考慮土塞效應(yīng)的半埋入式管樁水平振動(dòng)動(dòng)力阻抗解析解答

梁志孟，崔春義，許成順，王坤鵬，辛 宇

（1.大連海事大學(xué)土木工程系，遼寧 大連 116026；2.北京工業(yè)大學(xué)城市與工程安全減災(zāi)省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

引言

半埋入樁作為一種常見的基礎(chǔ)形式，被廣泛應(yīng)用于橋梁、碼頭以及高聳建筑等各類工程結(jié)構(gòu)當(dāng)中。近年來，對(duì)于完全埋入式樁基水平振動(dòng)的研究較為豐富，而對(duì)于半埋入式樁基水平振動(dòng)特性的研究相對(duì)較少［1-4］。因此，深入開展半埋入式樁基水平振動(dòng)研究，對(duì)于相關(guān)工程設(shè)計(jì)與實(shí)踐具有十分重要的參考價(jià)值和指導(dǎo)作用。

在完全埋入式樁基水平振動(dòng)研究方面，Gazetas 等［5］、El Naggar 等［6］和Mylonakis 等［7］早期將 樁側(cè)土簡(jiǎn)化為一系列相互獨(dú)立的彈簧和阻尼器，探究了完全埋入地基土中的樁基水平振動(dòng)動(dòng)力響應(yīng)問題。進(jìn)一步地，劉東甲等［8］、胡安峰等［9-10］和雷文軍等［11］將樁身 簡(jiǎn)化為Bernoulli-Euler梁和Timoshenko 梁模型，分別推導(dǎo)出了均質(zhì)和層狀土中的樁基水平振動(dòng)解析解答。王玨等［12-13］和梁發(fā)云等［14］則通過采用雙參數(shù)（Pasternak）地基模型綜合考慮了土體剪切效應(yīng)對(duì)樁體水平振動(dòng)的影響。在此基礎(chǔ)上，Gazetas 等［15］、劉林超 等［16］、高洪波 等［17］和韓紅霞等［18］采用Novak 平面應(yīng)變理論，對(duì)不同地基條件下各類樁基的水平振動(dòng)特性規(guī)律進(jìn)行了探討。此外，Haldar 等［19］、Kaynia 等［20］、干鋼等［21］和劉林 超等［22］借助積分變換法和傳遞矩陣法，求解出了單樁水平振動(dòng)解析解答。特別地，文獻(xiàn)［23-24］和沈紀(jì)蘋等［25］考慮樁芯土的作用，利用樁-土完全耦合條件推導(dǎo)出了管樁樁頂動(dòng)力阻抗解析表達(dá)式。

在半埋入式樁基水平振動(dòng)研究方面，任青等［26］基于Winkler地基模型，建立了水平、豎向荷載聯(lián)合作用下的半埋入實(shí)體單樁的水平振動(dòng)分析模型。在此基礎(chǔ)上，閆啟方等［27］基于Novak 薄層法，利用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性模型描述樁側(cè)土體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，并借助傳遞矩陣法求解出了半埋入端承樁水平振動(dòng)閉合式解析解答。進(jìn)一步地，劉圓圓等［28］和楊紫健等［29］分別考慮地基土體縱向成層特性和飽和介質(zhì)性，各自推導(dǎo)出了半埋入式實(shí)體樁水平振動(dòng)對(duì)應(yīng)解析解答。

上述半埋入式樁基水平振動(dòng)的研究大多圍繞單層地基和實(shí)體樁工況展開。不難看出，隨著管樁在實(shí)際工程中的廣泛應(yīng)用，進(jìn)一步開展半埋入式管樁水平振動(dòng)的相關(guān)研究十分必要［30-31］?；诖?，本文將基于Novak 平面應(yīng)變理論，綜合考慮半埋入式管樁土塞效應(yīng)的影響，建立層狀土中半埋入式管樁水平振動(dòng)分析模型，通過引入勢(shì)函數(shù)法、分離變量法以及傳遞矩陣法，推導(dǎo)出層狀黏彈性土中半埋入式管樁樁頂水平阻抗解析解答。在此基礎(chǔ)上，通過參數(shù)化分析探討管樁埋入比、各層土體彈性模量和土塞長(zhǎng)度對(duì)半埋入式管樁樁頂水平阻抗的影響規(guī)律。

1 定解問題力學(xué)模型的建立

1.1 力學(xué)模型及基本假設(shè)

本文所建立的層狀土中半埋入式管樁水平振動(dòng)力學(xué)模型如圖1 所示。其中，半埋入式管樁樁頂受水平簡(jiǎn)諧荷載F0eiωt作用，F(xiàn)0為激振力幅值，i為虛數(shù)單位，管樁樁長(zhǎng)為L(zhǎng)，第i層段管樁的內(nèi)徑和外徑分別為和，li為樁-土系統(tǒng)第i層段厚度。對(duì)于樁身埋入段的土塞部分（即Lp段樁身），同時(shí)具有樁側(cè)土、樁芯土塞對(duì)管樁的橫向作用力，分別為和。不同地，對(duì)于埋入段空心部分（即Lh段樁身），僅有樁側(cè)土對(duì)管樁的作用（即為零）；而對(duì)于未埋入段外露樁身部分（即Le段樁身），由于沒有地基土的約束，和均為零。基本假定如下：

（1）半埋入式管樁等效為Bernoulli-Euler 梁，忽略樁體剪切變形，樁端采用固定支承。

（2）樁側(cè)和樁芯各層土體均為均質(zhì)、各向同性黏彈性介質(zhì)。

（3）樁-土系統(tǒng)振動(dòng)為小變形，忽略土體的豎向位移。樁-土界面完全接觸，無脫開和滑移現(xiàn)象［23］。

1.2 定解問題描述

基于Novak 平面應(yīng)變理論，第i層段樁側(cè)土體的控制方程可表示為：

類似地，第i層樁芯土塞部分的控制方程可表示為：

半埋入式管樁第i層段樁身水平振動(dòng)的控制方程可表示為：

1.3 樁-土系統(tǒng)邊界條件

（Ⅰ）樁側(cè)土

樁-土完全接觸條件：

對(duì)于無限遠(yuǎn)處，位移為零，則有：

（Ⅱ）樁芯土塞部分

當(dāng)r0→0 時(shí)，有：

樁-土塞部分完全接觸條件：

（Ⅲ）管樁

樁頂邊界條件：

樁底邊界條件：

據(jù)黎永蘭的生前好友透露，黎永蘭和林雪川2012年認(rèn)識(shí)之后，林雪川提出交往，但黎一直以閱歷、層次相差太大等為由拒絕。直到2013年，林雪川以“無恥的非法手段”逼迫黎永蘭和他確認(rèn)了戀愛關(guān)系。

2 定解問題求解

2.1 樁側(cè)土振動(dòng)方程的求解

對(duì)第i層段樁側(cè)土體引入勢(shì)函數(shù)，有：

式中φi和ψi表示第i層段樁側(cè)土體的位移勢(shì)函數(shù)。

將勢(shì)函數(shù)式（14）代入式（1）和（2）中，可得：

式中K1(·)為一階第二類變形Bessel 函數(shù)；Ai和Bi為待定系數(shù)。

進(jìn)一步地，求解得到第i層段樁側(cè)土體的徑向和環(huán)向位移分別為：

式中K0(·)為零階第二類變形Bessel 函數(shù)。

將式（19）和（20）代入式（6）中，可得：

2.2 樁芯土塞部分振動(dòng)方程的求解

同理，對(duì)第i層段管樁樁芯土塞引入勢(shì)函數(shù)，有：

進(jìn)一步地，求解得到樁芯土塞徑向和環(huán)向位移分別為：

式中I0(·)為零階第一類變形Bessel 函數(shù)。

將式（29）和（30）代入式（9）中，可求得：

2.3 半埋入式管樁樁身振動(dòng)方程的求解

將式（23）和（33）代入式（5）并整理可得：

基于此，可求得轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力的表達(dá)式分別為：

進(jìn)一步地，式（35）～（38）可整理為如下矩陣形式：

在局部坐標(biāo)系下，層狀土中第i層段樁身上下兩端的水平位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力之間的關(guān)系可表示為：

根據(jù)樁段間連續(xù)條件，在整體坐標(biāo)系下采用傳遞矩陣法可求得管樁樁底和樁頂?shù)乃轿灰?、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力之間的關(guān)系為：

式中T={TmTm-1…Ti…T2T1}。

由于管樁樁底為固定約束，進(jìn)而將式（12）和（13）代入式（41）中，可得：

綜上，可進(jìn)一步求得層狀土中半埋入式管樁樁頂水平阻抗KQU的表達(dá)式為：

式中Κr和Κi分別代表樁頂?shù)乃絼?dòng)剛度和動(dòng)阻尼。

3 算例分析

本文算例模型將基于前述層狀黏彈性土中半埋入式管樁水平振動(dòng)力學(xué)模型和推導(dǎo)所得對(duì)應(yīng)樁頂水平動(dòng)力阻抗解析解答展開。其中，將地基土體沿縱向分為3層，如圖1所示，由地基底部自下而上分別為l1，l2和l3。前述解析解答推導(dǎo)過程中所采用的頻率為圓頻率ω，而在后續(xù)分析中采用頻率f=。此外，本文采用MATLAB 軟件對(duì)式（43）所得解進(jìn)行計(jì)算。如無特殊說明，算例模型具體參數(shù)取值［24］如下：

圖1 層狀土中半埋入式管樁水平振動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of horizontal vibration of pipe pile partially embedded in layered soil

3.1 解析解答合理性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所推導(dǎo)的層狀黏彈性土中半埋入式管樁水平振動(dòng)動(dòng)力阻抗解析解答的合理性，將本文解與已有相關(guān)解析解答進(jìn)行退化對(duì)比驗(yàn)證。具體地，令Le→0 m，Lh→0 m，m=1，m，將本文層狀土中半埋入式管樁水平振動(dòng)解析模型退化至文獻(xiàn)［32］中所述黏彈性土中實(shí)體樁水平振動(dòng)工況中，并與已有文獻(xiàn)解［32］進(jìn)行對(duì)比。本文退化解與已有文獻(xiàn)解［32］在3 種不同樁-土彈性模量比條件下的對(duì)比情況如圖2 所示。由圖2 可見，本文推導(dǎo)所得的層狀黏性土中管樁樁頂水平阻抗退化解與已有文獻(xiàn)解［32］吻合良好。

圖2 本文退化解與已有文獻(xiàn)解［32］對(duì)比情況（Le→0 m，Lh→0 m，m=1→0 m）Fig.2 Comparisons of degenerated solution in this paper with existing solution in reference［ 32］（Le→0 m，Lh→0 m，m=1，→0 m）

3.2 半埋入式管樁樁頂水平阻抗影響因素分析

圖3 所示為埋入比變化對(duì)半埋入式管樁樁頂水平阻抗的影響情況。其中，Le/L表示管樁埋入線以上部分長(zhǎng)度與總樁長(zhǎng)之比。由圖3 可見，在其他條件不變的情況下，埋入比變化對(duì)半埋入式管樁樁頂水平阻抗的影響顯著。具體地，隨著埋入比的增大，樁頂水平動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼幅值增大。

圖3 埋入比對(duì)樁頂水平阻抗的影響Fig.3 Influence of embedment ratio on the horizontal impedance of pile head

圖4 和5 所示分別為層狀樁周土中各層段土體彈性模量變化對(duì)半埋入式管樁樁頂水平阻抗的影響情況。由圖4 可見，在其他條件不變的情況下，隨著表層土體彈性模量的增大，半埋入式管樁樁頂水平動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼幅值亦增大。不同地，從圖5 中不難看出，樁周土中、下層土體彈性模量變化對(duì)半埋入式管樁樁頂水平動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼的影響均可忽略。這表明樁周土中的表層土體相對(duì)于中、下層土體對(duì)半埋入式管樁樁頂水平振動(dòng)特性的影響更為顯著。

圖4 表層土體彈性模量對(duì)樁頂水平阻抗的影響Fig.4 Influence of elastic modulus of surface soil layer on the horizontal impedance of pile head

圖6 所示為土塞高度Lp變化對(duì)半埋入式管樁樁頂水平阻抗的影響情況。由圖6 可見，在其他條件不變的情況下，隨著土塞高度的減小，半埋入式管樁樁頂水平動(dòng)剛度幅值減小，而樁頂水平動(dòng)阻尼幅值隨土塞高度的減小而增大。

圖6 土塞高度對(duì)樁頂水平阻抗的影響Fig.6 Influence of soil plug height on the horizontal impedance of pile head

4 結(jié)論

本文基于Novak 平面應(yīng)變理論，綜合考慮半埋入式管樁土塞效應(yīng)的影響，建立了層狀黏彈性土中半埋入式管樁水平振動(dòng)分析模型，推導(dǎo)出了層狀土中半埋入式管樁樁頂水平阻抗解析解答，并探討了管樁埋入比、各層土體彈性模量和土塞高度對(duì)半埋入式管樁樁頂水平阻抗的影響規(guī)律，計(jì)算分析結(jié)果表明：

（1）埋入比變化對(duì)半埋入式管樁樁頂水平阻抗的影響顯著。具體地，隨著埋入比的增大，樁頂水平動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼幅值增大。

（2）隨著表層土體彈性模量的增大，半埋入式管樁樁頂水平動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼幅值均顯著增大，而樁周土中、下層土體的此種影響可忽略。

（3）隨著土塞高度的減小，半埋入式管樁樁頂水平動(dòng)剛度幅值減小，而樁頂水平動(dòng)阻尼幅值隨土塞高度的減小而增大。

（4）通過與已有解進(jìn)行退化對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文推導(dǎo)所得的對(duì)應(yīng)解析解答的合理性和精度，可為相關(guān)工程設(shè)計(jì)與實(shí)踐提供參考。