立足四基四能 聚焦核心素養(yǎng) 彰顯育人價(jià)值
——2023年福建省中考數(shù)學(xué)試卷評(píng)析

藍(lán)文英

(福建省廈門市海滄中學(xué) 361028)

2023年福建省數(shù)學(xué)中考是在實(shí)施“雙減”政策的社會(huì)大背景下,《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》頒布后的第二次中考,社會(huì)關(guān)注度高.2023年福建省中考數(shù)學(xué)試卷(以下簡(jiǎn)稱“福建數(shù)學(xué)卷”)以新課標(biāo)為依據(jù),堅(jiān)持以立德樹(shù)人為導(dǎo)向,側(cè)重考查“四基四能”[1],凸顯了“一核三層三翼”[2],試卷整體難度適宜,考查要求配比科學(xué).與往年相比,試題結(jié)構(gòu)特征基本一致,總題量25題,只有一點(diǎn)與以往不同,即2023年福建數(shù)學(xué)卷的第24題考查拋物線、第25題為幾何壓軸題,這兩題的順序和往年相反.試題情境創(chuàng)設(shè)“五育”融合,整體布局穩(wěn)中有新,不僅體現(xiàn)了“兩考合一”的考試性質(zhì),而且很好地實(shí)現(xiàn)了“有利學(xué)生發(fā)展”的育人目標(biāo).

1 立足四基四能,凸顯試卷水平和選拔功能

福建數(shù)學(xué)卷關(guān)注必備知識(shí)、核心要點(diǎn),注重考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本數(shù)學(xué)思想方法,以及發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力.在考查學(xué)生素養(yǎng)能力的過(guò)程中,獨(dú)立考查必備知識(shí)要點(diǎn),能確保發(fā)揮試卷的水平性功能.

1.1 必備知識(shí)要點(diǎn)獨(dú)立考查

例1(第8題)為貫徹落實(shí)教育部辦公廳關(guān)于“保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各1小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間”的要求,學(xué)校要求學(xué)生每天堅(jiān)持體育鍛煉．小亮記錄了自己一周內(nèi)每天校外鍛煉的時(shí)間(單位:分鐘),并制作了如圖1所示的統(tǒng)計(jì)圖．

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖,下列關(guān)于小亮該周每天校外鍛煉時(shí)間的描述,正確的是( )

A.平均數(shù)為70分鐘 .眾數(shù)為67分鐘

C.中位數(shù)為67分鐘 D.方差為0

圖1

評(píng)析本題以五育并舉中的“強(qiáng)化體育鍛煉”為背景,設(shè)置關(guān)于一周校外鍛煉時(shí)間的折線圖,不僅考查了四個(gè)必備統(tǒng)計(jì)量,還考查學(xué)生觀察圖表、分析統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)、做出決策的能力.

例2(第14題)某公司欲招聘一名職員．對(duì)甲、乙、丙三名應(yīng)聘者進(jìn)行了綜合知識(shí)、工作經(jīng)驗(yàn)、語(yǔ)言表達(dá)三方面測(cè)試,他們的各項(xiàng)成績(jī)(單位:分)如表1所示.

表1

如果將每位應(yīng)聘者的綜合知識(shí)、工作經(jīng)驗(yàn)、語(yǔ)言表達(dá)的成績(jī)按5∶2∶3的比例計(jì)算其總成績(jī),并錄用總成績(jī)最高的應(yīng)聘者,則被錄用的是．

評(píng)析本題創(chuàng)設(shè)了真實(shí)的問(wèn)題情境,貼近實(shí)際生活,重點(diǎn)考查核心概念“加權(quán)平均數(shù)”,考查方式精準(zhǔn)有效.母題來(lái)源于人教版八年級(jí)下冊(cè)第20章第1節(jié)“平均數(shù)”.學(xué)生看到熟悉的背景,倍感親切.試題不僅充滿了人文關(guān)懷,也能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.從試卷水平性功能這一維度看,福建中考卷延續(xù)6年省考一貫的方式,善于整合教材資源并進(jìn)行一定的拓展,部分試題是對(duì)當(dāng)前福建各地市中學(xué)使用的三版教材的典型例習(xí)題、數(shù)學(xué)閱讀與思考、數(shù)學(xué)活動(dòng)等的改編.這對(duì)引導(dǎo)教師回歸教材、研讀課標(biāo)具有一定的指向作用.

1.2 核心思維方法重點(diǎn)考查

福建數(shù)學(xué)卷重視對(duì)核心思維方法的考查,以四能為抓手,落實(shí)核心素養(yǎng),較為全面地考查了分類討論思想、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模等核心思想方法.

例3(第16題)已知拋物線y=ax2-2ax+b(a>0)經(jīng)過(guò)A(2n+3,y1),B(n-1,y2)兩點(diǎn),若A,B分別位于拋物線對(duì)稱軸的兩側(cè),且y1

評(píng)析本題與2022年第16題一脈相承,主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì).題目未給出圖象,需要學(xué)生動(dòng)手畫草圖,借助拋物線示意圖,聯(lián)結(jié)已知條件直觀分析,通過(guò)分類討論(①點(diǎn)A在對(duì)稱軸左側(cè),②點(diǎn)B在對(duì)稱軸左側(cè))達(dá)到問(wèn)題解決.不僅要求學(xué)生具備畫圖、識(shí)圖能力,更突出考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及邏輯推理能力.

例4(第24題)已知拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),M為拋物線的頂點(diǎn),C,D為拋物線上不與A,B重合的相異兩點(diǎn),記AB中點(diǎn)為E,直線AD,BC的交點(diǎn)為P．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(3)小明研究發(fā)現(xiàn):無(wú)論C,D在拋物線上如何運(yùn)動(dòng),只要C,D,E三點(diǎn)共線,△AMP,△MEP,△ABP中必存在面積為定值的三角形．請(qǐng)直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積,不必說(shuō)明理由．

評(píng)析此前6年省考的第25題均以拋物線為壓軸題,2023年數(shù)學(xué)卷將第24題調(diào)為拋物線壓軸題.本題設(shè)置三個(gè)小問(wèn),考查目標(biāo)清晰,題目梯度合理,由易到難逐層深入.第(1)問(wèn)門檻低,側(cè)重學(xué)業(yè)水平考試的基礎(chǔ)性;第(2)問(wèn)入口寬、方法多,需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,需要具備較高的邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中等稍難題.要證明三點(diǎn)共線,既能轉(zhuǎn)化為證明平角,也可以借助一次函數(shù)的性質(zhì)解決,如先求出直線CE的解析式,利用點(diǎn)在線上獲得點(diǎn)D坐標(biāo),從而證明C,D,E在同一條直線上.第(3)問(wèn)則比較難,是函數(shù)與幾何的疊加,在C,D,P均為動(dòng)點(diǎn)的同時(shí)又滿足C,D,E共線,要找出面積為定值的三角形,需從動(dòng)態(tài)的角度探尋特殊位置,再推廣到一般.這給不同思維層次的學(xué)生提供可發(fā)揮的空間,對(duì)代數(shù)運(yùn)算能力、幾何直觀以及邏輯推理能力提出較高要求.

顯然,不同的方法顯示了不同的能力水平和思維層次,這也能更好地展現(xiàn)試題的選拔功能.本題重點(diǎn)監(jiān)測(cè)三角形面積、一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程與二元一次方程組等基本知識(shí),以及幾何直觀和空間觀念、運(yùn)算和推理、創(chuàng)新意識(shí)、特殊與一般、數(shù)形結(jié)合等能力與思想.以上內(nèi)容均凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值與導(dǎo)向——促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.

本題啟發(fā)教師在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,要留給學(xué)生更多的探究時(shí)間與空間,讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的探索、發(fā)現(xiàn)和形成過(guò)程,在推敲題干、理解題意、探尋解題思路的過(guò)程中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),感悟數(shù)學(xué)方法,養(yǎng)成愛(ài)思考、善于思考的習(xí)慣.

2 依托學(xué)科本質(zhì),彰顯育人功能與導(dǎo)向

福建數(shù)學(xué)卷立足數(shù)學(xué)學(xué)科特色,強(qiáng)調(diào)推理的邏輯性、運(yùn)算的合理性、思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,很好地發(fā)揮了學(xué)生思維培養(yǎng)的學(xué)科教學(xué)指向作用.如第10題選材合適,能讓人感受到古人的智慧,弘揚(yáng)了數(shù)學(xué)文化,增強(qiáng)民族自信心和社會(huì)責(zé)任感.如第23題以綜合實(shí)踐為背景,滲透“五育并舉”,提升學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力,彰顯學(xué)科的育人功能.

2.1 緊貼時(shí)代脈搏,弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化

圖2

評(píng)析本題素材出自《九章算術(shù)注》.割圓術(shù)是一種古老的數(shù)學(xué)方法,極具文化傳承與數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值.本題以“割圓術(shù)”為背景創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,考查圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形面積公式等基本知識(shí).試題巧妙地融入了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,能增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和自信心,體現(xiàn)了愛(ài)國(guó)主義教育的滲透和德育熏陶,同時(shí)也讓學(xué)生感受到“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”的美妙,符合立德樹(shù)人的教育價(jià)值導(dǎo)向.

2.2 精心創(chuàng)設(shè)情境,關(guān)注應(yīng)用意識(shí)

例6(第23題)閱讀下列材料,回答問(wèn)題.

任務(wù) 測(cè)量一個(gè)扁平狀的小水池的最大寬度,該水池東西走向的最大寬度AB遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度,如圖①.工具 一把皮尺(測(cè)量長(zhǎng)度略小于AB)和一臺(tái)測(cè)角儀,如圖②.皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離(這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測(cè)量長(zhǎng)度).測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大小,即在任一點(diǎn)O處,對(duì)其視線可及的P,Q兩點(diǎn),可測(cè)得∠POQ的大小,如圖③.小明利用皮尺測(cè)量,求出了小水池的最大寬度AB,其測(cè)量及求解過(guò)程如下:測(cè)量過(guò)程 (1)在小水池外選點(diǎn)C,如圖④,測(cè)得AC=a m,BC=b m;(2)分別在AC,BC上測(cè)得CM=a3m,CN=b3m;測(cè)得MN=c m.求解過(guò)程 由測(cè)量知,AC=a,BC=b,CM=a3,CN=b3,∴CMCA=CNCB=13.又∵① ,∴△CMN∽△CAB,∴MNAB=13.又∵M(jìn)N=c,∴AB=② (m),故小水池的最大寬度為 m.

(1)補(bǔ)全小明求解過(guò)程中①②所缺的內(nèi)容.

(2)小明求得AB用到的幾何知識(shí)是.

(3)小明僅利用皮尺,通過(guò)5次測(cè)量,求得AB．請(qǐng)你同時(shí)利用皮尺和測(cè)角儀,通過(guò)測(cè)量長(zhǎng)度、角度等幾何量,并利用解直角三角形的知識(shí)求小水池的最大寬度AB,寫出你的測(cè)量及求解過(guò)程．

要求:測(cè)量得到的長(zhǎng)度用字母a,b,c…表示,角度用α,β,γ…表示;測(cè)量次數(shù)不超過(guò)4次(測(cè)量的幾何量能求出AB,且測(cè)量的次數(shù)最少,才能得滿分)．

評(píng)析本題是以“綜合實(shí)踐活動(dòng)”為背景的數(shù)學(xué)閱讀題,文字多、信息量大,以兩點(diǎn)間距離的概念及其度量、角度概念及其度量、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等基礎(chǔ)知識(shí)為載體,監(jiān)測(cè)了學(xué)生獲取信息,讀懂?dāng)?shù)學(xué)文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的數(shù)學(xué)閱讀能力以及利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的綜合實(shí)踐能力,考查了幾何直觀、數(shù)形結(jié)合、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等數(shù)學(xué)素養(yǎng).本題前兩問(wèn)比較基礎(chǔ),第3問(wèn)方法諸多,給定測(cè)量次數(shù)的上限,在獲得正確結(jié)果的同時(shí)比較測(cè)量次數(shù),從而選拔出思維品質(zhì)優(yōu)秀的學(xué)生.在解決本問(wèn)題的過(guò)程中,學(xué)生不僅要流暢地閱讀,還需結(jié)合生活實(shí)踐靈活運(yùn)用幾何知識(shí)．本題著眼于活動(dòng)情境下數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用,可謂是“做中學(xué),學(xué)中用”;同時(shí),對(duì)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)的教學(xué)具有正向引領(lǐng)作用,能使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,達(dá)到過(guò)程育人的目標(biāo).

2.3 聚焦關(guān)鍵能力,回歸核心素養(yǎng)

例7(第25題)如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB邊上不與A,B重合的一個(gè)定點(diǎn)．AO⊥BC于點(diǎn)O,交CD于點(diǎn)E．DF是由線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,FD的延長(zhǎng)線與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M．

圖3

(1)求證:△ADE∽△FMC;

(2)求∠ABF的度數(shù);

(3)若N是AF的中點(diǎn),如圖4,求證:ND=NO．

評(píng)析本題作為2023年幾何壓軸題,以等腰直角三角形為載體,條件清晰,入口寬,圖形結(jié)構(gòu)豐富,能啟發(fā)學(xué)生從多種角度進(jìn)行思考.以線段旋轉(zhuǎn)為起點(diǎn),蘊(yùn)含等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行線、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等核心知識(shí),考查學(xué)生的直觀想象、推理與運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、化歸與轉(zhuǎn)化、創(chuàng)新意識(shí)等素養(yǎng).第(1)問(wèn)立足基礎(chǔ),第(2)問(wèn)稍難,可用的方法較多,主要方法有:①設(shè)BC,DF交于點(diǎn)G,通過(guò)證明△BGD∽△CGF和△BGF∽△DGC得到∠FBC=90°,∠ABF=135°;②證明B,D,C,F四點(diǎn)共圓;③過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB,構(gòu)造“一線三垂直”結(jié)構(gòu)完成證明;④過(guò)點(diǎn)D作DG=DB,再證明△DBF≌△DGC.第(3)問(wèn)較難,對(duì)學(xué)生的幾何識(shí)圖和演繹推理能力、模型思想等要求較高,符合壓軸題的選拔要求,能夠很好地檢測(cè)考生是否具有后續(xù)學(xué)習(xí)與探究所必備的優(yōu)秀思維品質(zhì).此外,要順利解出本題,學(xué)生需要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功和高階思維力,要能夠冷靜地分析題目信息,不畏艱難、敢于直面困難,這也是中考考查的一個(gè)目標(biāo)．整體而言,本題全方位考查學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng),是不可多得的好題.

3 落實(shí)雙減政策,引領(lǐng)命題方向與教改

“雙減”要求數(shù)學(xué)教育教學(xué)應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律,依標(biāo)教學(xué),擺脫“題海戰(zhàn)術(shù)”“機(jī)械刷題”“學(xué)習(xí)套路化”,加強(qiáng)知識(shí)的應(yīng)用性,建構(gòu)良好的教育生態(tài),促進(jìn)學(xué)生健康發(fā)展.福建數(shù)學(xué)卷的命題出發(fā)點(diǎn)很好地遵循這一理念,注重真實(shí)問(wèn)題情境中解決問(wèn)題能力的考查,重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)思維、學(xué)科素養(yǎng),以達(dá)到減負(fù)不減質(zhì)的目標(biāo).

3.1 巧設(shè)真實(shí)情境,在問(wèn)題解決中促進(jìn)能力提升

例8(第6題)根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù),福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43 903.89億元,2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53 109.85億元．設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意可列方程( ).

A.43 903.89(1+x)=53 109.85

B.43 903.89(1+x)2=53 109.85

C.43 903.89x2=53 109.85

D.43 903.89(1+x2)=53 109.85

評(píng)析本題數(shù)據(jù)來(lái)自福建省統(tǒng)計(jì)局,將2020年至2022年省GDP總值與“增長(zhǎng)率”問(wèn)題有機(jī)結(jié)合,情境真實(shí),讓考生感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活,促使學(xué)生更加關(guān)心現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活．試題選材接地氣,從真實(shí)、直觀的數(shù)據(jù)中能強(qiáng)烈地感受到祖國(guó)的強(qiáng)大和福建經(jīng)濟(jì)發(fā)展之快,民族自豪感、家鄉(xiāng)自信等家國(guó)情懷油然而生,充分展現(xiàn)了中考關(guān)注理論聯(lián)系實(shí)際、加強(qiáng)學(xué)生與實(shí)際生產(chǎn)生活聯(lián)系的命題理念．

3.2 基于情境任務(wù),通過(guò)任務(wù)驅(qū)動(dòng)獲得素養(yǎng)形成

例9(第22題)為促進(jìn)消費(fèi),助力經(jīng)濟(jì)發(fā)展,某商場(chǎng)決定“讓利酬賓”,于“五一”期間舉辦了抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)定:凡在商場(chǎng)消費(fèi)一定金額的顧客,均可獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．抽獎(jiǎng)方案如下:從裝有大小、質(zhì)地完全相同的1個(gè)紅球及編號(hào)為①②③的3個(gè)黃球的袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球,若摸得紅球,則中獎(jiǎng),可獲得獎(jiǎng)品;若摸得黃球,則不中獎(jiǎng)．同時(shí),還允許未中獎(jiǎng)的顧客將其摸得的球放回袋中,并再往袋中加入1個(gè)紅球或黃球(它們的大小、質(zhì)地與原來(lái)的4個(gè)球完全相同),然后從中隨機(jī)摸出1個(gè)球,記下顏色后不放回,再?gòu)拇须S機(jī)摸出1個(gè)球,若摸得的兩球顏色相同,則該顧客可獲得精美禮品一份．現(xiàn)已知某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．

(1)求該顧客首次摸球中獎(jiǎng)的概率;

(2)假如該顧客首次摸球未中獎(jiǎng),為了有更大機(jī)會(huì)獲得精美禮品,他應(yīng)往袋中加入哪種顏色的球?說(shuō)明你的理由．

評(píng)析本題以疫情放開(kāi)后“刺激消費(fèi),拉動(dòng)內(nèi)需”這一時(shí)政熱點(diǎn)為背景,依托簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率等基礎(chǔ)知識(shí),考查了運(yùn)算能力、抽象能力、統(tǒng)計(jì)與概率思想、模型觀念、應(yīng)用與創(chuàng)新意識(shí)以及數(shù)學(xué)閱讀能力等素養(yǎng),有助于學(xué)生感受社會(huì)發(fā)展的脈搏,關(guān)注國(guó)計(jì)民生,加強(qiáng)學(xué)習(xí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系,在問(wèn)題解決的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,鍛煉實(shí)踐能力,通過(guò)數(shù)據(jù)分析與計(jì)算進(jìn)行科學(xué)的決策,體會(huì)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.

4 結(jié)語(yǔ)

2023年福建中考數(shù)學(xué)卷堅(jiān)持以“立德樹(shù)人”為導(dǎo)向,滲透“關(guān)鍵能力”的教學(xué)方向,突出“學(xué)科素養(yǎng)育人”的教學(xué)改革理念,充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能;堅(jiān)持以素養(yǎng)立意、以學(xué)定考、有利發(fā)展為命題出發(fā)點(diǎn),有利于學(xué)生“跳出題?！?有利于教師更新教學(xué)思想和方法,有利于“雙減”背景下初中數(shù)學(xué)教學(xué)“提質(zhì)增效”,助力學(xué)生持續(xù)發(fā)展.