對于平面幾何正方形構(gòu)造輔助線問題的方法探討

鄒喜梅

【摘? 要】? 平面幾何是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的考點(diǎn)，常在正方形、三角形、圓形等特殊幾何圖形的背景下出題.利用這些圖形本身的幾何性質(zhì)，結(jié)合平面幾何的數(shù)學(xué)思想，就可以找到此類問題的解題策略.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；正方形；倍長中線法

構(gòu)造輔助線是平面幾何問題中十分常見的一種方法，在一些特殊的，比較隱晦的解題情境下，構(gòu)造輔助線則有較高的難度，很多題目往往就是靠一條輔助線就可以解決.下面就根據(jù)一些在正方形背景下的有關(guān)構(gòu)造輔助線的問題來總結(jié)歸納此類題目的方法策略.

方法1? 構(gòu)造等腰直角三角形法

正方形因?yàn)槠渌倪呴L度相等且存在四個(gè)直角的特性，有很多獨(dú)特的幾何性質(zhì).而作為三角形中較為特殊的等腰直角三角形就可以通過正方形得出，因此在解決此類正方形背景下的問題時(shí)，嘗試著去構(gòu)造等腰直角三角形是一種重要的輔助線畫法.

例1? 如圖1所示，在正方形中，點(diǎn)在對角線上（且點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連接，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn).其中，進(jìn)而證得.

探討? 如圖2，點(diǎn)在射線上（且點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連接，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，.若，則四邊形的面積為________.

解? 如圖2所示，連接，

，

是等腰直角三角形.

.

，

所以四邊形的面積為.

評析? 上述在構(gòu)造了等腰直角三角形后，利用了腰長相等和勾股定理得到了需要的條件.在實(shí)際應(yīng)用時(shí)需要注意到圖形在變換過程中從正方形的邊或者角得到的量，如果相等，則可以考慮利用此不變量構(gòu)造等腰直角三角形進(jìn)行解題，體現(xiàn)了等量的轉(zhuǎn)化思想.

方法2? 倍長中線法

倍長中線法是解決三角形中線問題的一類重要方法，下面簡單介紹其內(nèi)容：如圖3所示.在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，因此邊是的一條中線，將其延長至原來的兩倍，就可以構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的有關(guān)性質(zhì)來優(yōu)化解題過程.

例2? 如圖4，在正方形中，為邊的中點(diǎn)，分別為邊上的點(diǎn)，若求的長.

解? 如圖4所示，延長交的延長線于點(diǎn)

四邊形是正方形，

.

為邊的中點(diǎn)，

，

全等于

，

.

，

，

，

評析? 倍長中線法重要的是其思想原理：通過延長中線，尋找全等三角形.在正方形中，也可以圍繞著中點(diǎn)進(jìn)行研究，通過延長某一過中點(diǎn)的線段來構(gòu)造全等的圖形，從而將某些幾何量進(jìn)行位置上的轉(zhuǎn)化，便于求解.

方法3? 垂直平分法

垂直平分法的原理是在直角三角形的基礎(chǔ)上，通過構(gòu)造中點(diǎn)或者角平分線，使原來的直角三角形變?yōu)橐粋€(gè)與其對稱的直角三角形所合成的大三角形.這時(shí)就相當(dāng)于對原三角形進(jìn)行了一個(gè)位置上的變遷，條件也因此可以有更多的實(shí)用角度.

例3? 如圖5所示，點(diǎn)分別在正方形的邊上，和交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，，則線段的長為______.

解? 如圖5所示，在上截取，連接，

.

，

即.

，

全等于.

.

設(shè)，

在中，由勾股定理可得，代入可得.

在中，

.

評析? 垂直平分法可以構(gòu)造出更多的幾何圖形，本質(zhì)上利用的是一個(gè)條件轉(zhuǎn)移的方法，在遇到直角三角形時(shí)，可以嘗試運(yùn)用此方法.

結(jié)語

以上三種方法都是平面幾何正方形背景下的常用方法，等腰直角三角形法是充分利用了正方形的幾何特性，倍長中線法則關(guān)鍵在于其使用全等的思想，垂直平分法則是利用了“中點(diǎn)原理”.教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生靈活選擇，分析情境，在找到合適的解法思路后再著手解題.