基于Newton-Raphson 法的非線性方程組求解研究

郭華毅

（山西藥科職業(yè)學(xué)院，太原 030031）

數(shù)值計算中，最困難的問題之一是非線性方程組的求解。非線性方程組的求解由于沒有指定的求解公式，因此在實際操作中很難得到精確的解〔1〕。常見的求解非線性方程組的方法有梯度法、共軛方向法、拋物線逼近法、迭代法等〔2〕。在解決實際的數(shù)學(xué)問題中，要根據(jù)不同的條件靈活運用方法，不同的求解方法有著不同的優(yōu)缺點。梯度法作為求解方法中最古老的方法之一，可以任意選擇初始點，并且每次迭代的計算量小，存儲量也少，因此它的程序也較為簡短〔3〕。可以從一個隨意的甚至不好的初始點出發(fā)，開始幾步迭代后慢慢逼近局部的極小點，但它也有自己的不足之處。因為它逼近的是一個局部的極小點，缺少整體性，從整體的角度來看，這不一定是收斂速度最快的方向。其次，梯度法只用到一階導(dǎo)數(shù)的信息，不適合用于二階非線性方程組的求解〔4〕。對于共軛方向法而言，則還需要選定方向，要求滿足共軛條件和下降的條件，并且每一次都要重新并反復(fù)確定搜索方向，操作量比較大，在求解非線性方程組的過程中會消耗大量的時間〔5〕。為了彌補此類方程在實際解決非線性方程組解法上的不足，便可以用牛頓-拉弗森（Newton-Raphson）法，Newton-Raphson 法是求解非線性方程組最經(jīng)典的方法之一。Newton-Raphson 法也叫作牛頓迭代法，它可以適用于高階的非線性方程組，并且也不用像共軛方向法那樣，周而復(fù)始地搜索方向〔6〕。Newton-Raphson 法在迭代的過程中，只需要迭代幾次就可以輕松地得到非常精確的非線性方程組的解，并且通過Newton-Raphson 法還可以求方程組的重根和復(fù)根。該方法最大的特點在于將非線性問題進行線性化，簡化了求解過程。Newton-Raphson 法還可以求解一些代數(shù)方程和超越方程〔7〕。本研究通過解析Newton-Raphson 法的基本原理，并結(jié)合案例分析證明該方法在非線性方程組求解中的實際應(yīng)用。

1 Newton-Raphson 法的求解過程概述

1.1 Newt on-Raphson 法的迭代原理Newton-Raphson 法的基本思想：把一個非線性方程線性化，再用線性方程的解去逼近非線性方程的解。首先，針對一個一元非線性方程，在實現(xiàn)非線性方程的線性化過程中，可以對該非線性方程做一階泰勒展開。對于一個一元函數(shù)f（x）＝0，取x0≈x*，對f（x）在x0處做一階泰勒展開：

其中ζ 在x0和x 之間，取x≈x*，那么把x0）2看作高階無窮小量，則有

方程f（x）＝0 可以近似地表示為f（x0）＋f '（x0）（x*－x0）=0，其中f（x）=0 的根x＝x*。

對于這個線性方程，可以記其近似根為x1，那么x1的計算公式為：

做k＋1 次迭代，即得牛頓迭代公式

即方程f（x）=0 的根x*在幾何上可理解為曲線y=f（x）與x 軸交點的橫坐標(biāo)。若xk是根x*的一個近似，那么過曲線上橫坐標(biāo)為xk的點Q（xk，f（xk））作曲線y=f（x）的切線，則這條切線lk與x 軸交點的橫坐標(biāo)即為xk＋1，見圖1。

圖1 Newton-Raphson 法的幾何意義

1.2 Newton-Raphson 法對二元函數(shù)方程組的求解對于二元函數(shù)而言，也可通過泰勒公式展開。設(shè)z＝f（x，y）在點（x0，y0）的某一鄰域內(nèi)連續(xù)，且直到（n＋1）階都有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，在該鄰域上的任意一點Q（x0＋h，y0＋k），則有：

設(shè)z＝f（x，y）在點（x0，y0）的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且直到二階有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，鄰域內(nèi)任意的一點（x0＋h，y0＋k），有

方程f（x，y）＝0 可近似地表示為

即

同理設(shè)z＝g（x，y）在點（x0，y0）的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且直到二階有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，該鄰域內(nèi)任意的一點（x0＋h，y0＋k），同樣有

方程g（x，y）＝0 也可近似地表示為

即

根據(jù)f（x，y）＝0 和g（x，y）＝0，通過聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為求解非線性方程組的問題。

得到的方程組為：

從而有

于是，可以簡化方程組，

那么方程組可以改寫為：

則方程組的迭代公式可以寫為：

通過迭代公式（8），便可以求出當(dāng)k＝1，2，3，…時（xk，yk）的值，當(dāng)≤δ 時，此方程組的根為（xk，yk）。

1.3 Newton-Raphson 法對多元函數(shù)方程組的求解令fi（x1，x2，…，xn），i＝1，2，3，…，n 是n 個定義域在n維空間區(qū)域D 的n 元函數(shù)，且二次連續(xù)可微，它的值域也在D 內(nèi)。該解可表示為，可以同樣參照一元函數(shù)的求解過程，把fi在點附近的一點（x01，x02，…，x0n）進行泰勒公式展開，可得

這樣完成了通過泰勒展開公式把一個非線性方程組轉(zhuǎn)化為一個線性方程組的過程。對于此線性方程組的根x01，x02，…，x0n，就是原非線性方程組的根的近似值。此線性方程組中對于未知數(shù)x1，x2，…，xn的系數(shù)矩陣即可寫成Jacobi 矩陣

令f＝（f1，f2，…，fn）T，x＝（x1，x2，…，xn）T，x0＝（x01，x02，…，x0n）T，則Jacobi 矩陣可以寫作f（x0）＋J（x0）（x－x0）＝0，對該方程進行求解得x1＝x0－J－1（x0）f（x0）。反復(fù)進行求解，便可以得到對于多元方程組Newton-Raphson 法的迭代公式，即

2 數(shù)值分析

例1 用Newton-Raphson 法求解方程組

解：

令

該方程組的系數(shù)矩陣

即

選取初始值x（0）=（0，0）T，解方程J（x（0））△x（0）=-f（x（0）），即解方程組

其解為△x（0）=（0.8，0.88）T。解方程組J（x（0））△x（0）=-f（x（0）），按Newton-Raphson 法進行迭代計算，結(jié)果見表1。

表1 Newton-Raphson 法計算結(jié)果（k=0～5）

本研究通過分析牛頓迭代公式在一元非線性方程的求解過程，結(jié)合多元函數(shù)泰勒展開式給出了非線性方程的牛頓迭代公式，同時給出了非線性方程組的牛頓迭代公式，并通過具體的算例驗證了方法的正確性。