基于最小二乘法的某型號(hào)程控電阻箱示數(shù)校正算法研究

張曉勇

(鶴壁職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南 鶴壁 458030)

0 引言

程控電阻箱是電學(xué)測(cè)量的重要精密儀器之一,在工業(yè)機(jī)器人、數(shù)控機(jī)床、機(jī)器視覺(jué)、智能汽車(chē)、芯片生產(chǎn)等智能制造領(lǐng)域的元器件生產(chǎn)中發(fā)揮著重要作用。在工程科學(xué)領(lǐng)域,由于測(cè)量要素(如儀器儀表、計(jì)算方法、環(huán)境變化等)不能達(dá)到最高標(biāo)準(zhǔn),往往導(dǎo)致測(cè)量對(duì)象的真值與測(cè)量結(jié)果之間存在一定的偏差,在計(jì)算數(shù)學(xué)中統(tǒng)稱(chēng)為測(cè)量誤差。目前,學(xué)者針對(duì)如何評(píng)估、校正、降低測(cè)量讀數(shù)動(dòng)態(tài)誤差這類(lèi)問(wèn)題提出了許多經(jīng)典算法,如小波變換、遺傳算法、樽海鞘算法、卡爾曼濾波法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、時(shí)間序列分析法等[1-6],取得了一定的效果,因此構(gòu)造有效算法對(duì)提高電阻箱輸出電阻的精確度并實(shí)現(xiàn)智能制造行業(yè)的快速、穩(wěn)定、高質(zhì)量發(fā)展具有重要的推動(dòng)作用。

1 算法介紹

1.1 程控電阻箱

某型號(hào)程控電阻箱的內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 某型號(hào)程控電阻箱的內(nèi)部結(jié)構(gòu)Fig.1 Internal structure of a type of programmed resistance box

從圖1可以看出,由于連接導(dǎo)線固有電阻、旋轉(zhuǎn)開(kāi)關(guān)觸頭接觸電阻、輸出端子固有電阻的存在,實(shí)際的輸出電阻不可能達(dá)到0 Ω。圖中的r表示電路中的固有電阻,也稱(chēng)為最小電阻。本電阻箱的最小電阻r規(guī)定為0.01 Ω(這是經(jīng)多次實(shí)測(cè)后給定的平均數(shù)值)。電阻箱的電阻調(diào)節(jié)范圍為0.01～100 000.00 Ω,最小步進(jìn)值為0.01 Ω。

1.2 算法假設(shè)

為了避免變阻箱校正問(wèn)題過(guò)于復(fù)雜,考慮變阻箱的自身屬性與工作環(huán)境,提出以下幾點(diǎn)研究假設(shè):

A.變阻箱工作時(shí)的狀態(tài)保持持續(xù)穩(wěn)定,受外界條件的影響較小,可忽略不計(jì)。

B.固有電阻為最小電阻(0.01 Ω)。

C.根據(jù)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中搜集的數(shù)據(jù)可視化結(jié)果,給定值與測(cè)量絕對(duì)誤差近似為線性關(guān)系(如圖2所示),由此提出假設(shè):絕對(duì)誤差隨著給定電阻值的級(jí)數(shù)(步長(zhǎng)為10)增長(zhǎng)呈現(xiàn)線性疊加。

圖2 某型號(hào)程控電阻箱的給定值與絕對(duì)誤差間的線性擬合及誤差Fig.2 Linear fitting and error between the given value and the absolute error of a programmable resistance box of a certain type

1.3 符號(hào)變量

為了使算法的建立過(guò)程更為方便、高效,定義以下幾個(gè)量并用相應(yīng)的字母符號(hào)表示。如不加特殊或?qū)Ｒ徽f(shuō)明,所列的字母符號(hào)均表示對(duì)應(yīng)的量。各個(gè)字母符號(hào)及其對(duì)應(yīng)表示的量如下:

g(j):各倍率檔位的給定值;s(j):各倍率檔位的實(shí)際測(cè)量值;c(j):各倍率檔位的校正值;r(j):各倍率檔位的相對(duì)誤差(%);sc:要求的實(shí)際電阻值;sj:要求的實(shí)際電阻值的校正值;sk:首次校正值對(duì)應(yīng)的實(shí)際電阻值;Rk:首次校正值對(duì)應(yīng)的實(shí)際電阻值與sc之間的絕對(duì)誤差;j:1～63,各倍率的序列號(hào)。

1.4 算法設(shè)計(jì)

根據(jù)研究假設(shè)C,本模型對(duì)各擋位電阻的絕對(duì)誤差與給定值之間的相關(guān)性系數(shù)進(jìn)行求解,公式為:

(1)

當(dāng)相關(guān)性系數(shù)R值超過(guò)0.9時(shí),嘗試找到各檔位倍率的校正值,具體如下:

(2)

(2′)

在上述算法模型基本假設(shè)的基礎(chǔ)上嘗試建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,對(duì)要求的實(shí)際電阻值sc(sc∈[0.01,99 999.99])進(jìn)行檔位拆分,阻值拆分公式具體如下:

(3)

這里以實(shí)際電阻值sc=88 888.88 Ω為例,按照式(3)進(jìn)行拆分,結(jié)果如下:

88 888.88=8×104+8×103+8×102+8×101

+8×100+8×10-1+8×10-2

如此便可得到:

k(1)=8,k(2)=8,k(3)=8,k(4)=8,

k(5)=8,k(6)=8,k(7)=8

k(i)的矯正過(guò)程具體如圖3所示:

圖3 實(shí)際電阻的拆分及校正Fig.3 Separation and correction of actual resistance

圖3中,k(1)表示104檔位;k(2)表示103檔位;k(3)表示102檔位;k(4)表示101檔位;k(5)表示100檔位;k(6)表示10-1檔位;k(7)表示10-2檔位。校正公式如下:

(4)

其中,數(shù)字7表示變阻箱的檔位數(shù),C0表示電路中固有的電阻。由于該電阻箱的精度為0.01 Ω,為了減少數(shù)值計(jì)算的舍入誤差,對(duì)模型求解的結(jié)果sj進(jìn)行誤差分析及二次校正。其中,誤差分析過(guò)程如下:對(duì)實(shí)際電阻值的校正值(模型的首次計(jì)算結(jié)果)sj進(jìn)行檔位拆分,阻值拆分公式如下:

(5)

以實(shí)際電阻的校正值sj=88 889.65 Ω為例,按照式(5)進(jìn)行拆分,結(jié)果如下:

88 889.65=8×104+8×103+8×102+8×101

+9×100+6×10-1+5×10-2

如此便可以得到:

k′(1)=8,k′(2)=8,k′(3)=8,k′(4)=8,

k′(5)=9,k′(6)=6,k′(7)=5

將k′(i),i=1,…,7依照實(shí)際測(cè)量值g(j)計(jì)算首次校正值對(duì)應(yīng)的實(shí)際電阻值sk,計(jì)算公式為:

(6)

此時(shí),記Rk=|sc-sk|,表示首次校正值對(duì)應(yīng)的實(shí)際電阻值sk與sc(要求的實(shí)際電阻值)之間的絕對(duì)誤差。

1.5 二次校正

二次校正的具體過(guò)程如下:當(dāng)|R|≤0.005時(shí),說(shuō)明校正結(jié)果在電阻箱的精度(0.01 Ω)要求范圍內(nèi),符合要求,sk不需要進(jìn)行二次校正;當(dāng)R≤-0.005,說(shuō)明校正結(jié)果偏大,超出了電阻箱的精度(0.01Ω)要求范圍(正偏誤差超過(guò)精度0.01),sk需要二次校正:sk=sk-0.01;當(dāng)R≥0.005,說(shuō)明校正結(jié)果偏小,超出了電阻箱的精度(0.01 Ω)要求范圍(負(fù)偏誤差超過(guò)精度0.01),sk需要二次校正:sk=sk+0.01。根據(jù)以上誤差分析及二次校正過(guò)程設(shè)計(jì)了相應(yīng)的算法流程,如圖4所示。

圖4 實(shí)際電阻校正值的誤差分析及二次校正流程Fig.4 Error analysis and secondary correction process of actual resistance correction

2 結(jié)果分析

2.1 各倍率檔位實(shí)測(cè)值校正前后的相對(duì)誤差

在上述研究基礎(chǔ)上對(duì)該型號(hào)電阻箱各倍率檔位實(shí)測(cè)值校正前后的相對(duì)誤差進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如圖5所示?？梢钥闯?經(jīng)提出的算法校正后,各倍率檔位實(shí)測(cè)值的相對(duì)誤差明顯下降,具有一定的校正效果。但下降幅度不大,相對(duì)精確度的提升約為0.1%。

圖5 各倍率檔位實(shí)測(cè)值校正前后的相對(duì)誤差對(duì)比分析Fig.5 Comparative analysis of relative errors before and after calibration of the measured values of each rate gear

2.2 誤差分析

選取一些固定編號(hào)的實(shí)際需求電阻值,通過(guò)該算法進(jìn)行校正,具體結(jié)果如圖6所示。

圖6 實(shí)際電阻輸出值校正前后的對(duì)比分析Fig.6 Comparative analysis of actual resistance output before and after correction

從圖6可以看出,經(jīng)過(guò)本算法進(jìn)行校正后,這些固定編號(hào)的實(shí)際需求電阻值在電阻箱輸出過(guò)程中表現(xiàn)出更強(qiáng)的穩(wěn)定性,魯棒性顯著降低。與校正前實(shí)際輸出電阻值相比,精度度更高(誤差在0.001以?xún)?nèi)),具體如表1所示。

3 結(jié)論與展望

目前,動(dòng)態(tài)誤差校正技術(shù)研究取得了一些成果,但仍存在一些問(wèn)題,如動(dòng)態(tài)誤差建模實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)修正問(wèn)題[7]。未來(lái),需進(jìn)一步深入研究,將動(dòng)態(tài)誤差校正技術(shù)精度顯著提升至0.0001以上,使其魯棒性顯著降低,靈敏度提高至0.0001 s,具有更強(qiáng)的自適應(yīng)度[8-10]。