基于Python語言路徑分析矩陣算法運演

鐘志強 張毅寧

（鞍山師范學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，遼寧 鞍山 114007）

1 引言

多元回歸是一種簡單的因果關(guān)系分析，其偏回歸系數(shù)（partial regression coefficient）表示在控制其他自變量的條件下，每個自變量單獨對因變量的作用。其中各個自變量處于相同地位，對因變量的作用是并列。如果在兩個變量之間加上中介變量，一個變量既是自變量又是因變量時，存在多個環(huán)節(jié)，這就構(gòu)成路徑。多元回歸就不能兼顧這種因果關(guān)系。

路（通）徑分析(Path Analysis,Sewall Wright,1921)是相關(guān)系數(shù)分解的一種統(tǒng)計方法，不僅揭示自變量xi(i=1,2,…m)與因變量y的直接影響力和間接影響力，而且可以在xi,y間的復(fù)雜關(guān)系中，從某個自變量與其他自變量的“協(xié)調(diào)”關(guān)系中得到對y的最佳影響的路徑信息。目標(biāo)是探索是事物內(nèi)在因果關(guān)系規(guī)律，將因變量與自變量的相互影響的相關(guān)系數(shù)分解為直接效果的路徑系數(shù)和間接效果的路徑系數(shù)。這使對模型中的變量的因果關(guān)系分析研究更為具體和深入。

路徑分析早期在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域，被稱為聯(lián)立方程模型(simultaneous equation modeling)[1]，多用來分析價格等經(jīng)濟相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)之間的關(guān)系[2,3]。國內(nèi)相關(guān)文獻(xiàn)中，路徑分析研究主要體現(xiàn)在農(nóng)林科學(xué)研究中[4,5],其實現(xiàn)技術(shù)有Excel,SPSS,SAS[6-10]。當(dāng)下，受結(jié)構(gòu)方程模型影響，學(xué)者們開始利用R語言（如利用“l(fā)avaan”和“semPlot”包）與Mplus工具通過潛變量和中介關(guān)系進(jìn)行路徑分析研究[11]。但當(dāng)其研究顯變量和無獨立中介模型時，卻要退回利用Excel計算，或利用引入截距項的回歸算法和檢驗方式進(jìn)行路徑分析。如此造成了研究上的不方便與不科學(xué)。本文利用Python語言，實現(xiàn)借助矩陣算法計算決定系數(shù)和完成F檢驗，以期進(jìn)一步說明路徑系數(shù)的意義。

2 路徑回歸系數(shù)計算

2.1 路徑回歸是標(biāo)準(zhǔn)化的偏回歸系數(shù)的推導(dǎo)

y=b0+b1x1+…+bn xn+e

其中bi是自變量xi對因變量y的偏回歸系數(shù)。由于各自變量本身變異程度和量綱的不同，使得偏回歸系數(shù)絕對值并不能準(zhǔn)確反映相應(yīng)自變量對依變量相對貢獻(xiàn)的大小。為此需將各偏回歸系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化，即用相應(yīng)自變量的標(biāo)準(zhǔn)差與因變量的標(biāo)準(zhǔn)差之比去乘以各偏回歸系數(shù)，因而路徑系數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的偏回歸系數(shù)pyxi，即為自變量對因變量y的直接通徑系數(shù)。其推導(dǎo)如下：

由于

當(dāng)i=1時，

其度量各自變量對因變量的直接效應(yīng)，其意義上是其它自變量保持不變時，該自變數(shù)變動一個單位時，因變量y變動的標(biāo)準(zhǔn)單位數(shù)，它不受度量單位和自變量變異程度的影響。

2.2 利用矩陣計算路徑回歸系數(shù)

如有三個自變量時：

其中r xiy，rxixj都可以通過已知數(shù)據(jù)計算得出。令

三個自變量的全體路徑系數(shù)為P矩陣表示方式為：

這里r x1x2px2y是自變量x1通過自變量x2對y的間接效應(yīng)。間接通徑系數(shù)即自變量xi通過其它相關(guān)變量對因變量y的影響，系直接路徑系數(shù)乘以二者的相關(guān)系數(shù)rij pyj。其總間接通徑效果為：

2.3 計算路徑回歸系數(shù)Python實現(xiàn)

用于分析的數(shù)據(jù)“pathdata.csv”為多個參考文獻(xiàn)利用(小麥豐產(chǎn)3號各性狀與單株籽粒產(chǎn)量或腰果種子發(fā)芽普遍期天數(shù)與氣溫)數(shù)據(jù)[12-14]，在網(wǎng)絡(luò)中亦可得到，見附錄1。其有一個因變量（y）四個自變量（x1-4）,四個自變量間互相關(guān)，沒有獨立中介變量。計算路徑回歸Python程序如下（其中變量名與文中公式標(biāo)識一致，下同）：

附錄1 路徑分析計算數(shù)據(jù)

import numpy asnp

import pandas as pd

from scipy.stats import f

df=pd.read_csv("pathdata.csv")#讀取文檔數(shù)據(jù)

y=df.iloc[:,-1]#得到y(tǒng)值

x=df.iloc[:,:-1]#得到x值

m,n=x.shape#得到x的行列數(shù)，為后期F檢驗做準(zhǔn)備

r=df[["x1","x2","x3","x4"]].corr()#得到x1-4的相關(guān)系數(shù)

s=df.corr()["y"][:-1]#得到y(tǒng)對x1-4的相關(guān)系數(shù)

rni=np.linalg.inv(r)#得到相關(guān)系數(shù)R的逆矩陣

p=rni.dot(s)#得到直接相關(guān)系數(shù)

print(p)

a=np.diag(p)

P=r.dot(a)#得到直接、間接系數(shù)矩陣

P["sum"]=P.sum(axis=1)#得到直接、間接與總路徑系數(shù)矩陣（見表1）

表1 直接、間接與總路徑系數(shù)

print("P",P)

del P["sum"]#刪除總路徑系數(shù)，為后期計算決定系數(shù)做準(zhǔn)備

3 路徑系數(shù)的顯著性檢驗

3.1 F顯著性檢驗公式

由于路徑系數(shù)就是標(biāo)準(zhǔn)偏回歸系數(shù)，因而可以利用多元回歸分析中偏回歸系數(shù)顯著性檢驗的方法對路徑系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗。檢驗方法可用t檢驗，也可用F檢驗。F值計算如下[15]：

m為樣本容量，n為自變數(shù)個數(shù)。C是自變量相關(guān)系數(shù)的逆矩陣的主對角元素的倒數(shù)。

3.2 F顯著性檢驗Python實現(xiàn)

c=1/np.diag(rni)

fx=np.power(a,2).dot(c)/((1-r2)/(m-n-1))#計算數(shù)據(jù)F值

for iin fx:

print(i,f.sf(i,m-1,m*(n-1)))#利用第三方scipy.stats包做F檢驗(結(jié)果見表2)

表2 路徑系數(shù)F檢驗表

從表2可以得知，除X4路徑系數(shù)不顯著為0外，不拒絕零假設(shè)（H0），其它系數(shù)都達(dá)到顯著水平。認(rèn)為路徑系數(shù)有意義。

4 決定系數(shù)的計算

4.1 決定系數(shù)的推導(dǎo)

決定系數(shù)(Coefficient of determination)R2表示y值的變異在其總變異中所占的比率。

又因為

所以，決定系數(shù)是相關(guān)系數(shù)的平方。

在路徑分析中，根據(jù)因變量y的方差：

進(jìn)一步推導(dǎo)：

表示自變量xi，對因變量y的相對決定程度，即直接決定系數(shù)；而2rxixj Pxiy Pxjy表示自變量xixj共同對因變量y的相對決定程度，即間接決定系數(shù)?？倹Q定系數(shù)是直接決定系數(shù)與間接決定系數(shù)的和。為不可控因素e對因變量y的相對決定程度，稱為剩余決定系數(shù)。

4.2 利用矩陣計算決定系數(shù)

總決定系數(shù)R2=[1 1 1]*D*[1 1 1]T。則剩余決定系數(shù)pye2=1-R2。

4.3 決定系數(shù)Python實現(xiàn)

def toD(d):#封裝計算成D矩陣函數(shù)

5 路徑分析結(jié)果進(jìn)一步探討

路徑分析的使用條件：各變量均為等距以上級別變量，各變量之間為線性關(guān)系，各因變量的作用可疊加。因果關(guān)系必須是單向，不得包括反饋環(huán)節(jié)[17]。根據(jù)路徑系數(shù)的計算結(jié)果，可以進(jìn)行以下分析：按絕對值大小，說明每一路徑對因變量的作用的相對重要性[18]。如果路徑系數(shù)接近相關(guān)系數(shù)，則反映了變量之間的真實關(guān)系[19]。如果相關(guān)系數(shù)大于0，但路徑系數(shù)小于0，說明間接效應(yīng)是相關(guān)的主要原因，直接作用是無效的，二者一定通過中介發(fā)生作用[20]。一般而言，相關(guān)分析僅蘊含著因果關(guān)系，但由于大多路徑分析，有時間的先后關(guān)系，路徑分析為此進(jìn)一步驗證了因果關(guān)系[21]。