永磁同步直線電機(jī)的降階線性自抗擾控制器研究*

邱國(guó)富,賀云波,陳觀軒,范文斌,吳浩苗

(廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,廣州 510006)

0 引言

高端芯片封裝設(shè)備的運(yùn)動(dòng)控制平臺(tái)為了實(shí)現(xiàn)高速高精度定位的目的,一般都會(huì)使用永磁同步直線電機(jī)(PMSLM)驅(qū)動(dòng)[1]。與旋轉(zhuǎn)電機(jī)相比,直線電機(jī)不需要機(jī)械傳動(dòng)環(huán)節(jié),提高了系統(tǒng)的傳動(dòng)剛度和效率,并減少了機(jī)械磨損,能更快實(shí)現(xiàn)微米級(jí)精密定位。但是不管是控制直線電機(jī)還是旋轉(zhuǎn)電機(jī),在工業(yè)領(lǐng)域,90%以上的控制方式是經(jīng)典的PID控制。雖然PID有著參數(shù)少,對(duì)模型依賴(lài)不高等優(yōu)點(diǎn),但是也有對(duì)環(huán)境適應(yīng)差,受系統(tǒng)內(nèi)外干擾影響大等缺點(diǎn)。如果能用一種不依賴(lài)模型,抵抗干擾能力更強(qiáng)的控制器來(lái)控制電機(jī),電機(jī)的性能可以得到充分的釋放,在封裝設(shè)備中達(dá)到更好的定位效果。自抗擾控制器就有著這樣的優(yōu)點(diǎn)。

自抗擾控制(ADRC)是一種新型的非線性魯棒控制技術(shù)[2],其把內(nèi)部動(dòng)態(tài)不確定性和外部未知擾動(dòng)在輸入輸出通道上的總和作用,即所謂“總擾動(dòng)”,定義為系統(tǒng)的擴(kuò)張狀態(tài),并通過(guò)構(gòu)造擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)時(shí)地估計(jì)、消除,從而把被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)還原為積分串聯(lián)型,一舉解決了不確定性這個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題,滿(mǎn)足工程實(shí)踐的剛需。為了方便ADRC在工程上的普及應(yīng)用,高志強(qiáng)提出了線性自抗擾控制(LADRC),減少了ADRC調(diào)參數(shù)目[3]。已經(jīng)有不少學(xué)者研究過(guò)自抗擾在直線電機(jī)上的應(yīng)用。施昕昕等[4]基于分?jǐn)?shù)階微積分原理和自抗擾技術(shù),提出了基于分?jǐn)?shù)階自抗擾的直線電機(jī)點(diǎn)位運(yùn)動(dòng)控制算法,有效地實(shí)現(xiàn)直線電機(jī)點(diǎn)位運(yùn)動(dòng)控制性能。奚靜思等[5]針對(duì)自抗擾控制器參數(shù)多,整定困難的問(wèn)題,設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)的線性自抗擾控制器,可實(shí)現(xiàn)線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器和線性反饋環(huán)節(jié)參數(shù)的在線實(shí)時(shí)自適應(yīng)整定。陳志翔等[6]設(shè)計(jì)了一種基于非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的自抗擾控制器,有效解決了直線電機(jī)伺服系統(tǒng)在對(duì)期望信號(hào)的跟蹤過(guò)程中跟蹤速度與峰化現(xiàn)象之間的矛盾。劉亞超等[7]提出一種位置環(huán)的改進(jìn)線性自抗擾控制方法,避免引入速度估計(jì)信號(hào)的滯后影響,能有效減小跟蹤誤差,降低超調(diào)。同時(shí),也有些學(xué)者對(duì)不同階數(shù)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)進(jìn)行研究[8-10],通過(guò)降階觀測(cè)器獲得更精確的擾動(dòng)估值。

本研究針對(duì)常規(guī)ESO對(duì)系統(tǒng)總擾動(dòng)估計(jì)不精確、相位滯后的問(wèn)題,先從理論上分析不同階數(shù)的ESO對(duì)LADRC控制器性能的影響,然后分別設(shè)計(jì)了降一階R1LADRC、降兩階R2LADRC,以及一種改進(jìn)的IR2LADRC,并在高速高精度XY運(yùn)動(dòng)控制平臺(tái)上通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 PMSLM建模與辨識(shí)

1.1 PMSLM的數(shù)學(xué)模型

在不考慮電機(jī)的渦流和磁滯損耗的情況下,可建立PMSLM在d-q坐標(biāo)系下的等效電流方程:

(1)

式中:R為動(dòng)子繞組,id、iq、ud、uq、Ld、Lq分別為d、q軸上的電流、電壓和電感,ψPM為永磁體磁鏈,v為動(dòng)子運(yùn)動(dòng)速度,τ為極距。

電磁推力方程以及機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為:

(2)

(3)

式中:Fe為電磁推力,m為平臺(tái)質(zhì)量,B為粘滯摩擦系數(shù),Fd為負(fù)載阻力。

采用id=0的矢量控制方式,d軸和q軸電感近似相等,Ld=Lq,簡(jiǎn)化后PMSLM數(shù)學(xué)模型為:

(4)

為進(jìn)一步簡(jiǎn)化PMSLM的控制模型,將電流環(huán)近似為單位比例環(huán)節(jié)。位置環(huán)控制器計(jì)算得到控制電壓u,u經(jīng)過(guò)線性縮放得到參考q軸電流i。于是驅(qū)動(dòng)器電壓u到電機(jī)位移y的二階模型傳遞函數(shù)形式表達(dá)為:

(5)

1.2 PMSLM的模型參數(shù)辨識(shí)

對(duì)X軸電機(jī)做階躍響應(yīng)測(cè)試,驅(qū)動(dòng)器輸出電流1 A,持續(xù)時(shí)間0.2 s,得到階躍響應(yīng)的曲線如圖1所示。

圖1 電機(jī)階躍響應(yīng)

將反饋電流與反饋速度的時(shí)域數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB進(jìn)行擬合,得到電流i到電機(jī)速度v的傳遞函數(shù)為:

(6)

此時(shí)驅(qū)動(dòng)器Current Scaling模塊1 A電流對(duì)應(yīng)0.4 V電壓,所以驅(qū)動(dòng)器電壓到電機(jī)位移的傳遞函數(shù)為:

(7)

該模型的擬合程度為99.65%,擁有很高的辨識(shí)準(zhǔn)確性。

2 線性自抗擾控制器設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

由式(7)可知,PMSLM平臺(tái)的理想微分方程形式為:

(8)

考慮平臺(tái)在實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還會(huì)受到各種干擾,比如建模誤差,摩擦力變化,電機(jī)力常數(shù)改變等,將其統(tǒng)一為總擾動(dòng)并加入到式(8)中得:

(9)

(10)

2.2 普通的線性自抗擾控制

線性自抗擾控制(LADRC)包括線性狀態(tài)誤差反饋控制率(LSEF)和線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)。跟蹤微分器由四階S型運(yùn)動(dòng)規(guī)劃代替[11]。

根據(jù)系統(tǒng),LESO設(shè)計(jì)為:

(11)

式中:z1、z2、z3分別為系統(tǒng)狀態(tài)x1、x2、x3的估計(jì)值,β1、β2、β3為觀測(cè)器參數(shù)。選取合適的β1、β2、β3,使各觀測(cè)值趨近于觀測(cè)對(duì)象。相應(yīng)的LSEF設(shè)計(jì)為:

(12)

(13)

式中:ωo為觀測(cè)器帶寬,ωc為控制器帶寬。

2.3 降一階的線性自抗擾控制(R1LADRC)

電機(jī)位置y可以由光柵尺直接測(cè)量得到,可在式(11)中刪除相關(guān)結(jié)構(gòu)得到降一階的線性觀測(cè)器(reduce one order LESO)。

(14)

此時(shí),LSEF設(shè)計(jì)為:

(15)

使用帶寬法整定參數(shù)結(jié)果為:

(16)

2.4 降兩階的線性自抗擾控制(R2LADRC)

電機(jī)的速度可由位置y差分得到,觀測(cè)器可降兩階,只觀測(cè)擾動(dòng)值,降兩階的線性觀測(cè)器(Reduce two order LESO)為:

(17)

此時(shí)LSEF設(shè)計(jì)為:

(18)

使用帶寬法整定參數(shù)結(jié)果為:

(19)

2.5 改進(jìn)的降兩階的線性自抗擾控制(IR2LADRC)

在XY運(yùn)動(dòng)平臺(tái)伺服系統(tǒng)中,時(shí)間是整數(shù),單位是sample,轉(zhuǎn)化成國(guó)際單位1 sample=0.25 ms;位置也是整數(shù),單位是count,轉(zhuǎn)化成國(guó)際單位1 count=0.4 μm。相應(yīng)地,采樣回來(lái)的最小位移是1 count=0.000 4 mm,最小速度1 count/sample=1.6 mm/s,最小加速度1 count/sample2=6400 mm/s2。電機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí),每個(gè)伺服周期運(yùn)控卡控制算法運(yùn)算前,需要將光柵編碼器讀取的位置數(shù)據(jù)(單位是count)聯(lián)合系統(tǒng)伺服周期(單位是sample)轉(zhuǎn)換成國(guó)際單位制(mm,mm/s,mm/s2)的數(shù)據(jù)。此時(shí),得到國(guó)際單位制下位置和速度數(shù)據(jù)的精度滿(mǎn)足使用需求,但是加速度轉(zhuǎn)換單位時(shí)乘以6400,得到的國(guó)際單位下加速度數(shù)據(jù)精度很低,直接用在式(17)的離散方程中噪聲很大,得到的擾動(dòng)估計(jì)值不準(zhǔn)確。為此可以將式(17)左右兩邊同時(shí)積分得:

(20)

式(20)里面沒(méi)有了加速度項(xiàng),加速度積分后變成速度,而速度轉(zhuǎn)換成國(guó)際單位后精度依然滿(mǎn)足要求,因此將式(20)的離散方程寫(xiě)入運(yùn)控卡DSP中,就可提升擾動(dòng)的觀測(cè)準(zhǔn)確性。

2.6 不同階觀測(cè)器分析

由式(11)和式(13)可得LESO的Z3傳遞函數(shù)為:

(21)

根據(jù)式(9)有:

f=s2Y-b0U

(22)

聯(lián)立式(21)和式(22)可得LESO的擾動(dòng)觀測(cè)傳遞函數(shù)為:

(23)

同理可得R1ESO和R2ESO的擾動(dòng)觀測(cè)傳遞函數(shù)分別為:

(24)

(25)

圖2是傳統(tǒng)LESO、R1LESO和R2LESO的擾動(dòng)觀測(cè)傳遞函數(shù)伯德圖。從圖中可以看出,在所有頻率段,擾動(dòng)觀測(cè)能力R2LESO>R1LESO>LESO,R2LESO的相位滯后是最小的。因此,理論上,在相同觀測(cè)器帶寬ωo下,R2LADRC性能應(yīng)該優(yōu)于R1LADRC,而R1LADRC性能又應(yīng)該優(yōu)于LADRC。

圖2 不同階LESO伯德圖對(duì)比

2.7 穩(wěn)定性分析

定義估計(jì)誤差:ε1=x1-z1,ε2=x2-z2,ε3=x3-z3,由式(10)和式(11)可得估計(jì)狀態(tài)誤差方程為:

(26)

(27)

(28)

(29)

對(duì)V求導(dǎo)得:

(30)

即證明LADRC閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。同理可證R1LADRC、R2LADRC閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

如圖3所示,實(shí)驗(yàn)平臺(tái)是高速高精度XY運(yùn)動(dòng)平臺(tái),該平臺(tái)由本實(shí)驗(yàn)室自主研發(fā)的永磁同步直線電機(jī)、GHN系列運(yùn)控卡、GTHD系列驅(qū)動(dòng)器、LIDA477系列光柵尺和讀數(shù)頭組成。利用Visual Studio 2019軟件的MFC庫(kù)編寫(xiě)上位機(jī)軟件和使用DSP開(kāi)發(fā)軟件CCES2.9.3編寫(xiě)文中所述的伺服算法和規(guī)劃算法。

圖3 XY運(yùn)動(dòng)平臺(tái)

實(shí)驗(yàn)中用到了XY運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的X軸,使用第2節(jié)的4個(gè)自抗擾算法,跑同一個(gè)S型運(yùn)動(dòng)規(guī)劃4 mm,20 m/s2。真實(shí)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)往往比系統(tǒng)辨識(shí)出來(lái)的模型更加復(fù)雜,在實(shí)驗(yàn)時(shí)不同的LADRC若采用相同的參數(shù)性能差異很大,在調(diào)參過(guò)程甚至出現(xiàn)了撞機(jī)等危險(xiǎn)工況,因此不同的控制器每個(gè)參數(shù)都單獨(dú)調(diào)試,在多次調(diào)試后得到的不同的LADRC最佳參數(shù)如表1所示,并和PID對(duì)比。

表1 4種LADRC的控制參數(shù)

運(yùn)動(dòng)結(jié)果如圖4所示,將圖4中的數(shù)據(jù)信息整理得表2。

表2 不同控制器運(yùn)動(dòng)性能對(duì)比

(a) 反饋位置對(duì)比 (b) 位置誤差對(duì)比圖4 S型點(diǎn)位運(yùn)動(dòng)對(duì)比

如表2所示,4種LADRC的3項(xiàng)指標(biāo)都優(yōu)于傳統(tǒng)的PID。整定時(shí)間上,IR2LADRC在整定到5 μm用時(shí)最短,僅僅用了9.75 ms,比僅次于它的LADRC快了1.12倍,比未改進(jìn)的R2LADRC快了3.94倍,驗(yàn)證了式(18)的改進(jìn)方法在實(shí)驗(yàn)中的有效性,大大縮短了整定時(shí)間。IR2LADRC不足的地方就是最大動(dòng)態(tài)誤差比其他3個(gè)LADRC都要大,動(dòng)態(tài)跟隨偏慢。

4 結(jié)論

在PMSLM平臺(tái)的位置控制中,針對(duì)傳統(tǒng)控制方法動(dòng)態(tài)響應(yīng)慢,跟蹤精度低等問(wèn)題,在對(duì)傳統(tǒng)LADRC的ESO進(jìn)行理論分析后,并且結(jié)合實(shí)驗(yàn)平臺(tái)自身的缺點(diǎn),使用改進(jìn)后降階ESO的LADRC控制電機(jī),取得了性能優(yōu)于傳統(tǒng)PID和LADRC的控制效果。