層間彎剪偏心結(jié)構(gòu)精準(zhǔn)模型快速建立方法及多維減震應(yīng)用

何浩祥，孫澔鼎，程 揚(yáng)

（北京工業(yè)大學(xué)工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)試驗(yàn)室，北京 100124）

引言

隨著地震工程學(xué)的深化和拓展，結(jié)構(gòu)抗震理論經(jīng)歷了靜力法、反應(yīng)譜法、靜力彈塑性分析法及非線性時(shí)程分析方法等發(fā)展階段，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型也逐步從單自由度結(jié)構(gòu)發(fā)展到等效多自由度結(jié)構(gòu)和精細(xì)化復(fù)雜體系等層次［1-4］。在此發(fā)展過程中，有限元建模和分析技術(shù)發(fā)揮了關(guān)鍵的引導(dǎo)和推動(dòng)作用。雖然利用有限元技術(shù)可以較真實(shí)地模擬結(jié)構(gòu)在地震作用等激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)，但也存在建模過程繁瑣、計(jì)算效率偏低及通用性差等問題。更重要的是，復(fù)雜有限元模型的剛度和質(zhì)量等物理參數(shù)通常是龐雜且難以直接提取的，這導(dǎo)致其在結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制和智能優(yōu)化等研究方向應(yīng)用時(shí)存在公開性和靈活性較差且計(jì)算效率低等局限。為了避免出現(xiàn)上述問題，在相關(guān)研究中通常只選取簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)體系作為研究對(duì)象，導(dǎo)致相關(guān)成果難以在真實(shí)復(fù)雜結(jié)構(gòu)中有效應(yīng)用，限制了結(jié)構(gòu)抗振減振和動(dòng)力優(yōu)化的發(fā)展。因此，探究如何建立與真實(shí)結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能近似的簡(jiǎn)化力學(xué)模型具有重要的理論和工程意義。

按等效程度來劃分，傳統(tǒng)的簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型包括單自由度模型、多質(zhì)點(diǎn)模型、層間模型及桿系模型等不同層次。此外，考慮到桿件或樓層的受力性能和特征，簡(jiǎn)化動(dòng)力模型主要分為層間剪切模型、層間彎剪模型及彎剪桿系模型等類型［5-6］。彎剪桿系模型能夠更準(zhǔn)確地模擬結(jié)構(gòu)力學(xué)性能，其已經(jīng)成為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和精細(xì)動(dòng)力分析的首選。盡管如此，由于自由度數(shù)少及分析效率更高等特點(diǎn)，層間模型在結(jié)構(gòu)彈性動(dòng)力分析領(lǐng)域仍然具有廣泛的科研需求和應(yīng)用場(chǎng)景。層間剪切模型和層間彎剪模型的區(qū)別在于前者忽略了柱子的軸向變形，而后者則考慮了柱子的軸向變形和結(jié)構(gòu)整體變形的彎曲效應(yīng)，因而更能反映真實(shí)結(jié)構(gòu)的受力性能。目前，層間剪切模型的建立方法比較成熟，因其剛度矩陣形式簡(jiǎn)單，在理論分析中應(yīng)用廣泛。然而，層間剪切模型并不能準(zhǔn)確反映真實(shí)結(jié)構(gòu)在地震作用下的動(dòng)力響應(yīng)，工程應(yīng)用可行性極低，而層間彎剪模型則更適合在實(shí)際結(jié)構(gòu)的模擬和分析中應(yīng)用。因此，研究快速建立精準(zhǔn)層間彎剪模型的方法是實(shí)現(xiàn)較精確地模擬真實(shí)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的必然途徑。

目前關(guān)于彎剪型層間模型建立方法的研究較少，主要包括Aoyama［7］提出的層間彎剪模型建立法，孫煥純等［8］提出的等效剛度參數(shù)識(shí)別法及Tse等［9］提出的簡(jiǎn)化剛度矩陣建立法等。利用等效剛度參數(shù)識(shí)別法可以求出滿秩剛度矩陣，能夠較充分地體現(xiàn)結(jié)構(gòu)整體變形的彎曲效應(yīng)，計(jì)算精度高。然而，對(duì)于樓層數(shù)較多的高層結(jié)構(gòu)，該方法所需的荷載組合數(shù)量過多，且求解過程繁瑣，需要進(jìn)行大量矩陣分析方能最終求解出滿秩剛度矩陣。在諸如復(fù)雜高層結(jié)構(gòu)的多維地震分析、主動(dòng)減振控制、施工過程模擬及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)等研究方向，上述傳統(tǒng)彎剪型層間模型建立方法的計(jì)算效率和靈活性偏低，有必要對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化。

此外，實(shí)際的建筑結(jié)構(gòu)是三維不完全對(duì)稱的空間體系，地震動(dòng)也是復(fù)雜的多維非平穩(wěn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，因而地震下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)也呈現(xiàn)多維效果，可能發(fā)生平動(dòng)和扭轉(zhuǎn)耦合破壞。為了更真實(shí)地模擬復(fù)雜偏心結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，有必要建立三維偏心層間彎剪模型。目前關(guān)于多維剪切偏心結(jié)構(gòu)的建模研究［10-11］已經(jīng)趨于完善，但剪切模型的力學(xué)特征與實(shí)際模型的相差較大。孫煥純等［8］提出的簡(jiǎn)化彎剪模型建立方法也只考慮了平面結(jié)構(gòu)，未考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng)。以上幾種偏心結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型都有其相應(yīng)的缺陷，提出針對(duì)偏心結(jié)構(gòu)的三維彎剪簡(jiǎn)化模型建立方法是有必要的。

有鑒于此，基于結(jié)構(gòu)力學(xué)動(dòng)力計(jì)算中的柔度法，本文提出一種快速建立精準(zhǔn)彎剪模型的方法。該方法以考慮彎剪效應(yīng)的層間體系為分析對(duì)象，通過對(duì)每個(gè)樓層分別施加單位力，獲取結(jié)構(gòu)整體位移，最終反推出結(jié)構(gòu)剛度矩陣，該矩陣為滿秩矩陣，且所需荷載組合數(shù)即為樓層數(shù)，相對(duì)于等效剛度識(shí)別法其數(shù)量大大減少。對(duì)于處于不同施工階段的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化模型，使用本文方法只需在原有荷載組合的基礎(chǔ)上增加與所新建樓層數(shù)量等量的荷載組合即可求出剛度矩陣，并不需要重新建立荷載組合。此外，該方法也可與智能算法和控制算法密切結(jié)合起來，有助于結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制在工程實(shí)際中的應(yīng)用。

在此基礎(chǔ)上，本文針對(duì)多維結(jié)構(gòu)的偏心效應(yīng)，充分考慮平動(dòng)及扭轉(zhuǎn)的耦合運(yùn)動(dòng)及減震控制需求，將多自由度建筑整體簡(jiǎn)化為串聯(lián)單質(zhì)點(diǎn)多維體系，建立了三維彎剪偏心層間模型。通過精準(zhǔn)計(jì)算結(jié)構(gòu)整體偏心距，明確了調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD）和主動(dòng)質(zhì)量阻尼器（Active Mass Damper，AMD）的優(yōu)化布置位置，確保簡(jiǎn)化模型能夠逼近有限元模型，最終實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)整體的響應(yīng)求解和最佳調(diào)諧減震控制。

1 基于柔度法的彎剪模型建立方法

普通框架結(jié)構(gòu)的平面形式及受力模式如圖1（a）所示，可將其簡(jiǎn)化為如圖1（b）所示的層模型體系。

為建立該框架結(jié)構(gòu)的層間彎剪模型，可采用孫煥純等［8］提出的針對(duì)彎剪模型的剛度參數(shù)計(jì)算方法，該等效剛度參數(shù)識(shí)別法是反演問題中常用的方法，可計(jì)算出該框架結(jié)構(gòu)的串聯(lián)多自由度簡(jiǎn)化體系的總剛度矩陣。通過等效剛度參數(shù)識(shí)別法求得的剛度矩陣具有如下形式：

式中K為該框架結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣；kij為剛度系數(shù)；x為剛度系數(shù)向量，可表示為：x=｛x1，x2，x3，…，xn（n+1）/2）｝T。上述剛度陣是滿秩矩陣且對(duì)稱的，共有M=n（n+1）/2 個(gè)元素，其中n為自由度個(gè)數(shù)，在有限元模型中按靜力加載模式至少獨(dú)立施加m=（n+1）/2 次荷載組，為了使剛度矩陣具有足夠精度，需要采用最小二乘法識(shí)別剛度系數(shù)，取m≥（1.5～2）（n+1）/2 的整數(shù)。

荷載組和結(jié)構(gòu)位移也分別表示為如下向量形式：F=［F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，…，F(xiàn)m］；U=［U1，U2，U3，…，Um］。由于F=KU，將上式改寫為：Ff=Ufx，其中Uf是U的擴(kuò)展矩陣，維數(shù)為nm×M，F(xiàn)f是F的擴(kuò)展矩陣，維數(shù)為nm×1。令A(yù)=UfTUf，P=UfTFf，則有：

求解上式則可得到剛度系數(shù)kij，將剛度系數(shù)組合即可得到n階滿秩且對(duì)角線對(duì)稱的矩陣K。其中，A為M×M階對(duì)稱方陣，P為M×1 階列陣。通過此方法可以得到相對(duì)準(zhǔn)確的剛度矩陣K，但所需荷載組合數(shù)過多，計(jì)算流程復(fù)雜。

為了提高計(jì)算效率，針對(duì)層間彎剪模型，本文提出一種基于柔度法的等效剛度識(shí)別方法。柔度法的計(jì)算原理是同時(shí)考慮平衡條件、位移（變形）條件、物理關(guān)系三個(gè)方面的條件，借助等效結(jié)構(gòu)的受力與變形與原結(jié)構(gòu)完全相同的需求和條件，利用疊加原理建立方程進(jìn)行求解。柔度矩陣中的各柔度系數(shù)δij代表單位廣義力在基本結(jié)構(gòu)上引起的廣義位移，而結(jié)構(gòu)的位移與結(jié)構(gòu)的剛度成反比，因此將結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)δij求逆可得到結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)kij。

基于上述原理，建立如圖1 所示框架結(jié)構(gòu)的平衡方程為：

式中δs表示結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，F(xiàn)s是由圖1 中的單位水平力組成的列向量。Us是結(jié)構(gòu)各層水平位移分量各自的平均值組成的向量，可表示為：Us=［Us1Us2…Usn］。Usk=［Usk1Usk2…Uskn］T為在第k層施加一個(gè)單位水平力時(shí)結(jié)構(gòu)剛性隔板的層位移矩陣；Uski為第i層的平動(dòng)位移；n為結(jié)構(gòu)層數(shù)。根據(jù)式（3）列出n組求δs中柔度系數(shù)的方程如下：

式（4）中的下標(biāo)中，第一個(gè)下標(biāo)代表框架原結(jié)構(gòu)，第二個(gè)下標(biāo)代表結(jié)構(gòu)分量序號(hào)，第三個(gè)下標(biāo)代表結(jié)構(gòu)層數(shù)。通過式（4）求出柔度矩陣δs，最終得到基于柔度法的彎剪模型剛度矩陣為：

圖2 為基于柔度法求解彎剪模型剛度矩陣的具體流程。與等效剛度參數(shù)識(shí)別法相比，該方法可以大量減少獨(dú)立加載的荷載組數(shù)，在保證精度的前提下，顯著縮短求解簡(jiǎn)化力學(xué)模型剛度矩陣的時(shí)間。

圖2 基于柔度法的彎剪模型建立方法流程圖Fig.2 Flow chart of bending-shear model building based on flexibility method

2 多維偏心結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程及其彎剪模型建立方法

基于柔度法建立等效剛度及層間彎剪模型之后，尚需驗(yàn)證其精準(zhǔn)性和工程可行性，并嘗試將其應(yīng)用到實(shí)際工程的分析中。為了滿足使用功能需求，絕大部分真實(shí)結(jié)構(gòu)通常是三維偏心體系［12-15］，其質(zhì)心和形心是不重合的。此外，由于地震動(dòng)是一種復(fù)雜的多維隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，在地震下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)呈現(xiàn)多維耦合效應(yīng)［16-18］。為得到接近真實(shí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力模型，需要建立結(jié)構(gòu)多維偏心動(dòng)力方程。目前關(guān)于多維剪切偏心結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程及其簡(jiǎn)化模型的建立方法已趨于完善，但剪切型模型與結(jié)構(gòu)真實(shí)力學(xué)性能差別明顯，因此亟需研究與探索多維彎剪偏心結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程及其簡(jiǎn)化模型的建立方法。下文首先提出多維彎剪偏心結(jié)構(gòu)平扭耦聯(lián)動(dòng)力方程及計(jì)算模型的建立方法，之后驗(yàn)證基于柔度法的彎剪簡(jiǎn)化模型建立方法的有效性及模型的準(zhǔn)確性。

為了分析并考慮結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)［19-22］，首先將建筑結(jié)構(gòu)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)定于其質(zhì)心Cm上，各層剛心Cs的兩坐標(biāo)值ex和ey分別是結(jié)構(gòu)沿x和y方向的偏心距，即剛心坐標(biāo)為（ex，ey）。質(zhì)心Cm是質(zhì)量中心的簡(jiǎn)稱，通常在有限元軟件中可以直接提取各樓層的質(zhì)心。結(jié)構(gòu)形心是結(jié)構(gòu)各樓層截面的幾何中心，對(duì)于各樓層構(gòu)件密度均勻的結(jié)構(gòu)，質(zhì)心與形心重合。將各樓層截面分成若干個(gè)單元，認(rèn)為每個(gè)單元中的質(zhì)量是均勻分布的，結(jié)構(gòu)各樓層截面質(zhì)心求解公式為：

式中（xm，ym）為區(qū)域D的質(zhì)心坐標(biāo)；mi為將樓層截面D分割成若干個(gè)單元后第i個(gè)面積單元的質(zhì)量，（xi，yi）為第i個(gè)面積單元的形心坐標(biāo)。

剛心Cs為在平面上任意布置的各抗側(cè)力單元的剛度中心。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范通常參考剛心位置來定義多層建筑的設(shè)計(jì)偏心。結(jié)構(gòu)樓層剛度中心定義為：當(dāng)結(jié)構(gòu)只在第i層的剛度中心作用水平力時(shí)，結(jié)構(gòu)第i層只有平動(dòng)但不發(fā)生扭轉(zhuǎn)，而其他層可以有扭轉(zhuǎn)和平動(dòng)。樓層剛度中心既反映了本層構(gòu)件的剛度分布，又體現(xiàn)了整體結(jié)構(gòu)中其他各層構(gòu)件的剛度分布情況。部分有限元軟件并不能直接輸出結(jié)構(gòu)各層的剛度中心，此時(shí)需要對(duì)每一層定義三個(gè)荷載工況，并分別在質(zhì)心Cm（或任意點(diǎn)）處施加以下荷載再進(jìn)行計(jì)算求解。相關(guān)工況如圖3 所示，具體包括：（1）施加x方向的單位力，產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)Rzx；（2）施加全局y方向的單位力，產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)Rzy；（3）施加繞z軸的單位力矩，產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)Rzz。

圖3 求解剛心荷載工況圖Fig.3 Load cases used to determine the center of rigidity

剛心相對(duì)于質(zhì)心Cm（或任意點(diǎn)）的坐標(biāo)值（ex，ey）的計(jì)算公式如下：

通過上述方法可求得結(jié)構(gòu)有限元模型中的各層剛心，但對(duì)于高層建筑結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)量巨大，其實(shí)用性和計(jì)算效率偏低。為快速精準(zhǔn)地求得不同形式多高層結(jié)構(gòu)的剛度中心，本文提出如下迭代計(jì)算方法。

由于普通高層結(jié)構(gòu)沿高度方向樓層的質(zhì)量與剛度變化是均勻的，即各樓層的剛度中心在一條鉛直線上。要求出高層結(jié)構(gòu)各層的剛度中心，只取其一層即可。在該層上沿任一方向施加水平力F1，算出樓層整體扭轉(zhuǎn)角θ1，然后將F1平行移動(dòng)距離d，再算出扭轉(zhuǎn)角θ2，此時(shí)用二分法逐次平移力F1，逐次迭代直到求出的扭轉(zhuǎn)角為零為止。這時(shí)力F1必通過剛心Cs；在垂直于F1的方向任加一力F2，用上述方法求得F2的作用線，F(xiàn)1與F2兩作用線的交點(diǎn)即為剛心Cs的位置（ex，ey）。然后需計(jì)算出剛心的主軸方向。在通過剛心Cs的任意水平方向加力F，計(jì)算結(jié)構(gòu)在該方向及其水平正交方向的水平位移；之后將力F沿水平面旋轉(zhuǎn)90°，同樣獲取結(jié)構(gòu)兩向水平位移。隨后，采用二分法逐次改變過剛心Cs的力F的方向，直到垂直于力F方向的水平位移為零時(shí)為止。此時(shí)力F的方向及其過剛心Cs的垂直方向即為剛心主軸。

通過上述方法確定結(jié)構(gòu)的質(zhì)心Cm與剛心Cs坐標(biāo)后，建立結(jié)構(gòu)動(dòng)力平衡方程，對(duì)總體剛度矩陣和總體質(zhì)量矩陣做凝聚處理，僅保留頂部的三個(gè)自由度u，v，θ。結(jié)構(gòu)的剛度矩陣K與質(zhì)量矩陣M可分別表示為：

式中Kx，Ky和K??為通過柔度法求得的結(jié)構(gòu)的x，y向側(cè)向剛度和扭轉(zhuǎn)剛度，且皆為彎剪結(jié)構(gòu)的滿秩剛度矩陣，Kxy和Kyx的雙下標(biāo)中的第一個(gè)下標(biāo)表示此剛度為該下標(biāo)方向的剛度，第二個(gè)下標(biāo)表示通過柔度法求第一下標(biāo)方向剛度時(shí)需要向剛性樓板沿第二下標(biāo)方 向施加 單位力和My分別為凝聚后的結(jié)構(gòu)在x和y方向的質(zhì)量為凝聚后的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

x向的結(jié)構(gòu)側(cè)向剛度Kx可表示為：

y向結(jié)構(gòu)側(cè)向剛度Ky與扭轉(zhuǎn)剛度K??的計(jì)算可參考式（10）。

結(jié)構(gòu)阻尼矩陣C可采用瑞利正交阻尼假設(shè)，其計(jì)算方法為：

本文采用頻域法［23］對(duì)地震波平動(dòng)分量進(jìn)行Fourier 變換，通過數(shù)值計(jì)算得到轉(zhuǎn)動(dòng)分量。

地震波運(yùn)動(dòng)分量的傳播方式如圖4 所示。這里將介質(zhì)理想化，即假定其為均勻彈性的，當(dāng)入射波為SH 波時(shí)，根據(jù)波動(dòng)理論可得地震動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)分量為：

圖4 地面地震動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)模型坐標(biāo)體系Fig.4 Coordinate system of ground motion rotation model

由實(shí)際地震臺(tái)記錄合成扭轉(zhuǎn)分量的步驟如下：

（1）利用式u=Tu'將地震的三分量平動(dòng)分解為平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)及和出平面運(yùn)動(dòng)其中為地震臺(tái)實(shí)際記錄地震的三分量運(yùn)動(dòng)，u={u1u2u3}T為出平面運(yùn)動(dòng)和平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，T為坐標(biāo)變換矩陣假定為地震臺(tái)所記錄到的震中方向和水平分量方向之間的夾角；

（4） 將φ（2ω），φ（3ω）進(jìn)行逆Fourier 變換，取其實(shí)部，即可得到地震波豎向扭轉(zhuǎn)分量加速度的時(shí)程曲線。

具體的多維偏心結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程及其彎剪模型建立方法如圖5 所示。通過該方法可快速建立多維偏心結(jié)構(gòu)的彎剪型簡(jiǎn)化模型，并得到結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程，計(jì)算速度快，結(jié)構(gòu)精度高。

圖5 多維偏心結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程及其彎剪模型建立方法流程圖Fig.5 Flow chart of dynamic equation and bending-shear model of multi-dimensional eccentric structure

3 算例分析

為了驗(yàn)證三維彎剪偏心模型的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、剛心、質(zhì)心及偏心距的計(jì)算或識(shí)別方法的精度，檢驗(yàn)多維地震作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，并探討通過識(shí)別偏心位置而合理化布置TMD，AMD 對(duì)結(jié)構(gòu)減震效果的影響［24-27］，本文以某5 層非對(duì)稱框架結(jié)構(gòu)為例，將原結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為三維層間彎剪偏心模型，并通過柔度法和迭代法分別識(shí)別結(jié)構(gòu)剛度矩陣與剛度中心，進(jìn)而求得偏心距。在此基礎(chǔ)上，以偏心距識(shí)別結(jié)果為依據(jù)合理布置TMD 和AMD等調(diào)諧減震裝置，比較各種減震結(jié)構(gòu)的減震效果。

3.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)信息

該算例結(jié)構(gòu)為一小型實(shí)驗(yàn)樓，基本設(shè)計(jì)信息如圖6 所示。首層作為結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)室大廳，層高為5 m，其余層作為辦公室及器材儲(chǔ)存室，層高為4 m。框架結(jié)構(gòu)平面為L(zhǎng) 型，長(zhǎng)36 m，寬24 m，x方向柱間距為7.2 m，y方向柱間距為6 m，結(jié)構(gòu)阻尼比設(shè)定為5%。該結(jié)構(gòu)樓層較高，且柱間距較大，屬于典型的彎剪型結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)平面不對(duì)稱，且各樓層物品擺放不均勻，各層的質(zhì)心與剛心并不重合，是偏心結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)各樓層參數(shù)如表1 所示。

表1 建筑結(jié)構(gòu)各參數(shù)Tab.1 The building structure parameters

圖6 小型實(shí)驗(yàn)樓算例圖Fig.6 Example diagram of small experimental building

利用三維有限元分析軟件SAP2000 建立了該結(jié)構(gòu)的精細(xì)化有限元模型，并以此為基準(zhǔn)將結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為層模型體系，分別建立三維剪切偏心模型動(dòng)力方程與三維彎剪偏心模型動(dòng)力方程。根據(jù)式（12）和式（14）將動(dòng)力方程表示為6 個(gè)狀態(tài)方程，并將結(jié)構(gòu)的質(zhì)量m、水平剛度kx和ky、偏心距ex和ey作為狀態(tài)方程中的狀態(tài)量。為充分比較兩種簡(jiǎn)化模型與有限元模型動(dòng)力分析結(jié)果的精準(zhǔn)度，計(jì)算單水平向、雙水平向及三向地震波下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)并進(jìn)行對(duì)比，單向地震波分別為x向、y向及扭轉(zhuǎn)波，雙向地震波包括x向和y向地震波，三向地震波包括x，y向地震波以及扭轉(zhuǎn)波。

3.2 各模型性能對(duì)比

基于有限元模型得到的結(jié)構(gòu)前三階自振周期（x向、y向和扭轉(zhuǎn)）分別為：0.844，0.821 和0.771 s，相關(guān)振型如圖7 所示。

圖7 結(jié)構(gòu)有限元模型前三階模態(tài)信息Fig.7 First three order modal information of structural finite element model

為了檢驗(yàn)簡(jiǎn)化模型的合理性和精度，將三維剪切偏心模型、三維彎剪偏心模型（基于柔度法的簡(jiǎn)化模型、基于等效剛度參數(shù)識(shí)別法的簡(jiǎn)化模型）及有限元模型的動(dòng)力特性進(jìn)行對(duì)比，表2 為四種模型的前三階自振周期、相對(duì)誤差對(duì)比及四種模型從建模到分析計(jì)算的時(shí)間對(duì)比。相對(duì)誤差計(jì)算公式為|Tf-Ts|/Tf（下 標(biāo)“s”代表簡(jiǎn) 化模型，“f”代表有限元模型）。

表2 三種模型的周期、周期相對(duì)誤差及計(jì)算耗時(shí)對(duì)比（括號(hào)內(nèi)為相對(duì)誤差率）Tab.2 The period，the relative errors of the period and the calculative time of the three models（Relative errors in parentheses）

由表2 可以看到：與有限元模型的前三階周期結(jié)果相比，兩種三維彎剪偏心模型的誤差均在2%以內(nèi)，令人滿意。誤差產(chǎn)生的主要原因是簡(jiǎn)化的過程中將空間結(jié)構(gòu)分布質(zhì)量簡(jiǎn)化成層質(zhì)量，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度減小及周期增大。三維剪切偏心模型的誤差則比較顯著。在保證計(jì)算精度的前提下，基于柔度法的三維彎剪偏心模型的計(jì)算效率最高，而等效剛度參數(shù)識(shí)別法因?yàn)槠鋸?fù)雜的求解剛度矩陣過程導(dǎo)致計(jì)算效率偏低。因此在求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)模型時(shí)，宜基于柔度法建立三維彎剪偏心模型。

對(duì)El-Centro 地震波下的結(jié)構(gòu)進(jìn)行多維彈性時(shí)程分析，按照抗震設(shè)計(jì)要求將峰值加速度值調(diào)整為4 m/s2。利用頻域法求得的地面地震波扭轉(zhuǎn)分量加速度時(shí)程如圖8 所示，其角加速度峰值為0.0135 rad/s2。分別計(jì)算有限元模型在單向地震波、雙向地震波、雙向地震波與扭轉(zhuǎn)波共同作用下結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)，典型結(jié)果如圖9 所示。結(jié)果證明，地震動(dòng)扭轉(zhuǎn)分量對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)影響最顯著，而結(jié)構(gòu)偏心導(dǎo)致結(jié)構(gòu)響應(yīng)出現(xiàn)水平-扭轉(zhuǎn)耦合效應(yīng)，幅值增大，因而忽略結(jié)構(gòu)偏心的設(shè)計(jì)和分析是不精確且不安全的。

圖8 合成El-Centro 地震波扭轉(zhuǎn)分量加速度時(shí)程Fig.8 Time history of synthesized torsional component of El-Centro wave

圖9 在El-Centro 地震波下結(jié)構(gòu)頂層轉(zhuǎn)角時(shí)程Fig.9 Time history of structural top layer rotation angle under El-Centro wave

在此基礎(chǔ)上，檢驗(yàn)平面簡(jiǎn)化模型和三維簡(jiǎn)化模型的合理性和準(zhǔn)確性，取各種簡(jiǎn)化模型主振型方向的頂層位移時(shí)程和加速度時(shí)程進(jìn)行比較。結(jié)構(gòu)頂層在各工況下的位移時(shí)程、加速度時(shí)程對(duì)比圖參見圖10 和11，計(jì)算結(jié)果及其特性參數(shù)見表3。結(jié)果表明：對(duì)于地震下的彎剪型結(jié)構(gòu)，彎曲變形效應(yīng)不可忽略?；谌岫确ㄇ蟪鼋Y(jié)構(gòu)滿秩剛度矩陣后，建立的三維彎剪偏心模型的動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果精度非常高，可以有效代替有限元軟件進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析。剪切模型精度較低，其動(dòng)力響應(yīng)誤差較大。因此，在動(dòng)力時(shí)程分析中，宜建立彎剪型結(jié)構(gòu)的動(dòng)力模型及方程；且其求解效率極高，在確保精度的情況下，比精細(xì)化有限元模型的求解更加便捷和快速。此外，在結(jié)構(gòu)減振分析和動(dòng)力優(yōu)化中，結(jié)構(gòu)的彎曲效應(yīng)也不應(yīng)忽視。

表3 模型信息對(duì)比（括號(hào)內(nèi)為相對(duì)誤差）Tab.3 Model information comparison（Relative errors in parentheses）

圖10 結(jié)構(gòu)頂層各工況下位移時(shí)程對(duì)比圖Fig.10 Top layer displacement time history comparison under various cases

圖11 結(jié)構(gòu)頂層各工況下加速度時(shí)程對(duì)比圖Fig.11 Top layer acceleration time history comparison under various cases

3.3 減震方案及結(jié)果對(duì)比

由于算例結(jié)構(gòu)有較大偏心，加之地震動(dòng)扭轉(zhuǎn)分量的影響，地震下結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)較明顯，對(duì)結(jié)構(gòu)抗震性能極為不利，需要探究考慮偏心的減震優(yōu)化控制。由于結(jié)構(gòu)偏心效應(yīng)，當(dāng)采用TMD 或AMD 對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行減震優(yōu)化控制時(shí)，其布置位置對(duì)結(jié)構(gòu)減震效果有明顯影響。若采用傳統(tǒng)的有限元軟件建模并開展優(yōu)化控制分析，需要在不同位置布置TMD 或AMD 并進(jìn)行大量計(jì)算，且很難在軟件內(nèi)部直接應(yīng)用主動(dòng)控制算法，其計(jì)算效率和實(shí)用性均較低，阻礙了減振優(yōu)化的應(yīng)用和發(fā)展。本文提出的三維偏心彎剪結(jié)構(gòu)建模方法可以適當(dāng)克服上述局限。利用MATLAB 等數(shù)值分析軟件即可便捷地建立相關(guān)模型。在已知結(jié)構(gòu)質(zhì)心與剛心坐標(biāo)的情況下，只需在三維彎剪模型中循環(huán)改變TMD 或AMD 的位置坐標(biāo)，即根據(jù)優(yōu)化位置和控制算法進(jìn)行快速減震優(yōu)化分析，無需反復(fù)調(diào)整復(fù)雜的有限元模型，計(jì)算效率和精度均較高。按照上述思路，將結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為集中質(zhì)量三維彎剪模型體系，依據(jù)式（12）建立耦合動(dòng)力方程，將El-Centro 波作為地震動(dòng)輸入，計(jì)算結(jié)構(gòu)在無控下、TMD 在質(zhì)心處布置、TMD 考慮偏心后尋優(yōu)布置［24］、AMD 考慮偏心后尋優(yōu)布置的結(jié)構(gòu)多維響應(yīng)，并比較各方案下的減震效果。相關(guān)減震方案名稱及編號(hào)如表4 所示。

表4 結(jié)構(gòu)減震方案Tab.4 Structural damping scheme

各減震方案下結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí)程曲線如圖12 所示?？梢钥闯觯紤]偏心后的TMD 尋優(yōu)布置的減震效果明顯好于將TMD 布置在質(zhì)心處的減震效果，且兩種減震方案都優(yōu)于結(jié)構(gòu)在無控時(shí)的狀態(tài)。采用AMD 的主動(dòng)控制效果要優(yōu)于TMD。三種主動(dòng)控制減震方案中，瞬時(shí)最優(yōu)主動(dòng)控制的減震效果最優(yōu)，經(jīng)典最優(yōu)主動(dòng)控制的減震效果與LQG 控制的減震效果基本相同，因此在考慮偏心的情況下，宜選擇瞬時(shí)最優(yōu)AMD 對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行減震。

圖12 各方案減震效果對(duì)比圖Fig.12 Comparison of damping effects of each control scheme

4 結(jié)論

針對(duì)目前建筑結(jié)構(gòu)層間彎剪模型建立方法的不足，本文提出一種基于柔度法識(shí)別三維彎剪偏心結(jié)構(gòu)等效剛度的方法。同時(shí)針對(duì)三維偏心結(jié)構(gòu)，對(duì)多種簡(jiǎn)化模型進(jìn)行精確性對(duì)比，驗(yàn)證了三維彎剪偏心模型的精確性以及彎曲效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響，最后對(duì)一小型實(shí)驗(yàn)樓進(jìn)行多種減震方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)，并進(jìn)行了對(duì)比分析。本文的主要結(jié)論如下：

（1）基于柔度法提出了多自由度彎剪型結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)的識(shí)別方法，通過典型結(jié)構(gòu)的計(jì)算分析證明本文所提的方法計(jì)算結(jié)果精確性更高、建模過程更簡(jiǎn)易、靈活性更高。

（2）針對(duì)有限元軟件無法直接求取結(jié)構(gòu)各層剛心的弊端，提出根據(jù)結(jié)構(gòu)各層質(zhì)心識(shí)別出結(jié)構(gòu)各層剛心的計(jì)算方法，進(jìn)而提出通過層間逐步迭代方式識(shí)別結(jié)構(gòu)各層剛心的方法，這兩種方法均可快速求得結(jié)構(gòu)剛心所在位置，從而確定結(jié)構(gòu)偏心狀態(tài)，有助于三維彎剪偏心模型的快速建立。

（3）考慮剛心、質(zhì)心偏心對(duì)三維結(jié)構(gòu)的影響，基于柔度法識(shí)別三維彎剪偏心結(jié)構(gòu)等效剛度，建立三維彎剪偏心模型，并與有限元軟件模型、三維桿系有限元模型、平面剪切模型、平面彎剪模型及三維剪切偏心模型在相同動(dòng)力響應(yīng)下的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證明偏心對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響較大，三維彎剪偏心模型的精度更高，可以準(zhǔn)確反映真實(shí)結(jié)構(gòu)在多維地震作用下的動(dòng)力響應(yīng)。普通結(jié)構(gòu)的有限元模型需要考慮桿件的彎曲效應(yīng)。

（4）對(duì)某偏心結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行分析和減震優(yōu)化設(shè)計(jì)。分析仿真模擬數(shù)據(jù)可知，在考慮偏心后尋優(yōu)布置TMD 的減震效果優(yōu)于TMD 放置在結(jié)構(gòu)質(zhì)心位置，尋優(yōu)布置TMD 能夠減小結(jié)構(gòu)與TMD 整體的偏心作用。在考慮偏心的情況下瞬時(shí)最優(yōu)AMD 的減震效果最佳，并且三種主動(dòng)減震控制方法均優(yōu)于TMD 對(duì)結(jié)構(gòu)的減震效果。依據(jù)偏心位置確定結(jié)構(gòu)減震方案，能夠獲取更優(yōu)的減震效果。

相較于采用傳統(tǒng)的有限元軟件建模開展優(yōu)化控制分析，采用本文提出的三維彎剪簡(jiǎn)化模型可循環(huán)改變TMD 或AMD 的位置坐標(biāo)，并根據(jù)優(yōu)化位置和控制算法進(jìn)行快速減震優(yōu)化分析，無需反復(fù)調(diào)整復(fù)雜的有限元模型，計(jì)算效率和精度均較高。