基于時(shí)域殘余力向量特征分解的結(jié)構(gòu)損傷識別方法研究

曹震雄，翁 順，李佳靖，陳志丹，于 虹，閆俊鋒，余興勝

（1.華中科技大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430063）

引言

殘余力向量是將結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài)下的模態(tài)數(shù)據(jù)代入到結(jié)構(gòu)未損傷狀態(tài)下的特征方程中所產(chǎn)生的誤差。殘余力向量法是一種基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的損傷識別方法，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性會隨其物理參數(shù)（質(zhì)量、剛度和阻尼）變化，故而由此構(gòu)建的損傷識別指標(biāo)能夠用于診斷結(jié)構(gòu)的損傷。殘余力向量作為一種損傷識別指標(biāo)有著概念明確、計(jì)算簡單的優(yōu)點(diǎn)，能夠反映結(jié)構(gòu)的整體和局部信息，因此得到了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，取得了許多研究成果。

Zimmerman 等［1］提出了一種名為子空間轉(zhuǎn)角法的損傷檢測算法，用于分析結(jié)構(gòu)損傷的位置和程度，后來該算法被稱為殘余力向量法。將該方法用于彈簧模型和二維桁架的試驗(yàn)中，成功地檢測出了損傷，但該方法易受噪聲的影響。周先雁等［2］將殘余力向量法與靈敏度分析相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)損傷的識別。Fukunaga 等［3］通過計(jì)算結(jié)構(gòu)的殘余力向量確定損傷的大致位置，依據(jù)殘余力向量誤差最小化確定實(shí)際損傷位置并得到結(jié)構(gòu)的損傷程度，通過對堆成疊合板結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬，驗(yàn)證了該方法的有效性，不過其識別結(jié)果受有限元模型精度和測量數(shù)據(jù)噪聲的影響。Ge 等［4］在使用殘余力向量定位損傷的基礎(chǔ)上，采用矩陣凝聚方法和比例損傷模型，通過計(jì)算結(jié)構(gòu)損傷前后剛度和質(zhì)量特性的變化來量化損傷。Amiri 等［5］使用對角化方法優(yōu)化模態(tài)殘余力向量，以避免該方法對框架中間層損傷情況的誤判。何偉等［6］針對測試模態(tài)信息不完備的情況以及自由度縮聚帶來的誤差影響，提出了一種改進(jìn)的殘余力向量法，將損傷前后結(jié)構(gòu)同階的殘余力向量差值作為新的損傷指標(biāo)進(jìn)行損傷識別，并用簡支梁模型數(shù)值模擬驗(yàn)證了該方法的有效性以及良好的抗噪性。Behtani 等［7］將殘余力向量法應(yīng)用到復(fù)合材料層狀梁結(jié)構(gòu)的損傷識別，并用石墨/環(huán)氧復(fù)合梁的數(shù)值模擬驗(yàn)證了該方法的有效性。Wu 等［8］提出了一種實(shí)用的殘余力分解方法來識別網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的損傷。張干等［9］將殘余力向量法應(yīng)用到高樁碼頭基樁的損傷識別中，并將殘余力絕對值作為損傷指標(biāo)，拓寬了殘余力向量法的應(yīng)用范圍。

傳統(tǒng)的殘余力向量法都是依據(jù)模態(tài)參數(shù)，通過計(jì)算殘余力向量判斷損傷位置。在此基礎(chǔ)上，于德介等［10］結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，將結(jié)構(gòu)殘余力向量作為網(wǎng)絡(luò)的輸入，使用正交空間格點(diǎn)法對網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本進(jìn)行預(yù)處理，解決了訓(xùn)練樣本在數(shù)據(jù)空間分布不均勻的問題，從而提高識別精度和收斂速度。袁穎等［11］將殘余力向量法與改進(jìn)的遺傳算法相結(jié)合，基于常規(guī)模態(tài)分析，將結(jié)點(diǎn)的殘余力向量構(gòu)造成遺傳算法目標(biāo)函數(shù)，在噪聲條件下利用改進(jìn)的遺傳算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷定位和定量研究。Yun 等［12］提出一種將殘余力向量的靈敏度用于子集選擇過程的損傷檢測方法，首先進(jìn)行一個(gè)子集選擇過程來識別最可能損壞的單元，然后采用穩(wěn)態(tài)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化以獲取與損傷單元相關(guān)聯(lián)的參數(shù)的值，在識別多損傷工況時(shí)表現(xiàn)良好。Saberi［13］將殘余力向量法與電荷系統(tǒng)搜索算法結(jié)合，實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)損傷的識別。趙一霖等［14］將殘余力向量法與樹種算法結(jié)合，通過殘余力向量法找出結(jié)構(gòu)的疑似損傷單元，再利用改進(jìn)的樹種算法反演和識別損傷程度，簡支梁數(shù)值模擬結(jié)果表明該方法有較高的求解精度和較好的魯棒性。上述文獻(xiàn)中使用的方法皆基于動(dòng)態(tài)測試的模態(tài)參數(shù)，可統(tǒng)稱為模態(tài)殘余力向量，該方法概念明確，相關(guān)理論較為成熟，但是測試數(shù)據(jù)需要進(jìn)行模態(tài)分析等時(shí)頻變換，且該方法對局部損傷不敏感，不含與損傷相關(guān)的時(shí)間信息。

楊秋偉等［15］提出了一種靜力殘余力向量法，利用靜力測試位移數(shù)據(jù)來進(jìn)行損傷評估，精度更高且更易實(shí)現(xiàn)，并進(jìn)一步提出了靜力縮聚殘余力向量法，使該方法的應(yīng)用范圍更廣，通過對桁架和梁結(jié)構(gòu)模型的數(shù)值模擬驗(yàn)證了該方法的有效性。但該方法不含與損傷相關(guān)的時(shí)間信息，且實(shí)際工程中難以施加較大靜力荷載。與模態(tài)參數(shù)相比，動(dòng)力響應(yīng)數(shù)據(jù)能夠直接測得，不需進(jìn)行模態(tài)分析等復(fù)雜操作，相較于靜力測試數(shù)據(jù)更加容易采集。

因此，本文基于動(dòng)力響應(yīng)數(shù)據(jù)，推導(dǎo)強(qiáng)迫振動(dòng)下時(shí)域殘余力向量的計(jì)算公式，根據(jù)其值在時(shí)間上的變化確定損傷時(shí)刻；根據(jù)時(shí)域殘余力向量的定義，使用其變異系數(shù)構(gòu)建損傷位置指標(biāo)，判定損傷發(fā)生的位置；在此基礎(chǔ)上，對結(jié)構(gòu)剛度變化矩陣進(jìn)行特征分解，定義了損傷程度參數(shù)，以此識別結(jié)構(gòu)的損傷程度。利用時(shí)域殘余力向量法對武漢軍山大橋模型進(jìn)行損傷識別，數(shù)值算例表明，該方法能準(zhǔn)確識別損傷的時(shí)間、位置和程度，且計(jì)算過程簡單，無需繁瑣的時(shí)頻變換和迭代運(yùn)算，具備較好的噪聲魯棒性。

1 時(shí)域殘余力向量法

1.1 時(shí)域殘余力向量

對于一個(gè)多自由度的線性體系，其結(jié)構(gòu)動(dòng)力平衡方程為：

式中M，C和K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；F（t）為外荷載；x(t)，(t)和(t)分別為結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度響應(yīng)。

一般認(rèn)為結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí)剛度發(fā)生改變，質(zhì)量不改變，則有如下關(guān)系：

式中Mu，Ku分別為未損結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度矩陣；Md，Kd分別為損傷結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度矩陣；ΔK為結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷前后剛度矩陣的變化。

由式（1）和（2）可得損傷結(jié)構(gòu)的動(dòng)力平衡方程為：

將式（3）進(jìn)行變量分離可得：

式（4）左邊含有參量ΔK和x(t)所組成的項(xiàng)以及外加荷載項(xiàng)，其中ΔK是與損傷相關(guān)的未知量。式（4）右邊由參量Mu，C，Ku和動(dòng)力響應(yīng)x(t)，(t)，(t)所組成，其中Mu，C和Ku是已知參量，動(dòng)力響應(yīng)可以通過傳感器測得，故通過求解式（4）可識別結(jié)構(gòu)損傷狀況。

定義結(jié)構(gòu)的時(shí)域殘余力向量（Time Domain Residual Force Vector，TRF）為：

通過前面的分析可知，時(shí)域殘余力向量是將結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài)下的動(dòng)力響應(yīng)代入到結(jié)構(gòu)未損傷狀態(tài)下的動(dòng)力平衡方程所產(chǎn)生的誤差，故而可以通過結(jié)構(gòu)損傷前的物理參數(shù)和損傷后的動(dòng)力響應(yīng)求得結(jié)構(gòu)的時(shí)域殘余力向量。

由式（5）可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)沒有損傷時(shí)，ΔK=0，此時(shí)時(shí)域殘余力向量也為零。結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷后，ΔK≠0，此時(shí)時(shí)域殘余力向量不為零，且其值與結(jié)構(gòu)的損傷程度相關(guān)。因此，可以通過時(shí)域殘余力向量的突變點(diǎn)判斷損傷發(fā)生的時(shí)刻。

1.2 損傷定位

矩陣TRF中的非零行與損傷位置相關(guān)，考慮到模型誤差與噪聲的影響，TRF中元素離散程度較大的行表明了潛在的損傷位置，為排除結(jié)構(gòu)不同位置結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)尺度差異的影響，取各結(jié)點(diǎn)自由度TRF的變異系數(shù)作為損傷定位的指標(biāo)。實(shí)際工程中遇到的噪聲多為高斯白噪聲，其均值和方差為常數(shù)，而噪聲影響下未損傷單元相關(guān)結(jié)點(diǎn)的TRF主要由噪聲引起，故而未損傷單元相關(guān)結(jié)點(diǎn)自由度的TRF變異系數(shù)相近，可以通過減去損傷無關(guān)結(jié)點(diǎn)自由度的TRF變異系數(shù)來避免噪聲可能造成的損傷位置的誤判。為降低噪聲影響，定義結(jié)構(gòu)損傷位置指標(biāo)為：

式中d為自由度編號；σd為d自由度對應(yīng)的時(shí)域殘余力向量的標(biāo)準(zhǔn)差；μd為d自由度對應(yīng)的時(shí)域殘余力向量的平均值；median(σ/μ)為各結(jié)點(diǎn)自由度對應(yīng)的時(shí)域殘余力向量的變異系數(shù)的中位數(shù)。由時(shí)域殘余力向量的性質(zhì)可知，損傷位置對應(yīng)自由度的Loc值會遠(yuǎn)大于其他位置的Loc值。

1.3 損傷定量

為了確定結(jié)構(gòu)損傷的程度，通過矩陣分解技術(shù)［16］，對時(shí)域殘余力向量中的ΔK進(jìn)行分解，從中提取出剛度損傷參數(shù)，即為損傷程度參數(shù)，以此來衡量結(jié)構(gòu)的損傷程度。

整體剛度矩陣為單元?jiǎng)偠染仃嚱?jīng)過轉(zhuǎn)換后的疊加：

式中Ti為將局部坐標(biāo)下n×n單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換為整體坐標(biāo)下與自由度對應(yīng)的m×m單元?jiǎng)偠染仃嚨淖儞Q矩陣；n為單元自由度個(gè)數(shù)；m為結(jié)構(gòu)整體自由度個(gè)數(shù)；Ki表示第i個(gè)單元的剛度矩陣；N為結(jié)構(gòu)的單元個(gè)數(shù)。

對單元?jiǎng)偠染仃嘖i進(jìn)行特征值分解，得到：

式中ui為第i個(gè)單元的n×r特征向量矩陣；pi為第i個(gè)單元的非零特征值｛p｝i的對角矩陣；r為矩陣的秩。

以一個(gè)12 自由度的梁單元為例，可以得到其非零特征值和相應(yīng)特征向量分別為：

式中E為單元的彈性模量；A為單元的截面面積；G為剪切模量；Izz和Iyy為截面 慣性矩；L為單元長度。

由式（9）和（10）可知，采用式（8）特征分解后，梁單元?jiǎng)偠染仃囂卣飨蛄恐慌c單元長度相關(guān)，而一般認(rèn)為損傷前后單元長度不發(fā)生改變，因此單元特征向量矩陣在損傷前后不發(fā)生改變，而單元?jiǎng)偠确橇闾卣髦祫t與彈性模量和剪切模量相關(guān)，即為剛度參數(shù)。

整體剛度矩陣可寫為：

定義連接矩陣：

進(jìn)一步整體剛度矩陣可表示為：

式中P為各單元?jiǎng)偠染仃嚪橇闾卣髦祘P}的對角矩陣，{P}為：

若各單元?jiǎng)偠葏?shù)的折減程度為αi，則損傷前后的單元?jiǎng)偠葏?shù)有如下關(guān)系：

將式（16）代入式（13）中，可得如下關(guān)系式：

將式（17）代入式（2）中，可得：

則時(shí)域殘余力向量TRF的表達(dá)式可寫為：

式（20）中只有一個(gè)未知量α，對上式方程兩邊進(jìn)行變換可得：

式中A+為A的廣義逆矩陣，可通過下式求解：

為了方便求解，定義參數(shù)：

則式（21）可寫作：

將矩陣展開，可得：

由上述分析可知，結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)是測試數(shù)據(jù)，則γi和χi都可以通過式（23）計(jì)算得到。用單元對應(yīng)剛度參數(shù)的減少評估單元損傷程度，其表達(dá)式為：

式中αi即為單元損傷程度參數(shù)，其值為單元損傷程度，下標(biāo)i表示單元?jiǎng)偠葏?shù)編號。當(dāng)某單元損傷程度參數(shù)為0，說明損傷前后該單元?jiǎng)偠葏?shù)相同，即單元未發(fā)生損傷；當(dāng)損傷程度參數(shù)為1，說明該單元損傷后剛度參數(shù)為0，即完全損壞。

2 數(shù)值試驗(yàn)

2.1 武漢軍山大橋算例

將上述基于時(shí)域殘余力向量的損傷識別方法應(yīng)用于武漢軍山大橋模型的損傷識別。軍山大橋全長4881.178 m，橋梁長2847 m，引道長2034 m。軍山大橋包括主橋、過渡孔橋、引橋、引道等部分，是一座五跨連續(xù)半漂浮體系雙塔雙索面鋼箱梁斜拉橋。主橋長為964 m（48 m+204 m+460 m+204 m+48 m），主梁連續(xù)長度為964 m，寬為38.8 m，過渡孔橋主孔跨徑為56 m，引橋跨徑均為30 m。橋梁全景圖及有限元模型如圖1 所示。

根據(jù)施工圖紙建立該工程結(jié)構(gòu)有限元模型，包含758 個(gè)單元、611 個(gè)結(jié)點(diǎn)、3634 個(gè)自由度，模型總質(zhì)量為2.16×109kg。整個(gè)模型的單元類型共有“BEAM4”和“LINK8”兩種，其中與拉索對應(yīng)的451～594 號單元采用“LINK8”單元，單元結(jié)點(diǎn)有x，y，z三個(gè)方向的平動(dòng)自由度。與索塔對應(yīng)的1～284號單元和747～758 號單元采用“BEAM4”單元、與主梁對應(yīng)的285～450 號單元、595～746 號單元均采用“BEAM4”單元，單元結(jié)點(diǎn)有x，y，z三個(gè)方向的平動(dòng)自由度和繞x軸、y軸、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。以單元?jiǎng)偠日蹨p模擬結(jié)構(gòu)的損傷，為模擬該方法在結(jié)構(gòu)受到單點(diǎn)激勵(lì)和多點(diǎn)激勵(lì)下的表現(xiàn)，外荷載分別采用簡諧荷載和地震荷載兩種。設(shè)置不同損傷位置、損傷程度的9 種損傷工況，工況設(shè)置如表1 所示。其中，簡諧荷載只作用在結(jié)構(gòu)的176 號結(jié)點(diǎn)處，為單點(diǎn)激勵(lì)；地震荷載作用在結(jié)構(gòu)整體上，為多點(diǎn)激勵(lì)。在簡諧荷載和地震荷載兩種外荷載作用下，工況1 和4為單損傷工況，工況2 和5 為多損傷工況，工況3 和6為添加10%噪聲條件下的多損傷工況，工況7～9 為結(jié)構(gòu)發(fā)生較小損傷時(shí)的工況。各工況損傷位置如圖2 所示，16 號單元為橋墩處的單元，單元兩邊的結(jié)點(diǎn)分別為175 和176 號結(jié)點(diǎn)，64 號單元為橋塔處的單元，單元兩邊的結(jié)點(diǎn)分別為184 和185 號結(jié)點(diǎn)。各損傷工況中，損傷均設(shè)置為第10 s 發(fā)生。采用本文提出的時(shí)域殘余力向量方法，分別對不同工況下的結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行識別。

在數(shù)值試驗(yàn)中，使用高斯白噪聲模擬測量噪聲，則測量加速度為計(jì)算加速度與測量噪聲的和［17］：

考慮阻尼影響，以黏滯阻尼理論為基礎(chǔ)，根據(jù)下式［18］：

由結(jié)構(gòu)固有頻率計(jì)算出瑞利阻尼系數(shù)a0和a1，其中ωm和ωn一般為結(jié)構(gòu)的基頻和對結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)貢獻(xiàn)顯著的高階頻率，ξm和ξn為對應(yīng)的阻尼比。

本文取結(jié)構(gòu)的第1 階和第5 階固有頻率進(jìn)行計(jì)算，對應(yīng)阻尼比均取0.02。

2.2 簡諧荷載作用下的損傷識別

模擬簡諧荷載作用在軍山大橋的176 號結(jié)點(diǎn)處（對應(yīng)橋墩處的16 號單元）。采樣頻率為200 Hz。施加荷載形式如圖3 所示，為兩個(gè)簡諧荷載疊加，如下式所式：

圖3 簡諧荷載Fig.3 The harmonic load

將Newmark-β 法計(jì)算損傷結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)作為現(xiàn)場試驗(yàn)數(shù)據(jù)。根據(jù)式（5）將損傷結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)數(shù)據(jù)代入到未損傷結(jié)構(gòu)的動(dòng)力平衡方程中，求出結(jié)構(gòu)各結(jié)點(diǎn)的時(shí)域殘余力向量。利用求出的時(shí)域殘余力向量矩陣計(jì)算損傷位置指標(biāo)，從而確定損傷單元。最后根據(jù)式（23）～（26）計(jì)算損傷單元對應(yīng)的損傷程度。

2.2.1 損傷時(shí)刻識別結(jié)果

由前述對時(shí)域殘余力向量的分析可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)未發(fā)生損傷時(shí)，時(shí)域殘余力向量理論值為0；結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷后，時(shí)域殘余力向量非零，考慮到計(jì)算誤差和測量噪聲的影響，可通過分析相關(guān)單元結(jié)點(diǎn)處時(shí)域殘余力向量值的變化來判斷損傷發(fā)生的時(shí)刻。以16 號單元對應(yīng)的176 號結(jié)點(diǎn)為例，損傷單元對應(yīng)結(jié)點(diǎn)的時(shí)域殘余力向量值與時(shí)間的關(guān)系如圖4 所示。

圖4 簡諧荷載作用下工況1～3 的損傷時(shí)刻識別結(jié)果Fig.4 Identification of damage existence for cases 1～3 under harmonic loading

圖4（a），（b）表明，在不含噪聲的工況1 和工況2中，176 號結(jié)點(diǎn)的時(shí)域殘余力向量值在第10 s 之前都約為0，在第10 s 突然增大，并開始變化。由此可以判斷兩工況下16 號單元損傷的發(fā)生時(shí)刻皆為第10 s，與預(yù)設(shè)的損傷時(shí)刻相符。圖4（c）給出加速度響應(yīng)含10%測量噪聲下的損傷識別結(jié)果（工況3），圖中176 號結(jié)點(diǎn)的殘余力向量值自第10 s 開始突變，且此后的值遠(yuǎn)大于第10 s 之前的殘余力向量值，由此可以判斷該工況下，損傷時(shí)刻為第10 s。綜合比較圖4（a）～（c）可以得出，簡諧荷載作用時(shí)，單處損傷、多處損傷以及噪聲工況下，模型的損傷時(shí)刻都可通過時(shí)域殘余力向量的突變來識別。

2.2.2 損傷位置與程度識別結(jié)果

由時(shí)域殘余力向量的定義可知，未損傷處結(jié)點(diǎn)的時(shí)域殘余力值會遠(yuǎn)小于損傷處的時(shí)域殘余力值。在噪聲影響下，未損傷處結(jié)點(diǎn)的時(shí)域殘余力在整個(gè)時(shí)間段中的變化是相對平穩(wěn)的，而損傷處結(jié)點(diǎn)的時(shí)域殘余力在損傷時(shí)刻則會發(fā)生突變。因此用各結(jié)點(diǎn)的損傷位置識別指標(biāo)先確定損傷位置，再計(jì)算損傷單元的損傷程度，可以減小矩陣的計(jì)算量。各結(jié)點(diǎn)的殘余力向量在其每個(gè)自由度上都存在分量，在識別損傷位置的過程中，只需要選取結(jié)點(diǎn)的一個(gè)自由度方向上的時(shí)域殘余力向量計(jì)算Loc值來代表此結(jié)點(diǎn)即可，這里選取的是y自由度方向上的時(shí)域殘余力向量。

簡諧荷載作用下的3 個(gè)工況損傷位置識別結(jié)果如圖5 所示。

圖5 簡諧荷載作用下工況1～3 的損傷位置識別結(jié)果Fig.5 Identification of damage location in cases 1～3 under harmonic loading

圖5（a）表明，175 號與176 號結(jié)點(diǎn)的損傷位置指標(biāo)要遠(yuǎn)大于其他結(jié)點(diǎn)，可知與這兩結(jié)點(diǎn)相關(guān)的16 號單元發(fā)生損傷。圖5（b），（c）分別是無噪聲和有噪聲下結(jié)構(gòu)發(fā)生多處損傷的工況，兩圖中175 號、176號和184 號、185 號結(jié)點(diǎn)的損傷位置指標(biāo)都明顯大于其他結(jié)點(diǎn)，由此可以確定與之相關(guān)的16 號單元和64號單元發(fā)生損傷。對比圖5（b）和（c）發(fā)現(xiàn)，在簡諧荷載作用下，噪聲對損傷位置的識別結(jié)果影響不大，該方法在識別結(jié)構(gòu)損傷位置方面具有較強(qiáng)的噪聲魯棒性。

獲取了損傷位置之后，根據(jù)式（23）～（26）計(jì)算損傷單元的損傷程度，得到損傷程度識別結(jié)果如圖6 所示，表2 給出了各工況損傷程度識別結(jié)果的相對誤差。

表2 簡諧荷載作用下工況1～3 損傷程度識別結(jié)果Tab.2 Damage identification results for cases 1～3 under harmonic loading

圖6 簡諧荷載作用下工況1～3 的損傷程度識別結(jié)果Fig.6 Damage identification results for cases 1～3 under harmonic loading

由圖6 和表2 所示，工況1 簡諧荷載作用下，識別出16 號單元損傷，其損傷程度為0.29992，相比于實(shí)際設(shè)置的損傷程度0.3，誤差為0.03%，此單處損傷工況下，損傷程度識別精度較高；工況2 是結(jié)構(gòu)處于簡諧荷載作用下，橋墩處的16 號單元和橋塔處的64 號單元發(fā)生損傷，兩處的損傷程度識別結(jié)果分別為0.30033 和0.21391，相對于實(shí)際的損傷程度0.3 和0.2，誤差分別為0.11%和6.96%；在噪聲條件下，兩單元的損傷程度識別結(jié)果分別為0.30037 和0.21409，誤差分別為0.12%和7.04%，相較于不含噪聲的工況2 誤差略大。因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的時(shí)域殘余力向量矩陣實(shí)質(zhì)上是病態(tài)矩陣，對擾動(dòng)比較敏感，而且當(dāng)簡諧荷載作用在16 號單元時(shí)，64 號單元的動(dòng)力響應(yīng)較小，容易受到噪聲影響，但對比工況2 和3，可以發(fā)現(xiàn)噪聲對損傷單元的損傷程度識別結(jié)果影響較小。

2.3 地震荷載作用下的損傷識別

為了研究時(shí)域殘余力向量方法在地震荷載下的損傷識別效果，設(shè)置了工況4～6。地震荷載采樣頻率為200 Hz，總的時(shí)間步為7851，地震波加速度時(shí)程曲線如圖7 所示。

圖7 地震波加速度時(shí)程曲線Fig.7 Seismic acceleration time history curve

2.3.1 損傷時(shí)刻識別結(jié)果

計(jì)算過程與簡諧荷載作用工況類似，同樣以176 號結(jié)點(diǎn)為例，得到地震荷載作用下工況4～6 的損傷時(shí)刻識別結(jié)果如圖8 所示。

圖8 地震荷載作用下工況4～6 損傷時(shí)刻識別結(jié)果Fig.8 Identification of damage existence for cases 4～6 under seismic loading

圖8 表明，在地震作用下的3 個(gè)工況中，176 號結(jié)點(diǎn)的時(shí)域殘余力向量皆在第10 s 時(shí)突變，與預(yù)設(shè)的損傷發(fā)生時(shí)刻相符。比較圖8（a），（b）的突變時(shí)刻可知，在結(jié)構(gòu)發(fā)生單處損傷和兩處損傷時(shí)，通過時(shí)域殘余力向量都能較為準(zhǔn)確地識別出損傷時(shí)刻，結(jié)合圖8（c）可知，噪聲的影響較小。

2.3.2 損傷位置和程度識別結(jié)果

類似地，求出結(jié)構(gòu)各結(jié)點(diǎn)損傷位置指標(biāo)如圖9所示。圖9（a）表明，第175 和176 號結(jié)點(diǎn)的損傷位置指標(biāo)要遠(yuǎn)大于其他結(jié)點(diǎn)，說明與這兩結(jié)點(diǎn)相關(guān)的16 號單元發(fā)生了損傷，與預(yù)設(shè)的單損傷工況的損傷位置相符。圖9（b）則證明了在地震荷載作用下，該方法在結(jié)構(gòu)發(fā)生多處損傷時(shí)的損傷位置識別的有效性。對比分析圖9（b）和（c），可以發(fā)現(xiàn)噪聲對損傷位置的識別影響較小，在加速度含10%水平的測量噪聲的情況下，該方法仍能識別出損傷的位置。

圖9 地震荷載作用下工況4～6 損傷位置識別結(jié)果Fig.9 Identification of damage location in cases 4～6 under seismic loading

根據(jù)上述分析確定的損傷位置，計(jì)算損傷單元的損傷程度參數(shù)，結(jié)果如圖10 所示，表3 給出各工況識別結(jié)果的相對誤差。

表3 地震荷載作用下工況4～6 損傷程度識別結(jié)果Tab.3 Damage identification results for cases 4～6 under seismic loading

圖10 地震荷載作用下工況4～6 損傷程度識別結(jié)果Fig.10 Damage identification results for cases 4～6 under seismic loading

如圖10 和表3 所示，工況4 地震荷載作用下，識別出16 號單元損傷，其損傷程度為0.29995，相比于實(shí)際設(shè)置的損傷程度0.3，誤差為0.02%，此單處損傷工況下，損傷程度識別誤差精度較高；工況5 是結(jié)構(gòu)處于地震荷載作用下，橋墩處的16 號單元和橋塔處的64 號單元發(fā)生損傷，兩處的損傷程度識別結(jié)果分別為0.29995 和0.2000，相對于實(shí)際的損傷程度0.3 和0.2，誤差分別為0.11%和0.00%，識別結(jié)果精度較高；在結(jié)構(gòu)加速度含有噪聲的工況下，16 號單元和64 號單元的損傷程度識別結(jié)果分別為0.29869和0.20478，誤差分別為0.44%和2.39%，相較于無噪聲工況誤差較大。由表2 可知，簡諧荷載作用下的多損傷工況2 和3 的損傷單元64 的損傷程度識別誤差分別為6.96%和7.04%，要大于地震荷載作用下的對應(yīng)工況5 和6 該單元的識別誤差，這是因?yàn)楹喼C荷載為單點(diǎn)激勵(lì)，這種工況下64 號單元的響應(yīng)較小，損傷識別結(jié)果受干擾程度較大，而地震荷載為多點(diǎn)激勵(lì)，結(jié)構(gòu)整體都受到了作用，誤差和噪聲的影響較小。結(jié)果很好地說明了本文方法在多點(diǎn)激勵(lì)下的識別效果要好于單點(diǎn)激勵(lì)。

2.4 小損傷工況下的損傷識別

為了研究時(shí)域殘余力向量方法在結(jié)構(gòu)所受損傷較小情況下的損傷識別效果，設(shè)置了工況7～9。外荷載為地震荷載。

2.4.1 損傷時(shí)刻識別結(jié)果

以176 號結(jié)點(diǎn)為例，由時(shí)域殘余力向量方法得到地震荷載作用下的小損傷工況7～9 的損傷時(shí)刻識別結(jié)果，如圖11 所示。

圖11 地震荷載作用下工況7～9 損傷時(shí)刻識別結(jié)果Fig.11 Identification of damage existence for cases 7～9 under seismic loading

圖11 表明，在結(jié)構(gòu)發(fā)生小損傷的工況下，176 號結(jié)點(diǎn)的時(shí)域殘余力向量皆在第10 s 時(shí)發(fā)生突變，與預(yù)設(shè)的損傷時(shí)刻相符。比較圖11（a）～（c），在結(jié)構(gòu)發(fā)生小損傷時(shí)，對于不含噪聲的工況7 和包含噪聲影響的工況8，9，通過時(shí)域殘余力向量都能較為準(zhǔn)確地識別出結(jié)構(gòu)的損傷時(shí)刻，噪聲對識別損傷時(shí)刻的影響較小。

2.4.2 損傷位置和程度識別結(jié)果

分別求出小損傷工況7～9 結(jié)構(gòu)各結(jié)點(diǎn)損傷位置指標(biāo)如圖12（a）～（c）所示。

圖12 地震荷載作用下工況7～9 損傷位置識別結(jié)果Fig.12 Identification of damage location in cases 7～9 under seismic loading

圖12（a）表明，175 和176 號結(jié)點(diǎn)的損傷位置指標(biāo)遠(yuǎn)大于其他結(jié)點(diǎn)，說明工況7 下這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的16 號單元發(fā)生了損傷，與預(yù)設(shè)的損傷位置相符。工況8 和9 分別在工況7 的基礎(chǔ)上添加了10% 和2%水平的測量噪聲，對比分析圖12（b），（c）和圖9（a），可以發(fā)現(xiàn)在噪聲影響下仍能較為準(zhǔn)確地識別出結(jié)構(gòu)發(fā)生小損傷時(shí)的損傷位置，說明噪聲的影響較小。

根據(jù)損傷位置的識別結(jié)果，可以確定小損傷工況7～9 皆為與175 和176 號結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的第16 號單元發(fā)生損傷，計(jì)算其損傷程度和識別誤差如圖13 和表4 所示。

表4 地震荷載作用下工況7～9 損傷程度識別結(jié)果Tab.4 Damage identification results for cases 7～9 under seismic loading

圖13 地震荷載作用下工況7～9 損傷程度識別結(jié)果Fig.13 Damage identification results for cases 7～9 under seismic loading

由圖13 和表4 所示，工況7 識別出結(jié)構(gòu)16 號單元損傷，其損傷程度為0.029995，相比于預(yù)設(shè)的損傷程度0.03，誤差為0.02%。在不含噪聲的情況下，可以較為準(zhǔn)確地識別出結(jié)構(gòu)發(fā)生小損傷時(shí)的損傷程度。工況8 在工況7 的基礎(chǔ)上在結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)中添加了10%水平的測量噪聲，此工況下識別出16 號單元的損傷程度為0.033338，相較于實(shí)際的損傷程度0.03，識別誤差為11.13%，此時(shí)誤差超過10%；工況9 在工況7 的基礎(chǔ)上在結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)中添加了2%水平的測量噪聲，此工況下識別出16 號單元的損傷程度為0.030858，識別誤差為2.86%，此時(shí)誤差較小。對比分析工況7～9 的損傷程度識別結(jié)果可知，對于結(jié)構(gòu)發(fā)生小損傷的工況，其損傷程度的識別結(jié)果誤差受噪聲影響較大，在噪聲水平較高時(shí)，其識別誤差較大，在沒有噪聲或者噪聲水平較低時(shí)，仍能較為準(zhǔn)確地識別出損傷單元的損傷程度。

3 結(jié)論

本文在傳統(tǒng)模態(tài)殘余力向量的基礎(chǔ)上，利用時(shí)域動(dòng)力響應(yīng)數(shù)據(jù)，推導(dǎo)了強(qiáng)迫振動(dòng)下時(shí)域殘余力向量的表達(dá)式。根據(jù)損傷位置和未損傷位置在時(shí)域殘余力向量上表現(xiàn)出來的差異，利用結(jié)點(diǎn)時(shí)域殘余力向量值確定損傷時(shí)刻，利用其變異系數(shù)定義損傷位置指標(biāo)用來確定損傷位置。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步推導(dǎo)了剛度矩陣的特征分解公式，由分解公式可知，損傷前后單元?jiǎng)偠染仃囂卣飨蛄坎话l(fā)生變化而其非零特征值隨損傷程度同步變化，由此可以提取反映損傷程度的單元?jiǎng)偠忍卣髦档淖兓禂?shù)，作為結(jié)構(gòu)的損傷程度參數(shù)，用以確定單元損傷的程度。與模態(tài)殘余力向量法不同，時(shí)域殘余力向量包含與損傷相關(guān)的時(shí)間信息，可以通過其判斷損傷發(fā)生的時(shí)刻。將此方法用于武漢軍山大橋的損傷識別，識別結(jié)果表明：所推導(dǎo)的時(shí)域殘余力向量可用于單點(diǎn)激勵(lì)和多點(diǎn)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)損傷識別，能夠準(zhǔn)確地識別損傷的發(fā)生時(shí)刻，定位損傷單元，且能夠準(zhǔn)確識別單元的損傷程度，具備較強(qiáng)的噪聲魯棒性，多點(diǎn)激勵(lì)下的損傷識別結(jié)果比單點(diǎn)激勵(lì)下的結(jié)果更為準(zhǔn)確。目前為保障損傷識別的精度，殘余力向量方法需要大量測點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)來計(jì)算殘余力向量，在之后的研究中，結(jié)合動(dòng)態(tài)縮聚［19］、子結(jié)構(gòu)方法［20-21］等有望有效解決測點(diǎn)需求多的難題。