厘清結(jié)構(gòu)本質(zhì),變式驅(qū)動思維

[摘? 要] 相似三角形是初中幾何的重要組成部分，相似三角形的知識，一方面來源于相似三角形本身，另一方面，在于它與全等圖形、相似圖形等都緊密聯(lián)系. 文章基于整體理念，通過問題驅(qū)動，對邊、角、三線的特殊化，研究相似基本圖形的各種變式，或強或弱，讓學(xué)生在變式過程中厘清結(jié)構(gòu)本質(zhì)，自主建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，提升思維品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 圖形變式;結(jié)構(gòu)本質(zhì);相似三角形

復(fù)習(xí)課會根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點和規(guī)律，鞏固梳理已學(xué)知識、技能，促進(jìn)知識系統(tǒng)化，以提高學(xué)生運用知識解決問題的能力. 從認(rèn)知任務(wù)上看，復(fù)習(xí)課主要是鞏固、消化舊知，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò);從認(rèn)知過程上看，復(fù)習(xí)課一方面要把多個相關(guān)知識進(jìn)行綜合整理，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，另一方面需要幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)思想方法和解決問題策略的提煉，并在知識聯(lián)系的再理解、知識遷移與應(yīng)用的再體驗的過程中，提升學(xué)生的思維能力.

內(nèi)容分析

初中的平面幾何主要研究圖形在全等變換和相似變換下的不變性質(zhì)，即注重圖形本身結(jié)構(gòu)的定量研究和注重圖形變式的定性研究. 相似三角形是初中幾何的重要組成部分，相似三角形作為一個幾何對象，本身包含“定義—判定—性質(zhì)—應(yīng)用”的內(nèi)容;另外，相似三角形作為一種幾何工具，與全等圖形、相似圖形、位似圖形等都聯(lián)系緊密，需要掌握“A型”“8型”“母子相似型”等相似的基本圖形. 而由于新授課時受時間限制，研究有限，因此在復(fù)習(xí)課上應(yīng)注重知識的綜合研究（如圖1），如圖形的變式.

學(xué)情分析

學(xué)生在上新授課、基礎(chǔ)復(fù)習(xí)課時，已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的定義、判定、性質(zhì)、應(yīng)用，也積累了“A型”“8型”“母子相似型”等相似的基本圖形，具備了一定的基礎(chǔ)知識和基本技能，但都比較零散和淺顯，不能進(jìn)行綜合應(yīng)用，更不用說在此基礎(chǔ)上進(jìn)行相似圖形變式的系統(tǒng)研究. 因此，本課例立足基礎(chǔ)，引領(lǐng)學(xué)生探索研究相似圖形的方法，積累研究經(jīng)驗、厘清研究思路，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并根據(jù)所學(xué)分析問題、解決問題的能力.

教學(xué)設(shè)計

1. 問題驅(qū)動，引領(lǐng)變式

問題1：已知△ABC中，AB=10，AC=8，點D，E分別在邊AB，AC上，且AD=2，若以A，D，E為頂點的三角形和△ABC相似，求CE.

預(yù)設(shè)（如圖2、圖3）：

設(shè)計意圖? 開門見山，直入主題，以便為后續(xù)思維的展開提供足夠的時間、空間. 對于“正A型”“斜A型”這兩種常見的“A型”相似基本圖形，學(xué)生容易解決，意在喚醒學(xué)生的思維起點.

追問：其他條件不變，若點D，E分別在邊BA，CA的延長線上，你還能求CE的長嗎？

預(yù)設(shè)（如圖4、圖5）：

設(shè)計意圖? “8型”的兩種常見相似圖形，學(xué)生也比較熟悉，只因不夠嚴(yán)謹(jǐn)，容易忽視. 由此，相似三角形的簡單變式就產(chǎn)生了一題四圖，既是對基礎(chǔ)知識的回顧，也是變式思維的開始.

問題2? （線段數(shù)量的特殊化）：已知△ABC中，AB=10，AC=8，點D在邊AB上，若△ACD∽△ABC，求AD.

預(yù)設(shè)：根據(jù)圖6，由相似的性質(zhì)且AC為公共邊，可得AC 2=AD×AB，即可求得AD的值.

設(shè)計意圖? 圖6的“特A型”實際上是圖3的特殊化處理，即AE=AC，本質(zhì)上也是相似圖形的一種變式，對學(xué)生來說，相似三角形公共邊帶來的比例中項，是需要熟練掌握的. 而這里引出“特A型”相似是為后續(xù)進(jìn)行變式提供便利.

追問1（角的特殊化）：已知△ABC中，AB=10，AC=8，點D在邊AB上，若∠ACB=∠CDB=90°，如圖7，有幾對相似三角形？有幾個比例中項的數(shù)學(xué)式子？你還能求出哪些線段的長度？

預(yù)設(shè)：△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，△ACD∽△CBD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB，CD2=AD×BD. 根據(jù)這些關(guān)系，未知的線段均可求得.

設(shè)計意圖? 母子相似三角形是一個基本圖形，是“特A型”角度特殊后的特例，是初中幾何的三大結(jié)構(gòu)之一，多用于幾何圖形的定量研究，涉及勾股定理、等面積法、相似三角形和銳角三角函數(shù)四種常用的求線段長度的方法，可見其作用和價值.? 而這里的前后變式聯(lián)系，不僅加深了學(xué)生對“母子相似型”的認(rèn)識，也讓學(xué)生認(rèn)識到它的作用.? 另外，這里還可以由AC 2=AD×AB和BC 2=BD×AB證明勾股定理，這是學(xué)生沒有想到，也不曾聯(lián)系過的，從這一層面讓學(xué)生體會到知識的融會貫通和互相聯(lián)系需要從整體和發(fā)展的視角來看待，提升學(xué)生的創(chuàng)新意識.

追問2（增加三線“豐富化”）：如圖8，已知△ABC中，AB=10，AC=8，點D在邊AB上，若E是AC中點，連接ED交CB的延長線于點F，找出與△CDF相似的三角形. 你還能求出哪些線段的長度？

設(shè)計意圖? 因為是基礎(chǔ)復(fù)習(xí)課，思維的提升不能總是停留在淺層，而應(yīng)在層層變式中綜合上升. 為了提升學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，可以將幾何圖形的結(jié)構(gòu)進(jìn)行“豐富化”處理，常見的是增加三線，構(gòu)造新圖形. 由角特殊得到的母子型相似，再增加三角形三線中的中線，帶出這樣一個綜合性問題，而它的解決正好融合了所復(fù)習(xí)的這些基本圖形（如圖9呈現(xiàn)的一種方法），讓學(xué)生感受到復(fù)習(xí)課不再是一味地“炒冷飯”，而是新穎的，能觸發(fā)深度思考和提升思維的.

追問3（線段位置的特殊化）：如圖10，在△ABC中，若AB=AC=10，△ACD還能與△ABC相似嗎？可能存在與△ABC相似的三角形嗎？若存在，能求出此時AD的長度嗎？需添加什么條件？

設(shè)計意圖? 如圖10，將BC邊軸對稱后得DC，則△BCD∽△BAC，顯然，這不足以求出AD的長度，需要再特殊化，如線段位置的特殊化（其實就是將三角形的高線變?yōu)榻瞧椒志€），CD平分∠ACB，或角特殊化，如∠A=36°.? 這樣設(shè)置問題，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生如何研究幾何圖形——既然角可以特殊化，那么邊也可以特殊化，甚至還可以邊、角同時特殊化. 不僅如此，同樣是角特殊，∠ABC可以特殊，∠A也可以特殊;同樣是邊特殊，可以AB=AC，也可以CA=CB，還可以DA=DC. 授之以魚，不如授之以漁，這樣的思維方式讓學(xué)生正向遷移，自己都能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體. 另一方面，借助邊、角特殊化，讓學(xué)生在添加條件、證明相似的過程中，根據(jù)圖象最近聯(lián)想黃金等腰三角形（如圖11、圖12）和等腰直角三角形（如圖13）.

設(shè)計意圖? “特A型”通過條件特殊化，可進(jìn)行變式，那么這種思維一定也可以遷移到“斜A型”“正A型”. 這里先對“斜A型”展開變式，在特殊化角后，可找出三組共8對相似三角形，尤其在證明△AED∽△ABC和△DOE∽△BOC時，需通過對應(yīng)邊比例的轉(zhuǎn)換才可以證得. 因此這個變式一方面意在鞏固相似三角形的判定，另一方面也給學(xué)生聯(lián)想的余地，類比之前的研究方法——除了角特殊，還可以邊特殊，如AB=AC;可以連線，構(gòu)成新的三角形，是否還可以添加背景，如圓. 更深一層講，增加一條高線后，圖形結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，也更加豐富，產(chǎn)生了新的相似三角形.? 此時再增加量化條件，就可以求得所有幾何量.

追問：在圖14中，一定要滿足∠BDC=∠BEC=90°，才能證明△AED∽△ABC嗎？

設(shè)計意圖? 指引學(xué)生看清問題本質(zhì)，只需要∠BDC=∠BEC（如圖15），一樣可以證明△AED與△ABC相似. 既可以特殊化、強化條件進(jìn)行變式，也可以看清本質(zhì)弱化條件進(jìn)行變式，再一次讓學(xué)生獲得新的研究方法和新的研究經(jīng)驗.

問題4：如圖16，在△ABC中，BC=10，BC邊上的高為10，點D，E分別在邊AB，AC上，點H，G在邊BC上，若四邊形DEGH為正方形，求正方形DEGH的邊長.

設(shè)計意圖? 這是延續(xù)前面三個問題的研究方法，對“正A型”進(jìn)行變式，如果學(xué)生在解決問題3時已經(jīng)聯(lián)想了“正A型”的變式，就可以把問題4前置. 學(xué)生自己提出的問題，更能激起解決的興趣，這是課堂最好的資源.

追問1：你能對圖16進(jìn)行相似變形嗎？

預(yù)設(shè)：若四邊形DEGH為矩形，如圖17，當(dāng)DH為何值時，矩形DEGH的面積最大？

設(shè)計意圖? 思維能力的提升，不是一蹴而就的，很大程度上是通過實踐和感悟來實現(xiàn)的. 相似圖形的變式，拓展了知識和方法運用的廣度和深度——從正方形到矩形，學(xué)生借鑒前面的方法和策略，類比遷移，將條件弱化，抓住相似的本質(zhì)，為后續(xù)發(fā)散再做鋪墊.

追問2：對于圖17，若對其進(jìn)行變式，你有怎樣的想法呢？大膽說一說.

設(shè)計意圖? 由最近聯(lián)想，學(xué)生可能把角特殊化，如∠BAC=90°（如圖18）;把邊特殊化，如AB=AC（如圖19）;或者把矩形恰好分割成若干個小正方形（如圖20）. 而后在這些圖形的基礎(chǔ)上又可以再強化條件或弱化條件，得到新的特殊圖形——這里生成的東西學(xué)生一定印象深刻，不僅能獲得成就感，同時也能提升自信心.

在學(xué)生大膽猜想、變式后，教師可指導(dǎo)縱向疊加：如圖21，在△ADE中，使矩形D1E1G1H1的面積最大，則D1E1在△ADE的什么位置？D1E1長是多少？繼續(xù)疊加，得到DnEn，用含n的代數(shù)式表示DnEn的長. 這樣的變式變得更綜合，但學(xué)生并沒有覺得難，而是在層層變式中早已看清了本質(zhì)，實現(xiàn)超越自我的復(fù)習(xí)效果.

2. 框圖總結(jié)，系統(tǒng)整理

如圖22所示.

設(shè)計意圖? 教學(xué)有法，教無定法，貴在得法. 學(xué)生學(xué)習(xí)的知識不少，但都處于零散的、碎片化的狀態(tài)，教師要引導(dǎo)學(xué)生把課堂中層層遞進(jìn)獲得的碎片化的知識整體化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，并適時深度化和遷移化，在對圖形要素關(guān)系的深入理解和對圖形結(jié)構(gòu)的“整體把握”后，使得思維更完善、更嚴(yán)謹(jǐn). 此處，將課堂中的基本圖形、生成的變式圖形系統(tǒng)地整理在一起，讓學(xué)生“一眼萬年”，進(jìn)一步看清本質(zhì)，把握內(nèi)在聯(lián)系，提升思辨能力.

教學(xué)反思

1. 基于學(xué)情，精心設(shè)計變式

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)過程的設(shè)計，既要有利于學(xué)生加深理解和系統(tǒng)掌握所學(xué)過的知識，提高數(shù)學(xué)思維的能力和綜合運用知識解決問題的能力，同時又要有利于增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，有利于教師了解學(xué)生和改進(jìn)教學(xué)工作，為學(xué)生進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)[1]. 本課例便是基于學(xué)生的學(xué)習(xí)情況——已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的所有基礎(chǔ)知識，但還比較零散、碎片化，不清楚最終如何應(yīng)用這些不完整的知識和技能，選擇相似三角形最基本的相似圖形，然后分別對其邊、角特殊化，添加三線等，或強或弱，變式出如圖22 的幾乎涵蓋了所有“A型”的變式圖形. 當(dāng)然還可以與圖形變換相結(jié)合，比如軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移后會出現(xiàn)更豐富的教學(xué)資源.

2. 基于理念，提升思維品質(zhì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》強調(diào)：要突出數(shù)學(xué)的整體性，關(guān)注統(tǒng)一主線內(nèi)容的邏輯關(guān)系，關(guān)注不同主線內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系，關(guān)注不同數(shù)學(xué)知識所蘊含的通性通法、數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為一個在通性通法、數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下的具有系統(tǒng)性、連貫性的有機整體[2]. 這種要求，對中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)都是一致的. 初中幾何的三大基本結(jié)構(gòu)：“角平分線—平行線—等腰三角形”“母子相似三角形”和“A型”，分別用于圖形的定性研究、定量計算（涉及勾股定理、等面積法、相似三角形和銳角三角函數(shù)四種常用的求線段長度的方法）和變化研究. 本課例基于這樣的整體理念，通過相似基本圖形的各種變式，厘清相似背后的結(jié)構(gòu)信息，讓學(xué)生感悟與總結(jié)幾何圖形的研究方法、研究策略，積累解決幾何問題的經(jīng)驗，真正提升思維能力和思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]許芬英. “浙江省中小學(xué)學(xué)科教學(xué)建議”案例解讀：初中數(shù)學(xué)[M]. 杭州：浙江教育出版社，2015.

[2]鄭瑄. 整體觀下“平行線”教學(xué)的再思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（32）：12-16.

作者簡介：駱寅飛（1986—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.