初中數(shù)學(xué)解題中待定系數(shù)法的應(yīng)用策略

沈超雄

(福建省莆田市秀嶼區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué), 福建 莆田 351100)

待定系數(shù)法作為初中數(shù)學(xué)中重要的解題方法,是一種“執(zhí)果索因”的思維方式,是判斷所求結(jié)果的結(jié)構(gòu)形式,根據(jù)題目條件列出待定系數(shù)的等式,得出待定系數(shù)的值.待定系數(shù)法的應(yīng)用比較廣泛,在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中,教師圍繞待定系數(shù)法安排專(zhuān)題訓(xùn)練,指導(dǎo)學(xué)生用于多項(xiàng)式除法、因式分解、解方程以及恒等式的證明等多方面的試題,幫助其學(xué)會(huì)借助待定系數(shù)法有效解答初中數(shù)學(xué)問(wèn)題,不斷提高他們的解題能力,為將來(lái)的中考做好充足準(zhǔn)備[1].

1 用待定系數(shù)法解多項(xiàng)式除法問(wèn)題

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,應(yīng)用待定系數(shù)法能解答多項(xiàng)式除法類(lèi)試題,包括多項(xiàng)式的余式、求商式和整除等[2].多項(xiàng)式除法屬于除法的一種,在運(yùn)算過(guò)程中還要用到減法與乘法,是代數(shù)試題中一類(lèi)比較常用的算法,通常是用一個(gè)同次或者低次的多項(xiàng)式去除另一個(gè)多項(xiàng)式.教師可指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用待定系數(shù)法解答多項(xiàng)式除法問(wèn)題,讓他們將一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的除法問(wèn)題分解成小問(wèn)題,順利解題[3].

例1 求(3x3-2x2+1)÷(3x2-3x+1)的商式和余式.

分析此題中被除式的最高次項(xiàng)是3x3,除式的最高次項(xiàng)是3x2,所以商式的最高次數(shù)是1,且系數(shù)是1.因此,可以將商式設(shè)為x+a,余式設(shè)為px+q,由此能夠得出關(guān)于x的恒等式3x3-2x2+1=(x+a)(3x2-3x+1)+px+q,對(duì)于一切實(shí)數(shù)x均成立,所以,x為0、1、-1依然成立,從而得出關(guān)于a、p、q的方程組.

詳解設(shè)所求的商式是x+a,余式是px+q,由此得到3x3-2x2+1=(x+a)(3x2-3x+1)+px+q,

令x=0,則a+q=1;令x=1,則(a+1)+p+q=2;

令x=-1,則7(a-1)-p+q=-4;

例2 已知x4+4x3+6px2+4qx+r可以被被x3+3x2+9x+3整除,那么p、q、r的值分別是什么?

分析在解此題時(shí),需要先把商式假設(shè)出來(lái),根據(jù)x4÷x3=x可以把商式假設(shè)成x+m,故p、q、r、m都是待定系數(shù),結(jié)合被除式恒等于商式乘以除式,以及對(duì)應(yīng)系數(shù)的對(duì)比,能求得這幾個(gè)待定系數(shù)的值.

詳解設(shè)所得商式是x+m,所以x4+4x3+6px2+4qx+r=(x+m)(x3+3x2+9x+3)=x4+(3+m)x3+(9+3m)x2+(3+9m)x+3m,

2 利用待定系數(shù)法解因式分解問(wèn)題

對(duì)初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)來(lái)說(shuō),當(dāng)因式分解中遇到一些較為復(fù)雜的二元二次多項(xiàng)式時(shí),應(yīng)把原多項(xiàng)式中的一部分進(jìn)行因式分解,且轉(zhuǎn)變成兩個(gè)一次因式相乘的形式,就可以把整個(gè)解題過(guò)程處理的簡(jiǎn)單化.對(duì)此,初中數(shù)學(xué)教師在因式分解類(lèi)試題教學(xué)中,由于二元二次多項(xiàng)式比較復(fù)雜,當(dāng)要求學(xué)生進(jìn)行因式分解時(shí),可借助待定系數(shù)法將原多項(xiàng)式的一部分進(jìn)行因式分解,由兩個(gè)一次因式乘積代替,使其在分解中確定因式,將解題過(guò)程變得更加簡(jiǎn)捷.

例3 已知2x2+xy-y2-kx+8y-15可以分解為兩個(gè)一次因式的乘積,那么這個(gè)有理多項(xiàng)式是什么?

分析在解題時(shí),可以將前三項(xiàng)進(jìn)行分解,通過(guò)兩個(gè)一次因式相乘的方式來(lái)表示,再對(duì)原式進(jìn)行變形,就能夠采取對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)比較的方式求得結(jié)果.

詳解根據(jù)十字相乘法可以得到2x2+xy-y2=(2x-y)(x+y),設(shè)2x2+xy-y2-kx+8y-15=(2x-y+m)(x+y+n)=2x2+xy-y2+(2n+m)x+(m-n)y+mn.

例4 已知等式p2+q2=7pq,且滿足該等式的正實(shí)數(shù)p、q,能夠讓有關(guān)x、y的多項(xiàng)式xy+px+qy+1分解為兩個(gè)一次因式之積,請(qǐng)問(wèn)p、q的值分別是什么?

分析根據(jù)條件p2+q2=7pq,且p、q是正實(shí)數(shù),利用配方法分析p+q和pq的關(guān)系,因多項(xiàng)式xy+px+qy+1可以分解成兩個(gè)一次因式之積,便可借助待定系數(shù)法把pq的值給求出來(lái),并得到p+q的值,順利確定p、q的值.

3 利用待定系數(shù)法解高次方程問(wèn)題

方程,作為學(xué)生從小學(xué)時(shí)期就接觸和學(xué)習(xí)的一類(lèi)知識(shí),在整個(gè)數(shù)學(xué)課程體系中占據(jù)著極為關(guān)鍵的地位,既是一類(lèi)特殊的理論知識(shí),也是學(xué)生進(jìn)行解題的一種常用工具,重要性不言而喻.不過(guò)對(duì)于初中學(xué)生而言,還沒(méi)有學(xué)習(xí)到有關(guān)高次方程的解題方法,當(dāng)遇到此類(lèi)特殊的方程類(lèi)試題時(shí),教師可以指引他們采用待定系數(shù)法,找到這些一元高次方程中根存在的某種關(guān)系,從而將高次方程轉(zhuǎn)變?yōu)榈痛畏匠?使其能夠借助待定系數(shù)法的優(yōu)勢(shì)順暢解這類(lèi)方程.

例5 已知方程2x4-5x3-24x2+53x-20=0的兩個(gè)根之積為2,那么該方程的解是什么?

分析通過(guò)分析方程根和系數(shù)之間的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)兩根之積是2的一元二次方程,假如二次項(xiàng)系數(shù)是1,則常數(shù)項(xiàng)為2,故應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)能夠搭配假設(shè)法完成求解.

詳解設(shè)2x4-5x3-24x2+53x-20=(x2+ax+2)(2x2+bx-10)=2x4+(2a+b)x3+(ab-6)x2+(-10a+2b)x-20,

例6 已知方程x4+(x-4)4=626,求該方程的實(shí)數(shù)解.

分析解答本道題目時(shí),可以利用待定系數(shù)法,推導(dǎo)出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,然后繼續(xù)利用待定系數(shù)法進(jìn)行因式分解,最終完成解題.

詳解因?yàn)?26=54+14,能夠看出5和-1是該方程的兩個(gè)根,令x4+(x-4)4-626=2(x+1)(x-5)(x2+px+q),當(dāng)x=0時(shí),q=37,當(dāng)x=4時(shí),p=-4,所以原方程可以變?yōu)?(x+1)(x-5)(x2-4x+37)=0,又因?yàn)?x2-4x+37)=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根,所以原方程的解是x1=-1,x2=5.

4 應(yīng)用待定系數(shù)法解代數(shù)式恒等變形問(wèn)題

代數(shù)式恒等變形屬于解析式變換的一種,就是將一個(gè)代數(shù)式轉(zhuǎn)變成另外一個(gè)同它恒等的代數(shù)式.在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中,會(huì)經(jīng)常安排幾道有關(guān)代數(shù)式恒等變形類(lèi)的試題,教師可提示學(xué)生應(yīng)用待定系數(shù)法,按照實(shí)際要求對(duì)題目中的代數(shù)式進(jìn)行恒等變形處理,讓他們先把一個(gè)符合條件且含有待定系數(shù)的恒等式給假設(shè)出來(lái),再借助恒等式的性質(zhì)求出各個(gè)待定系數(shù)的具體值,也可以將待定系數(shù)消除掉,由此完成解題,這樣解題過(guò)程顯得十分清楚和簡(jiǎn)潔.

例7 已知有一個(gè)多項(xiàng)式xy(3x+2)(5y+2),請(qǐng)證明這個(gè)多項(xiàng)式是含有整數(shù)系數(shù)的兩個(gè)多項(xiàng)式的平方差.

分析從本質(zhì)看,本題需要把題設(shè)中的多項(xiàng)式通過(guò)兩個(gè)整式的平方差形式表示出來(lái),但是這兩個(gè)整式屬于未知條件,所以可設(shè)為A和B,隨后借助待定系數(shù)法進(jìn)行證明.

詳解設(shè)xy(3x+2)(5y+2)=A2-B2,A、B均代表整式,則(3xy+2y)(5xy+2x)=(A+B)(A-B),令A(yù)+B=3xy+2y,A-B=5xy+2x,解之得A=4xy+x+y,B=-xy-x+y,所以說(shuō)xy(3x+2)(5y+2)=(4xy+x+y)2-(-xy-x+y)2.

例8 已知多項(xiàng)式x4-6x3+13x2-12x+4,請(qǐng)證明該多項(xiàng)式能夠通過(guò)完全平方式來(lái)表示.

分析這道題目中出現(xiàn)的是四次多項(xiàng)式,其應(yīng)該是二次三項(xiàng)式的平方,所以可以假設(shè)原代數(shù)式恒等于(x2+px+q)2,該式子中的p與q便是待定系數(shù).

詳解設(shè)多項(xiàng)式x4-6x3+13x2-12x+4=(x2+px+q)2,化簡(jiǎn)變形后為x4+2px3+(p2+2q)x2+2pqx+q2,通過(guò)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)的比較可以得到2p=-6,p2+2q=13,2pq=-12,q2=4,解之得p=-3,q=2,所以多項(xiàng)式x4-6x3+13x2-12x+4可以轉(zhuǎn)變?yōu)?x2-3x+2)2.