爾分布的風(fēng)功率密度計(jì)算方法比較

李化

（潤陽能源技術(shù)有限公司,天津 300300）

0 引言

風(fēng)資源評(píng)估是風(fēng)電開發(fā)的重要環(huán)節(jié)[1]，風(fēng)功率密度又是風(fēng)能資源評(píng)估的重要參數(shù)之一[2]，是決定風(fēng)電場(chǎng)是否具有開發(fā)潛能的重要評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。在年平均風(fēng)速和空氣密度相同的情況下，不同的風(fēng)頻分布將計(jì)算得出不同的風(fēng)功率密度，因而準(zhǔn)確分析風(fēng)資源的風(fēng)頻分布具有重要意義。

目前，對(duì)風(fēng)頻分布的研究多采用威布爾分布，它能比較好地?cái)M合風(fēng)資源的實(shí)際情況。劉鵬等[3]采用了矩估計(jì)法模擬風(fēng)頻威布爾分布，此方法簡單方便，缺點(diǎn)是不能完全利用風(fēng)數(shù)據(jù)樣本信息，模擬精度不高。Justus 和Lysen 提出的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算方法[4]，被2002版《全國風(fēng)能評(píng)價(jià)技術(shù)規(guī)定》采納，因簡單、實(shí)用、耗時(shí)短，在風(fēng)電場(chǎng)建設(shè)初期做初步評(píng)估時(shí)被廣泛采用。Akdag 和Dinler 提出了用能量因子法來模擬威布爾分布參數(shù)[5]，此方法目前被廣泛應(yīng)用于風(fēng)資源流體力學(xué)評(píng)估模型軟件中，如Meteodyn Universe。Stevens MJM 將最大似然法運(yùn)用于風(fēng)資源風(fēng)頻分布的模擬計(jì)算，并以此估算風(fēng)電場(chǎng)發(fā)電量[6]。最小二乘法由法國勒讓德創(chuàng)立，是處理實(shí)測(cè)值的純粹代數(shù)方法，此方法被廣泛應(yīng)用于各行業(yè)，這是一種尋找最佳解，揭示最接近真實(shí)情形的狀態(tài)[7]。

估算風(fēng)功率密度的方法較多，準(zhǔn)確地計(jì)算風(fēng)功率密度有賴于風(fēng)頻威布爾分布擬合的準(zhǔn)確性[8]。但是，目前還缺少基于威布爾分布擬合準(zhǔn)確性計(jì)算風(fēng)功率密度方面的研究。因此，文章對(duì)目前國際常用的5 種風(fēng)頻威布爾擬合方法進(jìn)行對(duì)比研究，采用決定系數(shù)對(duì)威布爾擬合結(jié)果準(zhǔn)確度進(jìn)行評(píng)價(jià)，并在此基礎(chǔ)上利用威布爾分布計(jì)算風(fēng)功率密度，并與實(shí)測(cè)風(fēng)數(shù)據(jù)計(jì)算所得風(fēng)功率密度相比較絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差，從而確定哪些方法更可靠，更準(zhǔn)確。文章選取我國不同經(jīng)緯度和地形地貌的4 座測(cè)風(fēng)塔實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行威布爾分布擬合和決定系數(shù)分析，并計(jì)算相應(yīng)的風(fēng)功率密度，用案例進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證得出較優(yōu)方法，可為工程師在實(shí)際的風(fēng)資源評(píng)估工作中提供參考和指導(dǎo)。

1 威布爾分布和風(fēng)功率密度

威布爾分布是由瑞典科學(xué)家威布爾從材料強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)理論中推導(dǎo)出來的，是日常生活中一種常用的分布，在風(fēng)電領(lǐng)域的風(fēng)頻分布中也被廣泛采納應(yīng)用。

威布爾的形狀參數(shù) k值反映了風(fēng)速分布的范圍寬窄，一般情況下，k值越小，風(fēng)速分布越寬。當(dāng)0

式中：

F(v)——威布爾風(fēng)頻累計(jì)概率密度（%）；

v ——風(fēng)速（m/s）；

c ——威布爾尺度參數(shù)（m/s）；

k ——為威布爾形狀參數(shù)。

對(duì)威布爾累計(jì)概率密度函數(shù)（1）求導(dǎo)數(shù)，得到威布爾風(fēng)頻分布概率密度函數(shù)，如式（2）所示：

式中：

f(v)——威布爾風(fēng)頻分布概率密度（%）。

風(fēng)功率密度是指空氣流垂直通過單位截面積的風(fēng)能，是表征1 個(gè)地方風(fēng)能資源多少的1 個(gè)指標(biāo)，在風(fēng)資源評(píng)估中一般指年均風(fēng)功率密度，某地的風(fēng)功率密度越大，說明該地區(qū)風(fēng)能資源越好[9]。風(fēng)功率密度計(jì)算方法有兩種，一種是基于時(shí)間序列實(shí)測(cè)風(fēng)數(shù)據(jù)[10]，風(fēng)功率密度與風(fēng)速的3 次方成正比，其計(jì)算公式如式（3）所示：

式中：

ρ——空氣密度（kg/m3）；

vi——風(fēng)速時(shí)間序列值（m/s)；

n——時(shí)間序列。

另一種是選擇合適風(fēng)速分布的數(shù)學(xué)模型來模擬風(fēng)速變化，常見的有雙參數(shù)威布爾分布、瑞利分布、伽馬分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布，大多學(xué)者認(rèn)為雙參數(shù)威布爾分布可以較好的模擬風(fēng)速變化[11-13]?；谕紶柗植嫉娘L(fēng)功率密度計(jì)算公式如式（4）所示：

2 威布爾分布參數(shù)擬合方法及精度驗(yàn)證

2.1 EMJ Justus 經(jīng)驗(yàn)方法

該經(jīng)驗(yàn)方法由Justus 提出[5]，我國頒布的《全國風(fēng)能評(píng)價(jià)技術(shù)規(guī)定》中也采用此種方法，此方法計(jì)算簡單。其 k 值和 c值計(jì)算公式如式（5）和（6）[14]所示：

式中：

σ ——風(fēng)速標(biāo)準(zhǔn)差（m/s）；Γ（1+1/k）——伽馬函數(shù)；

2.2 EML Lysen 經(jīng)驗(yàn)方法

此方法由Lysen 提出[15]，在Justus 提出的方法上有所改進(jìn)，其 k 值計(jì)算由式（5）給出，c值計(jì)算公式如式（7）所示：

2.3 EPF 能量因子方法

基于能量守恒規(guī)律，使其威布爾擬合計(jì)算得到的風(fēng)功率密度與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算所得的風(fēng)功率密度差值盡可能小的情況下求 k 和 c值。此方法首先求出能量因子 Epf，其計(jì)算公式如式（8）所示，再計(jì)算 k 值[16]，k值計(jì)算公式如式（9）所示，c值計(jì)算公式同式（7）：

式中：

Epf——風(fēng)功率密度能量因子（W/m2）。

2.4 MLE 最大似然法

1821 年由德國數(shù)學(xué)家高斯提出最大似然法，此方法首次用于計(jì)算發(fā)電量可以追溯到Stevens MJM[6]，用這種模型來估算風(fēng)頻分布參數(shù) k 和 c值，其中蘊(yùn)含的規(guī)則是：在求得的 k 和 c這個(gè)特定的威布爾分布函數(shù)中，能得到現(xiàn)在的實(shí)測(cè)風(fēng)數(shù)據(jù)序列樣本概率最大。

假設(shè)某一風(fēng)速時(shí)間序列樣本為：

威布爾概率密度似然函數(shù) f 在某一風(fēng)速 vi下的公式如式（10）所示：

則風(fēng)速時(shí)間序列樣本 V 產(chǎn)生的聯(lián)合密度函數(shù)為：

為了計(jì)算方便，等式兩邊取對(duì)數(shù)：

上述方程分別對(duì)k，c求導(dǎo)，并令其分別為0，見式（13）和式（15），即可求得威布爾分布的參數(shù) k 和c[17]，具體見式（14）和式（16）：

2.5 LLSA 最小二乘法

風(fēng)速時(shí)間序列某一風(fēng)速的累計(jì)概率密度分布函數(shù)公式如式（17）所示：

為計(jì)算方便，等式兩邊取對(duì)數(shù)如式（18）所示：

累計(jì)概率密度函數(shù)經(jīng)過上述的變化推導(dǎo)就變成常見的線性 y=mx+b形式。最小二乘法的理論基石是實(shí)測(cè)值與模擬求得的結(jié)果值之間的差的平方總和最小。在用于威布爾擬合中，其公式如式（19）所示：

式中：

SSerr——為實(shí)測(cè)值與模擬結(jié)果值差的平方總和。

式（19）對(duì) k 和 c 分別求導(dǎo)，并分別令其為0,得出k值和 c值[18]，如式（20）和式（21）所示：

上述最大似然法和最小二乘法所涉及的公式屬于理論推導(dǎo)，運(yùn)算較復(fù)雜，在涉及數(shù)據(jù)繁多的測(cè)風(fēng)數(shù)據(jù)處理時(shí)，常常借助Excel 中的規(guī)劃求解器Slover 來解決，Slover 規(guī)劃求解器是一種多次運(yùn)算組合模擬參數(shù)使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值或者最小值的解決辦法[19],此方法方便快捷，批量處理測(cè)風(fēng)數(shù)據(jù)能提高計(jì)算的效率和準(zhǔn)確性。具體運(yùn)用于此文章時(shí)將多次組合模擬 k 和 c值，使得聯(lián)合密度函數(shù)取得最大值，最小二乘法函數(shù)即式（19）中的 SSrr取得最小值，此時(shí)相應(yīng)的 k 和 c即為最優(yōu)解。

2.6 威布爾模擬精度驗(yàn)證

在實(shí)際運(yùn)用中，針對(duì)風(fēng)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的風(fēng)頻分布情況一般采用上述5 種方法進(jìn)行擬合，文章采用決定系數(shù)R2來衡量其擬合結(jié)果的精確度[20]，其計(jì)算公式如式（22）所示：

式中：

fw(vi) ——威布爾分布參數(shù)計(jì)算風(fēng)速為 vi時(shí)的風(fēng)頻（%）；

fm(vi) ——實(shí)測(cè)風(fēng)速序列為 vi時(shí)的風(fēng)頻（%）；——實(shí)測(cè)風(fēng)速序列風(fēng)頻的平均值（%）；

0.9

0.8

0.7

R2≤0.7，擬合精度差。

3 案例分析

文章選取我國不同經(jīng)緯度，不同地形地貌及風(fēng)資源條件各不相同的4 座測(cè)風(fēng)塔，1 個(gè)完整年統(tǒng)計(jì)值為10 min 的風(fēng)速樣本52 560 個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析[21]。測(cè)風(fēng)塔1 位于內(nèi)蒙古茂明的平坦地形，植被稀少地貌非常簡單；測(cè)風(fēng)塔2 位于云南昭通東部海拔為2 100 m 左右的多山地帶，植被較多，地形復(fù)雜；測(cè)風(fēng)塔3位于新疆小草湖的半沙漠干旱地帶；測(cè)風(fēng)塔4 位于廣東低緯度甲東地區(qū)的沿海灘涂附近。其測(cè)風(fēng)塔所在地理區(qū)域位置如圖1 所示。

圖1 4 座測(cè)風(fēng)塔地理位置圖Fig.1 The geographic position of 4 masts

測(cè)風(fēng)塔的經(jīng)緯度，所在地空氣密度，年平均風(fēng)速和實(shí)測(cè)風(fēng)功率密度等基本參數(shù)如表1 所示。

將測(cè)風(fēng)數(shù)據(jù)以0.5 m/s 作為一個(gè)風(fēng)速區(qū)間范圍進(jìn)行頻率統(tǒng)計(jì)，采用上文介紹的5 種威布爾擬合方法分別對(duì)收集到的4 座測(cè)風(fēng)塔數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬計(jì)算得k 和 c值，用威布爾分布函數(shù)可以求出各風(fēng)速段相對(duì)應(yīng)的頻率，在此基礎(chǔ)上利用式（4）計(jì)算威布爾分布風(fēng)功率密度和式（22）計(jì)算決定系數(shù)，各測(cè)風(fēng)塔結(jié)果分別如表2～表5 所示。

表2 測(cè)風(fēng)塔1 威布爾分布和模擬風(fēng)功率密度Tab.2 Simulation results of Weibull distribution and power density of mast 1

表3 測(cè)風(fēng)塔2 威布爾分布和模擬風(fēng)功率密度Tab.3 Simulation results of Weibull distribution and power density of mast 2

表4 測(cè)風(fēng)塔3 威布爾分布和模擬風(fēng)功率密度Tab.4 Simulation results of Weibull distribution and power density of mast 3

表5 測(cè)風(fēng)塔4 威布爾分布和模擬風(fēng)功率密度Tab.5 Simulation results of Weibull distribution and power density of mast 4

從表2～表5 模擬結(jié)果可知，4 座測(cè)風(fēng)塔用經(jīng)驗(yàn)法EMJ 和EML 計(jì)算的參數(shù)值K 分別相等，C 值均相差0.01，非常接近。

測(cè)風(fēng)塔1 和測(cè)風(fēng)塔4 用5 種威布爾方法模擬風(fēng)頻結(jié)果均好，決定系數(shù)均高于0.90，能量因子法EPF和最大似然法MLE 的決定系數(shù)相對(duì)更高，均高于0.96。相應(yīng)威布爾計(jì)算所得的風(fēng)功率密度與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算所得風(fēng)功率密度絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差也小，其中測(cè)風(fēng)塔1 使用能量因子法EPF 和最大似然法MLE 與實(shí)測(cè)風(fēng)數(shù)據(jù)計(jì)算所得風(fēng)功率467.50 W/m2絕對(duì)誤差分別為9.70 W/m2和8.00 W/m2，相對(duì)誤差值分別為2.1%和1.7%。測(cè)風(fēng)塔4 用5 種威布爾方法計(jì)算所得風(fēng)功率密度和實(shí)測(cè)風(fēng)功率密度絕對(duì)誤差分別為46.12 W/m2，44.44 W/m2，5.89 W/m2，3.66 W/m2和66.88 W/m2。

測(cè)風(fēng)塔2 和測(cè)風(fēng)塔3 威布爾模擬的決定系數(shù)橫向比較也有相似的趨勢(shì)，能量因子法EPF 和最大似然法MLE 的決定系數(shù)高于其他3 種方法，其計(jì)算所得的風(fēng)功率密度與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)所得風(fēng)功率密度更加接近，絕對(duì)值誤差和相對(duì)誤差均小于其他3 種方法。盡管測(cè)風(fēng)塔3 模擬決定系數(shù)整體偏低，其分布范圍為0.69～0.85 之間，但能量因子法EPF 和最大似然法MLE 結(jié)果擬合精度較好分別為0.83 和0.85，其相對(duì)較高的趨勢(shì)仍未變化。

測(cè)風(fēng)塔3 用能量因子法EPF 和最大似然法MLE 計(jì)算所得的風(fēng)功率密度與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算所得風(fēng)功率密度絕對(duì)誤差分別為28.81 W/m2和16.53 W/m2，相對(duì)誤差分別為4.7% 和2.7%；經(jīng)驗(yàn)法EMJ和EML 絕對(duì)誤差較大，分別為125.94 W/m2和127.93 W/m2，最小二乘法LLSA 為68.46 W/m2，相對(duì)誤差分別為20.6%，17.3%和11.2%。

測(cè)風(fēng)塔3 用經(jīng)驗(yàn)法EMJ 和EML 及最小二乘法LLSA 威布爾模擬結(jié)果一般，決定系數(shù)分別為0.69，0.69 和0.75，在此基礎(chǔ)上利用風(fēng)頻分布計(jì)算所得的風(fēng)功率密度誤差更大，這也更好地驗(yàn)證了風(fēng)頻分布擬合準(zhǔn)確與否對(duì)風(fēng)功率密度計(jì)算準(zhǔn)確度影響至關(guān)重要，風(fēng)速與風(fēng)功率密度是3 次方關(guān)系。

4 座測(cè)風(fēng)塔實(shí)測(cè)風(fēng)頻分布圖和威布爾分布模擬分布情況如圖2～圖5 所示。

圖2 測(cè)風(fēng)塔1 實(shí)測(cè)風(fēng)速風(fēng)頻和威布爾擬合分布圖Fig.2 Wind speed frequency of the measurement data and Weibull distribution simulation of mast 1

圖3 測(cè)風(fēng)塔2 實(shí)測(cè)風(fēng)速風(fēng)頻和威布爾擬合分布圖Fig.3 Wind speed frequency of the measurement data and Weibull distribution simulation of mast 2

圖4 測(cè)風(fēng)塔3 實(shí)測(cè)風(fēng)速風(fēng)頻和威布爾擬合分布圖Fig.4 Wind speed frequency of the measurement data and Weibull distribution simulation of mast 3

圖5 測(cè)風(fēng)塔4 實(shí)測(cè)風(fēng)速風(fēng)頻和威布爾擬合分布圖Fig.5 Wind speed frequency of the measurement data and Weibull distribution simulation of mast 4

4 結(jié)論

文章針對(duì)風(fēng)頻分布擬合方法進(jìn)行比較研究和風(fēng)功率密度計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證，引用決定系數(shù)對(duì)風(fēng)頻分布擬合度進(jìn)行優(yōu)劣評(píng)價(jià)，確定威布爾擬合常用的5 種方法準(zhǔn)確性高低。為了使結(jié)論具有普適性和代表性，文章采用我國不同經(jīng)緯度，地形地貌各異和風(fēng)資源稟賦程度各不相同的4 座實(shí)測(cè)測(cè)風(fēng)塔1 年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。

最終得出結(jié)論：威布爾擬合常用的5 種計(jì)算方法中，能量因子法EPF 和最大似然法MLE 能更好地?cái)M合實(shí)測(cè)風(fēng)數(shù)據(jù)的風(fēng)頻，采用威布爾計(jì)算所得的風(fēng)功率密度和實(shí)測(cè)風(fēng)數(shù)據(jù)計(jì)算的風(fēng)功率密度更為接近，誤差較小，決定系數(shù)值較大，其風(fēng)頻的擬合度優(yōu)于經(jīng)驗(yàn)法和最小二乘法；經(jīng)驗(yàn)法和最小二乘法擬合度相對(duì)差一些,相應(yīng)計(jì)算的風(fēng)功率密度誤差也大一些。盡管某些測(cè)風(fēng)塔用5 種方法擬合所得的決定系數(shù)相對(duì)都較小，擬合度一般，但橫向比較能量因子法EPF 和最大似然法MLE 的擬合度仍較經(jīng)驗(yàn)法和最小二乘法有優(yōu)勢(shì)，相應(yīng)計(jì)算所得的風(fēng)功率密度誤差仍小于其他3 種方法。

這一結(jié)果與目前我國較流行的流體力學(xué)風(fēng)資源模擬軟件Meteodyn Universe 的運(yùn)算規(guī)則相吻合[22]，這款軟件在做各高層繪圖計(jì)算時(shí)用的是能量因子法EPF，在各風(fēng)機(jī)機(jī)位點(diǎn)參數(shù)計(jì)算 k 值，c值時(shí)運(yùn)用的是最大似然法MLE。

因此，在實(shí)際項(xiàng)目風(fēng)資源評(píng)估中，建議采用能量因子法EPF 和最大似然法MLE 來模擬風(fēng)數(shù)據(jù)的風(fēng)頻分布，計(jì)算得出更加接近實(shí)際的風(fēng)功率密度，可為更好地了解掌握風(fēng)場(chǎng)的風(fēng)資源提供可靠依據(jù)。