基于代理模型的索卡減重優(yōu)化設(shè)計

解 昊，王林濤，鄭首坤

（大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

1 引言

架空纜道是由支撐和運(yùn)載設(shè)備組成的一種便利的高空運(yùn)輸工具［1］。與傳統(tǒng)地面運(yùn)輸工具相比，架空纜道具有適應(yīng)性好、運(yùn)輸效率高、機(jī)械化，自動化程度高等優(yōu)點。因此，架空纜道在我國的煤炭、冶金、農(nóng)林、旅游等地形復(fù)雜行業(yè)得到了日益廣泛的應(yīng)用。

架空纜道的核心設(shè)備—索卡是由內(nèi)索卡，外索卡，主軸，彈簧裝置，銷軸，摩擦板，輔助輪和行走輪組成，作為連接鋼絲繩和吊箱的部件，在架空纜道中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，如圖1所示。由于我國的架空纜道設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)并不完善，設(shè)計人員只能參考以往經(jīng)驗選用過大的安全系數(shù)，容易造成過設(shè)計降低纜道的經(jīng)濟(jì)性。因此，有必要在滿足強(qiáng)度、穩(wěn)定性條件下對索卡進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。

圖1 索卡結(jié)構(gòu)Fig.1 Rope Clip Structure

針對索卡的結(jié)構(gòu)設(shè)計國內(nèi)有如下研究。文獻(xiàn)［2］設(shè)計了一種雙側(cè)同心螺旋彈簧脫掛索卡，并利用有限元法對結(jié)構(gòu)關(guān)鍵部位進(jìn)行校核。文獻(xiàn)［3］對國外四桿機(jī)構(gòu)索卡進(jìn)行改進(jìn)，并驗證了新結(jié)構(gòu)的可行性。文獻(xiàn)［4］對重力式索卡進(jìn)行優(yōu)化，解決工程中遇到的問題，并利用有限元法驗證了新結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［5］提出了一種鉸桿增力機(jī)構(gòu)索卡，并利用MATLAB 對該結(jié)構(gòu)的夾緊力進(jìn)行優(yōu)化。這里把研究重點放在索卡的核心部件—內(nèi)索卡和外索卡，探究在滿足設(shè)計規(guī)范的前提下，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行減重優(yōu)化。

傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題主要是借助有限元仿真來完成，雖然通過此方法可以獲得精確的優(yōu)化結(jié)果，但也存在耗時過長導(dǎo)致效率較低的問題［6］。在此背景下，工程中經(jīng)常用易于計算的代理模型來解決這種復(fù)雜的黑箱問題［7］。在代理模型研究方面，目前已經(jīng)發(fā)展了包括多項式響應(yīng)面（RSM），Kriging 函數(shù)，徑向基函數(shù)（RBF），支持向量回歸（SVR）等多種代理模型方法。Kriging模型由于對高維非線性問題具有良好的近似能力和獨(dú)特的誤差估計被越來越多地應(yīng)用在工程中［8］。下文將分為建立參數(shù)及有限元模型，構(gòu)建Kriging模型以及優(yōu)化求解三個部分進(jìn)行敘述。

2 建立參數(shù)及有限元模型

2.1 參數(shù)模型

利用建模軟件建立索卡核心部件的三維模型。如圖2所示。圖中分別為內(nèi)索卡、外索卡、鋼絲繩和輪襯。在滿足裝配條件的前提下對內(nèi)索卡選取18個參數(shù)，對外索卡選取16個參數(shù)，有6組參數(shù)存在關(guān)聯(lián)，最終作為獨(dú)立變量的參數(shù)共有28個。設(shè)計變量的基本信息，如表1所示。

表1 設(shè)計變量Tab.1 Design Variables

圖2 索卡三維模型Fig.2 3D Diagram of Rope Clip

2.2 有限元模型

2.2.1 載荷分析

索卡的載荷來自三個方面：吊箱的重力，彈簧力，風(fēng)載。吊箱自重（含索卡）為7080N，最多允許承載8人，每人約重740N。彈簧通過預(yù)壓縮安裝在索卡上用于提供夾緊力，防止吊廂在爬坡時發(fā)生下滑。

風(fēng)載總是作用于吊箱上且與運(yùn)動方向相反。具體的載荷信息及作用位置，如表2所示。

表2 載荷信息Tab.2 Load Information

2.2.2 建立有限元模型

將圖2中的參數(shù)模型導(dǎo)入ANSYS Workbench進(jìn)行靜力學(xué)和模態(tài)分析。鋼絲繩在線路中被視為柔性體，因此定義為各向異性材料，模型各部位的材料，如表3 所示。對模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，內(nèi)、外索卡由于形狀復(fù)雜故采用8mm 四面體網(wǎng)格，危險部位用1mm網(wǎng)格進(jìn)行加密，鋼絲繩和輪襯采用8mm六面體網(wǎng)格，共生成單元數(shù)108051，節(jié)點數(shù)246645。鋼絲繩與內(nèi)、外索卡的夾口設(shè)為摩擦接觸，摩擦系數(shù)0.3。輪襯與外索卡同樣設(shè)為摩擦接觸，摩擦系數(shù)0.1。建立與內(nèi)索卡耦合的遠(yuǎn)端點來模擬吊箱，將吊箱重力與風(fēng)載施加到遠(yuǎn)端點。鋼絲繩在線路中的張緊力為350kN，經(jīng)過輪襯時會發(fā)生1°的彎曲。將載荷施加到模型對應(yīng)位置，約束輪襯上端面和鋼絲繩中面，有限元模型及分析結(jié)果，如圖3所示。

表3 材料屬性Tab.3 Material Properties

圖3 有限元模型及分析結(jié)果Fig.3 Finite Element Model and Analysis Results

3 構(gòu)建代理模型

在優(yōu)化過程中，使用有限元模型迭代求得最優(yōu)解往往耗時較長，效率極低。因此，有必要建立內(nèi)索卡和外索卡的代理模型。考慮到高維非線性的擬合能力和精度分析，因此選擇構(gòu)建Kriging代理模型。

首先需要建立樣本空間（S，y）s，其中S=[x(1)，x(2)，…，x(n)]T，表示抽樣獲得的n組設(shè)計變量；ys=[y(x(1))，y(x(2))，…，y(x(n))]T，表示每組設(shè)計變量對應(yīng)的有限元仿真響應(yīng)值。Kriging模型［8-9］是一種插值模型，其插值結(jié)果為已知樣本函數(shù)響應(yīng)值的線性加權(quán)：

為計算權(quán)系數(shù)引入假設(shè)：將未知函數(shù)看成是某個高斯靜態(tài)隨機(jī)過程的具體體現(xiàn)。靜態(tài)隨機(jī)過程定義如下：

式中：β0—Y（x）的數(shù)學(xué)期望；Z（x）—均值為0，方差為σ2的高斯分布。樣本空間中變量間的相關(guān)性可以表示為：

基于上述假設(shè)，可計算出Kriging模型最優(yōu)加權(quán)系數(shù)ω，使得預(yù)測的均方差

最小，并滿足預(yù)測的無偏估計性：

利用拉格朗日乘數(shù)法求得模型的預(yù)測值和均方差：

式中：F—各元素均為1的列向量；

最后通過求解最大似然函數(shù)公式獲得θ和σ2完成模型的構(gòu)建：

為了保證Kriging模型有較高的精度，應(yīng)使訓(xùn)練樣本盡量充滿樣本空間。在此，利用最優(yōu)拉丁超立方篩選600個訓(xùn)練樣本，利用拉丁超立方篩選500個測試樣本。以預(yù)測值和真實值的相關(guān)系數(shù)r2作為衡量模型精度的標(biāo)準(zhǔn)，通常要求r2≥0.95。

最終，構(gòu)建出內(nèi)索卡和外索卡的質(zhì)量、最大應(yīng)力、一階固有頻率和二階固有頻率的Kriging模型，六個模型預(yù)測值和真實值的對比情況，如圖4 所示。從結(jié)果可以看出，六個模型均滿足r2≥0.95的精度要求。

圖4 Kriging模型Fig.4 Kriging Surrogate Model

4 優(yōu)化結(jié)果

4.1 優(yōu)化方程

代理模型構(gòu)建完成后即可進(jìn)行后續(xù)的優(yōu)化工作。內(nèi)、外索卡的材料選用合金鋼35CrMnSiA，屈服強(qiáng)度為1280MPa，根據(jù)設(shè)計規(guī)范取安全系數(shù)為1.35得到材料的許用應(yīng)力［σ］=948MPa，要保證內(nèi)索卡最大應(yīng)力σN和外索卡最大應(yīng)力σW不超過許用應(yīng)力［σ］。纜道在運(yùn)行時會使鋼絲繩產(chǎn)生激振響應(yīng)，這種周期性的激振頻率f=3.2962Hz［5］。

為了避免共振，設(shè)計中要求固有頻率與激振頻率應(yīng)相差15%到20%。因此規(guī)定一階固有頻率f1和二階固有頻率f2均不超過0.85f或不低于1.15f。綜上所述，以內(nèi)索卡和外索卡的總質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化方程可以表示為：

式中：x—設(shè)計變量組成的向量，共28個元素；xD、xU—變量的下限和上限。

4.2 優(yōu)化求解

優(yōu)化方程確立后，需要選擇合適的優(yōu)化算法對方程求解。為了獲得高精度的全局最優(yōu)解，這里選用MIGA（多島遺傳算法）與NLPQL（非線性二次規(guī)劃）相結(jié)合的優(yōu)化算法［10］。MIGA 是對并行分布遺傳算法的改進(jìn)，具有優(yōu)良的全局求解能力。同時，NLPQL具有很強(qiáng)的局部搜索能力和搜索效率。

在Isight中將兩種算法結(jié)合，首先應(yīng)用MIGA 定位目標(biāo)極值在設(shè)計空間中所處的區(qū)域，再應(yīng)用NLPQL對該區(qū)域進(jìn)行精確尋優(yōu)，以獲得最終優(yōu)化結(jié)果。

優(yōu)化目標(biāo)和約束的收斂過程，如圖5所示。分為MIGA全局尋優(yōu)和NLPQL局部尋優(yōu)兩部分。

圖5 優(yōu)化過程收斂曲線Fig.5 Convergence Curve of Optimization

可以看出，優(yōu)化目標(biāo)收斂于33.16kg，g1中的σN收斂于947.96MPa，g2中σW的收斂于625.51MPa，g3收斂于-18.87，g4收斂于-19.36。優(yōu)化過程的初始值和最終結(jié)果，如表4所示。

從表中可以看出，經(jīng)過MIGA求解之后，與初始值相比內(nèi)索卡應(yīng)力減少了9.51%，外索卡應(yīng)力增加了5.54%，一階固有頻率約束增加了40.01%，二階固有頻率約束增加了39.15%，內(nèi)、外索卡的總質(zhì)量增加了4.47%，從42.54kg變?yōu)?4.44kg。經(jīng)過NLPQL求解之后，與初始值相比內(nèi)索卡應(yīng)力減小了8.8%，外索卡應(yīng)力減小了6.32%，一階固有頻率約束增加了20.42%，二階固有頻率約束增加了19.72%，內(nèi)、外索卡的總質(zhì)量減少了22.05%，從42.54kg變?yōu)?3.16kg，減輕了9.38kg。

將優(yōu)化后得到的設(shè)計變量取值代入有限元模型進(jìn)行分析，計算仿真結(jié)果與優(yōu)化響應(yīng)值的相對誤差具體，如表5所示。驗證優(yōu)化過程的準(zhǔn)確性?？梢钥闯?，NLPQL優(yōu)化結(jié)果的相對誤差分別為0.21%，5.27%，-0.37%，-0.31%和0.03%。雖然外索卡應(yīng)力的相對誤差偏高，但結(jié)果顯示，約束g2已經(jīng)大大遠(yuǎn)離約束邊界，不會因為誤差造成約束失效。綜上所述，Kriging模型精度較高，優(yōu)化結(jié)果可靠。

表5 誤差分析Tab.5 Error Analysis

5 結(jié)論

這里以內(nèi)索卡和外索卡的總質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)，通過建立Kriging 代理模型來解決有限元仿真優(yōu)化效率低的問題，利用MIGA和NLPQL相結(jié)合的優(yōu)化算法來獲得高精度的全局最優(yōu)解。優(yōu)化結(jié)果顯示，索卡總質(zhì)量減輕了22.05%，Kriging模型與有限元模型的最大相對誤差為5.27%，說明代理模型可以有效代替有限元模型來解決工程中的優(yōu)化問題。