二維三次映射的混沌動(dòng)力學(xué)

陳鳳娟, 丁文豪, 鐘 溢

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321004;2.寧波工程學(xué)院 理學(xué)院,浙江 寧波 315211)

0 引 言

1979年,Holmes[1]研究了如下Duffing方程：

(1)

式(1)中,δ,β,α,f,ω是參數(shù).對(duì)固定的δ,β,α,ω>0,當(dāng)f∈(1.08,2.45)時(shí),方程(1)存在奇異吸引子.為了考察該吸引子的結(jié)構(gòu),Holmes研究了方程(1)的Poincaré映射,并提出了如下差分方程：

(2)

式(2)中,a,b∈R是參數(shù).當(dāng)a=2.77,b=0.20時(shí),映射(2)存在如圖1(a)所示的吸引子;當(dāng)a=2.67,b=0.20時(shí),映射(2)存在似Hénon吸引子[2],如圖1(b)所示;當(dāng)a=2.30,b=1.00時(shí),映射出現(xiàn)“8”字形吸引子,如圖1(c)所示.上述數(shù)值結(jié)果的初值均取(x0,y0)=(0.1,0.1),這些吸引子具有正Lebesgue測(cè)度的吸引域.而Smale馬蹄的吸引域往往是Lebesgue零測(cè)集[3], 因此,難以在數(shù)值模擬中觀測(cè)到.那么,映射(2)是否存在Smale馬蹄呢?

圖1 映射(2)的吸引子

1 主要結(jié)果

定理1當(dāng)0<|b|<1,20a3≥50a2+8a2|b|+135R2(1+|b|)2時(shí),映射F在區(qū)域D中存在不變集Λ.進(jìn)一步,系統(tǒng)(F,Λ)拓?fù)涔曹椨谌?hào)動(dòng)力系統(tǒng)(σ,Σ(3)),其中σ是雙邊移位映射.

(a)0<|b|<1,20a3≥50a2+8a2|b|+135R2(1+|b|)2

(b)三次曲線Γ1,Γ2和直線L1,L2

下面通過兩步完成定理1的證明.首先,在定理1的條件下作出Smale馬蹄的橫條和豎條,得到映射F的不變集Λ.然后,運(yùn)用Moser定理[4],證明(F,Λ)拓?fù)涔曹椨谌?hào)動(dòng)力系統(tǒng).

2 定理1的證明

在證明定理1之前,首先介紹Moser定理和n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的零點(diǎn)性質(zhì).

假設(shè)U1,U2,…,UN是D中N個(gè)互不相交的橫條,V1,V2,…,VN是D中N個(gè)互不相交的豎條.橫條Ui和豎條Vi的直徑分別記作d(Ui)和d(Vi)(i=1,2,…,N).

條件(Ⅰ)：對(duì)于i=1,2,…,N,F(Ui)=Vi.而且F把Ui的橫邊映射成Vi的橫邊,Ui的豎邊映射成Vi的豎邊.

條件(Ⅲ+)：dF(Sp)?SF(p),并且滿足|η0|≤μ|η1|.

條件(Ⅲ-)：dF-1(Tq)?TF-1(q),并且滿足|ξ1|≤μ|ξ0|.

注1滿足條件(Ⅰ)與條件(Ⅲ+)、條件(Ⅲ-)意味著條件(Ⅱ)成立.

文獻(xiàn)[5]運(yùn)用Moser定理,對(duì)著名的Hénon映射給出了存在Smale馬蹄的參數(shù)條件.進(jìn)一步,文獻(xiàn)[6]推廣了Moser定理.

下面的引理描述了多項(xiàng)式零點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì).

根據(jù)定理1,有如下推論：

推論1在定理1的條件下,對(duì)任意的x,c∈[-R,R],實(shí)系數(shù)三次多項(xiàng)式P3(y)=ay-y3-|b|x+c存在3個(gè)互不相同的實(shí)零點(diǎn).

證明對(duì)三次方程P3(y)=0,應(yīng)用卡丹公式得到

對(duì)任意x,c∈[-R,R],

根據(jù)定理1的條件可知

Δ<0.

應(yīng)用卡丹定理,P3(y)存在3個(gè)互不相同的實(shí)零點(diǎn).推論1證畢.

(3)

(4)

(a)a=5.0,b=0.2時(shí)的區(qū)域D

(b)3個(gè)豎條V+,V0和V-

下面確定豎條的原像.記F-1是F的逆映射.根據(jù)式(2),得

(5)

根據(jù)前面的分析,V+,V0和V-的豎邊是三次曲線l+,l-上的一部分,因此,它們的原像是D的豎邊x=?R的一部分.V+,V0和V-的橫邊位于直線段y1=±R上.根據(jù)式(5),y1=R和y1=-R的原像分別是三次曲線s-：bx=ay-y3-R和s+：bx=ay-y3+R,如圖4所示.s+與s-亦互相平行,且s+位于s-的右邊.經(jīng)過類似計(jì)算知道,三次曲線s+與s-的極值點(diǎn)均位于區(qū)域D的外面.因此,F-1(D)∩D是D中的3個(gè)橫條形區(qū)域,記作H+,H0和H-.它們由三次曲線s+,s-與直線段x=±R所圍.

圖4 F-1(D)與D相交所得的3個(gè)橫條H+,H0和H-

以上分析了0

下面運(yùn)用Moser定理證明(F,Λ)是混沌動(dòng)力系統(tǒng).先考慮0

(6)

任取(ξ0,η0)∈S(x,y),那么

(7)

a-3y2>a-3(y*)2>0.

根據(jù)定理1的條件知

|a-3y2|>a-3(y*)2.

根據(jù)式(5),逆切映射是

(8)

(9)

(10)

由定理1條件以及0

因此,對(duì)任意(x1,y1)∈V0,

dF-1(T(x1,y1))?TF-1(x1,y1),

以上證明了0

總之,根據(jù)Moser定理[4],映射(2)在區(qū)域D上存在不變集Λ,而且系統(tǒng)(F,Λ)拓?fù)涔曹椨陔p邊符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)(σ,Σ(3)).這表明二維三次映射F在D上存在Smale馬蹄意義下的混沌動(dòng)力學(xué).定理1證畢.

3 周期點(diǎn)的最大Lyapunov指數(shù)

一般地,對(duì)Rn上的微分同胚F,周期點(diǎn)的Lyapunov指數(shù)有以下結(jié)論：

引理2[8]假設(shè)p是F的m周期點(diǎn),Jacobi矩陣J=D(Fm)在p點(diǎn)的特征值和特征向量分別是λj和vj(j=1,2,…,n),那么,在p點(diǎn)vj方向的Lyapunov指數(shù)由下式計(jì)算：

引理3[8]假設(shè)p點(diǎn)的Jacobi行列式det(DF(p))=Δ是常數(shù),那么,當(dāng)p點(diǎn)的Lyapunov指數(shù)均存在時(shí),

l1(p)+l2(p)+…+ln(p)=ln(|Δ|).

下面計(jì)算映射(2)的不動(dòng)點(diǎn)和2周期點(diǎn)的最大Lyapunov指數(shù).

O+和O-的特征值相等,它們是：

通過計(jì)算,映射(2)存在3條2周期軌道,分別是：

3){(-ζ2,-χ2),(-χ2,-ζ2)}.

取a=5.0,b=0.2時(shí),3條2周期軌道的Lyapunov指數(shù)譜分別是(精確到小數(shù)點(diǎn)后6位)：

1)l1=2.608 986…,l2=-4.218 424…;

2)l1=1.811 355…,l2=-3.420 793…;

3)l1=1.811 355…,l2=-3.420 793….

因此,不動(dòng)點(diǎn)和2周期點(diǎn)的最大Lyapunov指數(shù)均大于0.

4 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了由式(2)定義的映射的混沌動(dòng)力學(xué),通過Moser定理證明了該映射在不變集上拓?fù)涔曹椨谌?hào)動(dòng)力系統(tǒng).如下2個(gè)問題有待于進(jìn)一步研究：

1)映射(2)是否存在閃回排斥子?

2)映射(2)是否存在橫截同宿軌道?