高觀點(diǎn)視域下，淺析一道高考真題的多解探究

李增耀

【摘要】圓錐曲線(xiàn)是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)較難的內(nèi)容，每年高考都會(huì)涉及到，通常作為數(shù)學(xué)題目中最難的一部分.對(duì)于很多考生而言，圓錐曲線(xiàn)是一個(gè)困擾他們的難點(diǎn)，他們只能在第一問(wèn)中做對(duì)，而在第二問(wèn)中通常只能得到兩三分.學(xué)生和老師需要以高考真題來(lái)掌握?qǐng)A錐曲線(xiàn)的常規(guī)解題方法，以突破這一重要的復(fù)習(xí)備考內(nèi)容.本文以2023年新課標(biāo)二卷的第21題圓錐曲線(xiàn)為基礎(chǔ)，通過(guò)三個(gè)不同的審題角度，總結(jié)了五種解題方法，并深度剖析了該題目中涉及的一般圓錐曲線(xiàn)壓軸問(wèn)題的三類(lèi)解題方法.分析高考真題，通過(guò)深入解讀一道題，找到解決其他問(wèn)題的通用方法和規(guī)律，對(duì)研究具有一定意義和價(jià)值.在文末，作者通過(guò)對(duì)比分析三個(gè)角度的五種解法，研究它們的優(yōu)劣勢(shì)，深入挖掘本質(zhì)，以此激發(fā)廣大教師和學(xué)生對(duì)圓錐曲線(xiàn)大題核心方法（如非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)定理、齊次化解法和極點(diǎn)極線(xiàn)等方法）的更深理解.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線(xiàn)；非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)定理；齊次化

1? 高考原題呈現(xiàn)

2023新課標(biāo)Ⅱ卷T21：雙曲線(xiàn)C中的m為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為（-25，0），離心率為5.

（1）求C的方程.

（2）記C的左右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)點(diǎn)－4，0的直線(xiàn)與C的左右交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線(xiàn)MA1與NA2交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線(xiàn)上.

2? 多角度地多解法探究

（1）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2b2=1（a>0，b>0），由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=25，

則由e=ca=5可得a=2，b=c2－a2=4，雙曲線(xiàn)方程為x216=1.

對(duì)第（2）問(wèn)的解答，可從以下思路著手.

2.1? 思路1：非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)定理

方法1? 非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)定理之半配湊

證明? 由（1）可得A1－2，0，A22，0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)為B（－4，0）.

由已知得：直線(xiàn)MN的斜率kMN≠0，所以設(shè)直線(xiàn)MN的方程為x=my－4，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為方程為y=±2x，所以－12.

聯(lián)立x216=1，x=my－4， 得4m2－1y2－32my+48=0，得Δ=64（4m2+3）>0，y1+y2=32m4m2－1，y1y2=484m2－1，

則直線(xiàn)MA1的方程為y=y1x1+2x+2，直線(xiàn)NA2的方程為y=y2x2－2x－2，

聯(lián)立直線(xiàn)MA1與直線(xiàn)NA2的方程可得：

x+2x－2=y2x1+2y1x2－2=y2my1－2y1my2－6

=my1y2－2y2my1y2－6y1

=my1y2－2y1+y2+2y1my1y2－6y1（半配湊）

=m·484m2－1－2·32m4m2－1+2y14m2－1－6y1

=－16m4m2－1+2y14m2－1－6y1=－13，

由x+23可得x=－1，即xP=－1，所以，點(diǎn)P在定直線(xiàn)x=－1上.

方法2? 非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)定理之和積互換

證明? 由（1）可得A1－2，0，A22，0，設(shè)Mx1，y1，Nx2，y2，直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)為B（－4，0）.

由已知得：直線(xiàn)MN的斜率kMN≠0，所以設(shè)直線(xiàn)MN的方程為x=my－4，且－12.

聯(lián)立x216=1，x=my－4， 得4m2－1y2－32my+48=0，且Δ=64（4m2+3）>0，y1+y2=32m4m2－1，y1y2=484m2－1，且my1y2=32（y1+y2）（和積互換），

則，直線(xiàn)MA1的方程為y=y1x1+2x+2，直線(xiàn)NA2的方程為y=y2x2－2x－2，

聯(lián)立直線(xiàn)MA1與直線(xiàn)NA2的方程可得：

x+2x－2=y2x1+2y1x2－2=y2my1－2y1my2－6

=my1y2－2y2my1y2－6y1=32y1+y2－2y232y1+y2－6y1

=3y1+y2－4y23y1+y2－12y1=3y1－y2－9y1+3y2=－13，

由x+23可得x=－1，即xP=－1，所以，點(diǎn)P在定直線(xiàn)x=－1上.

2.2? 思路2：齊次化處理，不聯(lián)系體系

方法3? 第三定義和非平移齊次化

證明? 由（1）可得A1－2，0，A22，0，設(shè)Mx1，y1，Nx2，y2，直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)為B（－4，0）.

由kNA1kNA2=y2（x2+2）y2（x2－2）=y22x22－4=4x22－16x22－4=4—①（第三定義推廣），

設(shè)直線(xiàn)MN的方程為m（x+2）+ny=1（注意直線(xiàn)的形式），

變形曲線(xiàn)方程x216=1為［（x+2）－2］216=1（配湊斜率），

即4（（x+2）－2）2－y2－16=04（x+2）2－16（x+2）－y2=0，

齊次化處理，得4（x+2）2－16（x+2）（m（x+2）+ny）－y2=0，兩邊同除（x+2）2，得

4－16（m+nyx+2）－y2（x+2）2=0，又因?yàn)閗MA1=y1（x1+2），kNA1=y2（x2+2），

所以kMA1=y1（x1+2），kNA1=y2（x2+2）kMA1，kNA1，是方程4－16（m+nyx+2）－y2（x+2）2=0，kMA1=y1（x1+2），kNA1=y2（x2+2）的兩根，即－k2－16nk+4－16m=0k2+16nk－4+16m=0，所以kMA1kNA1=k1.k2=16m－4.又因?yàn)橹本€(xiàn)MN過(guò)B－4，0，所以，m=－12，

所以kMA1kNA1=k1.k2=－12—②

由①②得：kMA1kNA2=－3，即kMA1kNA2=ypxp+2xp－2=xp－2xp+2=－3，解之得xP=－1，所以點(diǎn)P在定直線(xiàn)x=－1上.

方法4? 第三定義和平移齊次化

證明： 由（1）可得A1－2，0，A22，0，設(shè)Mx1，y1，Nx2，y2，直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)為B（－4，0）.

由kMA1kMA2=y1（x1+2）y1（x1－2）=y12x12－4=4x12－16x12－4=4—①（第三定義推廣），

將坐標(biāo)系向右平移兩個(gè)單位，得到新的雙曲線(xiàn)為：（x+2）216=1，

設(shè)直線(xiàn)MN在新坐標(biāo)系中得方程為：mx+ny=1，過(guò)的定點(diǎn)為B′－6，0，（注意：平移后直線(xiàn)的形式和定點(diǎn)坐標(biāo)變化），變形雙曲線(xiàn)為4（x+2）2－y2－16=04x2+16x－y2=0，齊次化處理，得4x2+16x（mx+ny）－y2=0，兩邊同除x2，得4+16m+nyx2=0，又因?yàn)閗MA2=y1x1，kNA2=y2x2，所以kMA2，kNA2，是方程4+16m+nyx2=0的兩根，即k2－16nk－4－16m=0，所以kMA2kNA2=k1.k2=－16m－4.又因?yàn)橹本€(xiàn)MN過(guò)B′－6，0，所以m=－16，所以kMA2kNA2=k1.k2=－43—②，

由①②得：kMA1kNA2=－3，即kMA1kNA2=ypxp+2xp－2=xp－2xp+2=－3，解之得xP=－1，故點(diǎn)P在定直線(xiàn)x=－1上運(yùn)動(dòng).

2.3? 思路3? 極點(diǎn)極線(xiàn)秒解

方法5? 極點(diǎn)極線(xiàn)秒解方法

在凹四邊形MA1NA2中，直線(xiàn)過(guò)得定點(diǎn)B′－6，0對(duì)應(yīng)得極線(xiàn)即為點(diǎn)P的軌跡，將B′－6，0的坐標(biāo)帶入得：－4x16=1x=－1.

3? 結(jié)語(yǔ)

文中得思路1得方法是對(duì)于圓錐曲線(xiàn)該類(lèi)型問(wèn)題的常規(guī)方法.通過(guò)本例可知：對(duì)于圓錐曲線(xiàn)中得非對(duì)稱(chēng)式子，其解法方法1般包括：半配湊、和積互換等，如：本例中涉及到非對(duì)稱(chēng)式子x+2x－2=y2x1+2y1x2－2=my1y2－2y2my1y2－6y1的處理，方法一中采用半配湊.即將式子中的分子中的非對(duì)稱(chēng)式子my1y2－2y2my1y2配湊為－2y1+y2+2y1，即得到my1y2－2y2my1y2－6y1=my1y2－2y1+y2+2y1my1y2－6y1，再代入韋達(dá)定理求解.

方法2中采用和積互換.即通過(guò)韋達(dá)定理得到兩根和與兩根積的關(guān)系my1y2=32y1+y2，將非對(duì)稱(chēng)式子中的my1y2替換為32（y1+y2），進(jìn)而轉(zhuǎn)換為對(duì)稱(chēng)式，代入韋達(dá)定理求解.

思路2則更多側(cè)重于題目中涉及的斜率關(guān)系，結(jié)合圓錐曲線(xiàn)第三定義的性質(zhì)，以?xún)芍本€(xiàn)的斜率之積為定值做為解題的切入點(diǎn)，最后采用齊次化的方法求解.方法3中采用非平移齊次化的方法進(jìn)行求解.該方法的核心是：

第1步構(gòu)造出斜率的形式.該過(guò)程重在對(duì)圓錐曲線(xiàn)的方程進(jìn)行變形，同時(shí)巧設(shè)直線(xiàn)方程.如本例中將曲線(xiàn)方程x216=1變形為（x+2）－2216=1即得到：4（（x+2）－2）2－y2－16=04（x+2）2－16（x+2）－y2=0，并設(shè)直線(xiàn)MN的方程為m（x+2）+ny=1.

第2步則是進(jìn)行齊次化：如本例的方法3中，兩邊同除（x+2）2，得4－16（m+nyx+2）－y2（x+2）2=0，進(jìn)而進(jìn)行求解.

在第4種方法中，作者使用了平移齊次化的方法來(lái)解答問(wèn)題.該方法與不使用平移齊次化的方法不同，它在進(jìn)行齊次化之前會(huì)對(duì)坐標(biāo)軸或圖象進(jìn)行平移，目的是使某個(gè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)平移后，其坐標(biāo)變?yōu)樽鴺?biāo)原點(diǎn).考生在解題過(guò)程中容易出錯(cuò)的地方是直線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn)會(huì)對(duì)應(yīng)發(fā)生變化，這樣就避免了方法3中相對(duì)復(fù)雜的構(gòu)造斜率的過(guò)程.

筆者在文中的第3個(gè)思路中，著重運(yùn)用了有關(guān)極點(diǎn)極線(xiàn)的高級(jí)知識(shí)，以便快速地得出結(jié)果.這正是高考成績(jī)的核心所在.再結(jié)合題目要求，按照直曲聯(lián)立等常規(guī)來(lái)書(shū)寫(xiě)過(guò)程.

總之，筆者經(jīng)過(guò)對(duì)2023年新課標(biāo)二卷圓錐曲線(xiàn)壓軸題的多種解法深入分析，得出普遍適用、高效的解題方法，專(zhuān)門(mén)用于解決類(lèi)似的圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題.這些非對(duì)稱(chēng)處理思路在處理過(guò)程中避免了繁瑣的計(jì)算步驟.齊次化地解法是指在本問(wèn)思路2中采用的解決方法，也稱(chēng)為不聯(lián)立解法.通過(guò)簡(jiǎn)化考生長(zhǎng)期以來(lái)望而生畏的直曲直線(xiàn)與曲線(xiàn)的聯(lián)立過(guò)程，可顯著降低計(jì)算量，進(jìn)而提高解題效率.思路3利用射影幾何中的極點(diǎn)極線(xiàn)概念，能夠快速得出結(jié)果，有助于考生快速得分，并與常規(guī)解題過(guò)程相結(jié)合.總的來(lái)說(shuō)，我希望作者的筆者希望本研究能夠?yàn)槲磥?lái)遇到這類(lèi)問(wèn)題的師生們提供一些參考.