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    探析基于Excel實現(xiàn)工程測量中的坐標轉(zhuǎn)換

    2024-01-26 23:19:55羅孝楠周廣勇謝全遠
    電腦知識與技術(shù) 2023年35期
    關(guān)鍵詞:坐標轉(zhuǎn)換

    羅孝楠 周廣勇 謝全遠

    摘要:因各個國家衛(wèi)星導(dǎo)航使用的坐標系不一致,GPS工程測量中坐標轉(zhuǎn)換是實際應(yīng)用的重要步驟,針對目前坐標轉(zhuǎn)換軟件數(shù)據(jù)錄入不便、過程不可控等問題,文中探析四參數(shù)法坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)求解方法,并在Excel下利用少量內(nèi)部函數(shù),設(shè)計實現(xiàn)了四參數(shù)求解和坐標轉(zhuǎn)換電子表格。通過工程實例坐標進行驗證,求解結(jié)果準確,計算過程數(shù)據(jù)可視,編輯錄入數(shù)據(jù)方便,方便在測量工程、教學實驗中使用。

    關(guān)鍵詞:衛(wèi)星導(dǎo)航;四參數(shù);坐標轉(zhuǎn)換;Excel

    中圖分類號:TP311.1? ? 文獻標識碼:A

    文章編號:1009-3044(2023)35-0118-03

    開放科學(資源服務(wù))標識碼(OSID)

    0 引言

    伴隨著衛(wèi)星技術(shù)深入發(fā)展,在實踐中得到了廣泛應(yīng)用,特別是美國全球定位系統(tǒng)(GPS) 的成功建立和應(yīng)用,我國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航測量技術(shù)也取得了前所未有的進步和發(fā)展。衛(wèi)星定位測量技術(shù)具有精準、快速、高效和全天候等顯著的特點,使得測繪行業(yè)經(jīng)歷了一場深刻的變革。豐富的應(yīng)用場景已經(jīng)被應(yīng)用到了現(xiàn)代社會經(jīng)濟中的很多領(lǐng)域,尤其是在軍事、交通、測量等方面和領(lǐng)域取得了顯著的成效,凸顯了重要的應(yīng)用價值。在因此全球?qū)Ш蕉ㄎ恍l(wèi)星系統(tǒng),在全球范圍內(nèi)的眾多行業(yè)中,尤其是在測繪行業(yè)有著越來越廣泛的應(yīng)用。

    全球定位系統(tǒng)(GPS) 所采用的坐標系是WGS-84坐標系,因此直接采集的點位坐標屬于WGS-84坐標系,而目前我們國家工程測量成果普遍使用的是以CGCS2000坐標系或是地方(任意)獨立坐標系為基礎(chǔ)的坐標數(shù)據(jù)。因此必須將WGS-84坐標轉(zhuǎn)換到CSCS2000坐標系或地方(任意)獨立坐標系[1]。坐標轉(zhuǎn)換是從一種坐標系統(tǒng)映射到另一種坐標系統(tǒng)的過程。通過建立兩個坐標系統(tǒng)之間一一對應(yīng)關(guān)系來實現(xiàn)。一般四參數(shù)應(yīng)用于平面轉(zhuǎn)換和七參數(shù)應(yīng)用于三維轉(zhuǎn)換。

    在許多測量數(shù)據(jù)處理軟件中,如徠卡LGO、天寶TBC、南方SGO、Pinncle等數(shù)據(jù)處理軟件,都有坐標系轉(zhuǎn)換模塊,有些功能比較齊全,如在TBC軟件中包含了七參數(shù)法、格網(wǎng)法、多元回歸法;LGO軟件中有格網(wǎng)法、七參數(shù)法、三參數(shù)法、格網(wǎng)與參法結(jié)合法,有三維轉(zhuǎn)換也有二維轉(zhuǎn)換。在實際應(yīng)用中,可以結(jié)合測區(qū)大小、范圍內(nèi)已知點的數(shù)量與分布情況決定采用哪一種方法。這些軟件在學習、教學過程中還是存在一些問題,軟件比較復(fù)雜龐大、學習成本比較高,計算過程不可見,不利于對原理的理解。

    Excel是微軟公司推出的一個廣泛應(yīng)用于商業(yè)和科學領(lǐng)域的電子表格程序。它具有一些強大的功能和特點,使其成為各種應(yīng)用程序中不可缺少的工具。簡潔的界面、優(yōu)秀的計算功能和圖表工具,再加上出色的市場營銷,使Excel成為流行的個人計算機電子表格軟件。它的主要功能有制作表格、數(shù)字格式的轉(zhuǎn)換、制作圖表、函數(shù)功能、數(shù)據(jù)處理功能等[2]。強大的數(shù)據(jù)編輯功能,使得利用Excel編制坐標轉(zhuǎn)換程序表格方便可行。

    1 四參數(shù)坐標轉(zhuǎn)換原理

    四參數(shù)是用于兩個平面直角坐標系之間的互相轉(zhuǎn)換,而七參數(shù)是用于兩個三維空間直角坐標系之間的轉(zhuǎn)換。四參數(shù)可以由兩個及以上具有平面二維坐標的已知等級控制點求出,高程可以用擬合方法求出,求解較為簡單,也較容易理解;七參數(shù)轉(zhuǎn)換是空間坐標系的轉(zhuǎn)換需要在測區(qū)布設(shè)一定密度的控制網(wǎng)點,需要三個以上已知三維坐標的控制點,利用整個網(wǎng)的WGS-84坐標系下的三維約束平差結(jié)果和當?shù)刈鴺讼到y(tǒng)的二維約束平差結(jié)果及各點的高程解算,參數(shù)求解比較煩瑣,理解起來相對困難。

    1.1 平面坐標轉(zhuǎn)換

    點位的平面坐標可以用高斯投影取得。當?shù)孛鎯牲c的距離小于十千米時,地球曲率的影響可以忽略,此時可以采用四參數(shù)來完成兩種坐標系的轉(zhuǎn)換,精度也能達到預(yù)定的需求。四參數(shù)轉(zhuǎn)換計算如公式(1) 。

    [x2y2=?x?y+mcosα-sinαsinαcosαx1y1]? ? (1)

    其中,x1、y1為原始坐標,x2、y2為目標坐標,單位米,Δx、Δy為兩個坐標平移參數(shù),即兩個平面坐標系的坐標原點之間的坐標差值。α為兩個坐標系的坐標軸間的旋轉(zhuǎn)角度,通過旋轉(zhuǎn)α,可以使兩個坐標系的X和Y軸重合在一起。M為尺度縮放因子,即兩個坐標系內(nèi)的同一段直線的長度比值,實現(xiàn)尺度的比例轉(zhuǎn)換。通常m值非常接近于1。因為有四個參數(shù)所以稱之為四參數(shù)坐標轉(zhuǎn)換。這樣通過坐標的平移、坐標軸的旋轉(zhuǎn)和尺度的縮放,可以實現(xiàn)平面坐標的轉(zhuǎn)換。而這四個參數(shù)如何求解是坐標轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵步驟。

    1.2 四參數(shù)的求解

    四參數(shù)求解是坐標轉(zhuǎn)換的一個逆過程,求解需要至少兩對已知點,分別知道其在目標平面的坐標和原始平面的坐標,根據(jù)間接平差方法,令[a=m*cosα-1] , [b=m*sinα], 按最小二乘原理推導(dǎo)[3],限于篇幅直接給出公式如下:

    [L=x21-x11y21-y11…x2i-x1iy2i-y1i…x2n-x1ny2n-y1n,B=1001…10…10…01…01x11-y11y11x11…x1iy1i…x1ny1n…-y1ix1i…-y1nx1n,]

    [X=?x?yab,P=1001000000001001]? ?(2)

    因為一個點只能建立兩個誤差方程,要解四個未知數(shù),至少需要兩個點建立四個誤差方程,如果有多的點,就使用最小二乘法。

    求得結(jié)果X=(BTPB)-1(BTPL),可以得到Δx、Δy、a、b的值,進而可以解得α=acrtan[b/(a+1)]、m=sqrt[(a+b)2+b2],得到Δx、Δy、α、m四個參數(shù)值[4-5]。

    1.3 四參數(shù)轉(zhuǎn)換的可靠精度

    轉(zhuǎn)換參數(shù)的求取時,所采用的已知點的位置分布需要注意如下幾個方面:已知點的選取位置應(yīng)分布合理均勻,分布于測區(qū)四周和中心。為達到既定轉(zhuǎn)換精度,盡量采用多個已知點,讓這些點位能完全并均勻覆蓋整個轉(zhuǎn)換區(qū)域。留取幾個檢查點,作為檢核。為了保證參數(shù)求解精度,需要注意以下幾點:

    1) 在參數(shù)求解前,對已知坐標進行預(yù)處理,保證數(shù)據(jù)準確。

    2) 控制坐標分布、密度。

    3) 殘差分析。參數(shù)求解后對殘差進行綜合分析,剔除誤差較大的點,提高可靠性。

    2 Excel的電子表格編輯設(shè)計

    在 Excel中,函數(shù)實際上是一個預(yù)先編寫的特定計算公式。按照這個特定的計算公式對一個或多個值執(zhí)行計算,并得出一個或多個運算結(jié)果,叫作函數(shù)值。使用這些函數(shù)不僅可以完成許多復(fù)雜的計算,而且還可以簡化公式的繁雜程度。使用函數(shù)可以簡化或縮短工作表中的公式,使數(shù)據(jù)處理簡單方便。

    Excel每一個函數(shù)都由一系列的參數(shù)來控制其輸入輸出結(jié)果。函數(shù)的參數(shù)可以是數(shù)值、文本、單元格引用等數(shù)據(jù)類型,將函數(shù)的參數(shù)傳入函數(shù)中進行處理得到結(jié)果。其中,一些函數(shù)會有循環(huán)嵌套,即通過一個函數(shù)調(diào)用另一個函數(shù)的方式進行計算,從而實現(xiàn)更為復(fù)雜的計算需求。

    2.1 所用函數(shù)

    實現(xiàn)坐標轉(zhuǎn)換需要用到矩陣運算,Excel中有矩陣運算相關(guān)函數(shù)可以方便得到所需結(jié)果,常見的矩陣函數(shù)有:1) 矩陣轉(zhuǎn)置:TRANSPOSE(原矩陣);2) 矩陣乘法:A、B矩陣相乘MMULT(矩陣A,矩陣B);3) 求逆矩陣:MINVERSE(原矩陣);4) 求矩陣行列式的值 MDETERM(矩陣);5) INDIRECT函數(shù)。在使用矩陣函數(shù)時候在公式編輯欄中輸入公式:如“=MINVERSE(矩陣A)”,按下“Shift+Ctrl+Enter”組合鍵,即可得到對應(yīng)的逆矩陣。

    2.2 具體編輯設(shè)計

    為了防止數(shù)據(jù)編輯出錯、界面簡潔,在Excel中新建兩個工作表并命名為“輸入”和“過程”。在“輸入”工作表中編輯輸入已知點和坐標轉(zhuǎn)換如圖1:

    界面數(shù)據(jù)錄入分為目標坐標和源坐標,各自對應(yīng)X、Y坐標。按行從上到下排列分為P1、P2、P3…Pn點。右側(cè)F列編輯殘差列,對應(yīng)每個點轉(zhuǎn)換后的殘差,來監(jiān)測已知點的數(shù)據(jù)質(zhì)量。殘差的計算方式為:1) 由已知點求得轉(zhuǎn)換參數(shù);2) 源坐標按第一步的轉(zhuǎn)換參數(shù)求出轉(zhuǎn)換后的坐標;3) 轉(zhuǎn)換后的坐標和已知目標坐標X、Y進行求差,再求平方和、開方即為殘差。

    在“過程”工作表中編輯生成過程矩陣,其中L為2n行1列的矩陣,B為2n行4列的矩陣(n為已知點的數(shù)量)。實際應(yīng)用中已知點數(shù)量為2個及以上,數(shù)量并不是固定的,因此L、B兩個矩陣宜豎向排列,以便在點數(shù)增加時進行矩陣擴展如圖2所示。

    以L矩陣第1、2行為例,第一行輸入“=IF(F1>=1,INDIRECT("輸入!D3")-INDIRECT("輸入!B3"),0)”,第二行輸入“=IF(F1>=1,INDIRECT("輸入!E3")-INDIRECT("輸入!C3"),0)”。F1單元格為已知點數(shù)量可以用COUNT函數(shù)取得,即已知點數(shù)量大于等于1時第一行值為x21-x11否則為0。因為Excel的公式會隨著復(fù)制剪切同步變化,這會導(dǎo)致已知點編輯時引起后面公式變化,所以加入INDIRECT函數(shù)防止剪切單元格時公式跟隨變化。以此類推根據(jù)公式2中L矩陣編輯其余單元格。

    矩陣B第一行第一列輸入“=IF(F1>=1,1,0)”即已知點數(shù)量大于等于1,第一列值為1,否則為0;第二列固定輸入0,第三列輸入“=IF(F1>=1,INDIRECT("輸入!B3"),0)”,即已知點大于等于1時,第三列單元格值為“輸入”B3單元格的值,否則為零;第四列輸入“=IF(F1>=1,INDIRECT("輸入!C3")*-1,0)”,即已知點F1數(shù)量大于1時,第四列單元格值為“輸入”C3單元格值乘以-1,否則為零。據(jù)此根據(jù)需要擴展矩陣的行數(shù),此例為5個點,當輸入點數(shù)量少于5時,空白的地方利用IF函數(shù)根據(jù)F1單元格的點數(shù)自動填充為0。即已知點數(shù)量小于等于5個時,矩陣會自動把不足5的地方填充為零,不影響最終結(jié)果的計算。可以達到已知點數(shù)量動態(tài)使用的效果。如果需要更多的已知點數(shù)量,只需要手動把矩陣范圍擴展到相應(yīng)點數(shù)即可。

    編輯求得B矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣BT,因Excel的TRANSPOSE函數(shù)使用時需要固定單元格數(shù)量,所以矩陣BT采用手動引用編輯生成,以便矩陣的跟隨矩陣B動態(tài)擴展。

    矩陣BT第一行從左到右等于矩陣B的第一列從上到下,矩陣BT第二行從左到右等于矩陣B的第二列從上到下,依次編輯好矩陣BT,結(jié)果如圖3所示。

    編輯構(gòu)造矩陣BTPB,權(quán)系數(shù)矩陣P默認為1的單位陣,在此忽略,BTPB結(jié)果為4行4列的矩陣,它的大小是不變的,和已知點數(shù)量無關(guān)。在空白處選中4行4列單元格,在編輯欄輸入“=MMULT(矩陣BT,矩陣B)”,然后同按Ctrl+Shift+回車鍵返回得到結(jié)果圖4所示:

    求逆矩陣(BTPB)-1,逆矩陣大小和源矩陣大小相同,在空白處選中4行4列單元格,在編輯欄輸入“=MINVERSE(矩陣BTPB)” 然后同按Ctrl+Shift+回車鍵返回得到結(jié)果圖5所示:

    編輯構(gòu)造矩陣BTPL, 權(quán)系數(shù)矩陣P默認為1的單位陣,在此忽略。矩陣BTPL結(jié)果為4行1列的矩陣,它的大小也是不變的,和已知點數(shù)量無關(guān)??瞻滋庍x中4行1列單元格,在編輯欄輸入“=MMULT(矩陣BT,矩陣L)”,然后同按Ctrl+Shift+回車鍵返回得到結(jié)果圖6左邊BTPL:

    求方程的最小二乘解X=(BTPB)-1*BTPL,其結(jié)果為4行1列固定大小矩陣??瞻滋庍x中4行1列單元格,在編輯欄輸入“=MMULT(矩陣(BTPB)-1, 矩陣BTPL)”,引用好各個參數(shù)矩陣的位置,然后同時按Ctrl+Shift+Enter鍵返回得到矩陣X結(jié)果圖6右邊所示,分別為Δx、Δy、a、b的值。按照公式2最終解得α=acrtan[b/(a+1)]、m=sqrt[(a+b)2+b2],得到Δx、Δy、α、m四個參數(shù)值。

    3 實例與結(jié)果分析

    現(xiàn)有某工程已知點坐標如表1。

    如圖7所示,輸入P1、P2、P3三個點得到四個轉(zhuǎn)換參數(shù)平移Δx、Δx、α、m分別為53.193m、-50.134m、6.578E-6弧度、1.0000003。殘差均小于1mm。并有殘差列可供使用者評估各個已知點的精度。轉(zhuǎn)換后的參數(shù)可以用于實際測量中。

    4 結(jié)束語

    本文針對工程測量中重要的坐標轉(zhuǎn)換實現(xiàn)問題進行研究,探討二維平面坐標轉(zhuǎn)換的實現(xiàn)原理、精度控制和注意事項。經(jīng)過矩陣運算、實現(xiàn)使用Excel 內(nèi)部函數(shù)進行坐標轉(zhuǎn)換。經(jīng)頁面設(shè)計和調(diào)試測試達到精度要求。該方法相對于專用軟件和Excel VBA編程方法,實現(xiàn)簡單,無需復(fù)雜的編程過程、學習成本小;過程數(shù)據(jù)可見,過程中生成的矩陣可以分析數(shù)據(jù),更能方便理解其轉(zhuǎn)換的意義、錄入保存數(shù)據(jù)方便,適用于多種測量、教學場景。

    參考文獻:

    [1] 李征航,黃勁松.GPS測量與數(shù)據(jù)處理[M].3版.武漢:武漢大學出版社,2016.

    [2] 馮注龍,丘榮茂.Excel之光:高效工作的Excel完全手冊[M].北京:電子工業(yè)出版社,2019.

    [3] 武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎(chǔ)[M].2版.武漢:武漢大學出版社,2009.

    [4] 王萌,高遠,范咪娜.區(qū)域坐標轉(zhuǎn)換模型對比分析[J].礦山測量,2021,49(2):71-76.

    [5] 謝偉杰.平面四參數(shù)法坐標轉(zhuǎn)換的實例應(yīng)用探討[J].工程建設(shè)與設(shè)計,2020(13):46-47,50.

    【通聯(lián)編輯:梁書】

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