軸向力下圓錐結(jié)合面切向剛度分形模型分析*

靳 嵐,李衛(wèi)兵,盧世奇,曾鑫磊

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,蘭州 730050)

0 引言

圓錐連接因具有可易調(diào)整過盈量、拆卸方便和降低連接界面損傷等特點(diǎn)[1],廣泛應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)類機(jī)械裝備以實(shí)現(xiàn)傳遞扭矩等工作,如高性能機(jī)床電主軸中主軸-刀柄的圓錐連接、高壓輥磨機(jī)主軸與輥套的圓錐連接、船舶重載輪轂圓錐連接等。在這類圓錐連接時,由于結(jié)合面受壓產(chǎn)生了變形,使得由結(jié)合面法向接觸剛度、切向剛度組成的圓錐連接整體剛度影響著傳遞扭矩的有效性,其中切向剛度的強(qiáng)弱對工況下的圓錐連接裝配體回轉(zhuǎn)精度和安全性有著重要的影響。因此準(zhǔn)確建立圓錐結(jié)合面切向剛度模型,對分析圓錐結(jié)合面的接觸特性,提高圓錐連接的整體剛度尤為重要。

對于結(jié)合面切向剛度模型的建立,眾多學(xué)者進(jìn)行了不斷地探索。陳奇等[2]建立了圓柱結(jié)合面切向剛度模型,研究了摩擦因數(shù)、分形維數(shù)、特征尺度參數(shù)、材料的特性系數(shù)等對結(jié)合面切向剛度的影響。李志濤等[3]應(yīng)用改進(jìn)分形理論及連續(xù)變形理論建立了切向剛度模型,發(fā)現(xiàn)兩結(jié)合面的靜摩擦力使實(shí)際接觸面積增大,導(dǎo)致結(jié)合面剛度也增大。王世軍等[4]考慮了微凸體彈塑性過渡階段的彈性,研究結(jié)果表明,切向剛度隨著法向載荷的增大而增大,隨著特征尺度參數(shù)與切向載荷的增大,切向剛度減小。孫寶財(cái)?shù)萚5]根據(jù)微凸體接觸變形方式,建立了滑動摩擦界面切向剛度分形模型,認(rèn)為切向剛度隨分形維數(shù)、真實(shí)接觸面積和材料特性系數(shù)的增大而增大,切向剛度隨特征尺度、摩擦系數(shù)的增大逐漸減小,但忽略了微凸體之間的相互作用。王潤瓊等[6]提出考慮微凸體相互作用、且引入域擴(kuò)展因子可使所建結(jié)合面接觸剛度分形模型更加準(zhǔn)確。

在眾多切向剛度模型研究中,很多都是建立的平面或圓柱面結(jié)合面切向剛度分形模型,很少有圓錐結(jié)合面接觸剛度的相關(guān)文獻(xiàn)。為了建立較為準(zhǔn)確的圓錐結(jié)合面切向剛度模型,分析軸向加載過程中的圓錐結(jié)合面各參數(shù)影響切向剛度的規(guī)律,本文通過借鑒圓柱結(jié)合面接觸剛度分形模型,構(gòu)造了圓錐結(jié)合面接觸系數(shù)λc,為建立圓錐結(jié)合面接觸分形模型奠定基礎(chǔ);在此基礎(chǔ)上,在考慮微凸體相互作用的前提下引入域擴(kuò)展因子,構(gòu)建了圓錐結(jié)合面切向剛度分形模型。最后以高性能加工中心關(guān)鍵部件高速主軸中的主軸-刀柄圓錐連接為研究對象,通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較,驗(yàn)證建立的圓錐結(jié)合面切向剛度分形模型的準(zhǔn)確性,并獲得了軸向力加載過程中的分形維數(shù)D、特征尺度G、材料塑性指數(shù)φ等因素影響主軸-刀柄圓錐連接裝配體結(jié)合面切向剛度的規(guī)律,為承受軸向載荷的圓錐連接設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

1 構(gòu)造圓錐結(jié)合面接觸系數(shù)

圓錐結(jié)合面接觸系數(shù)λc主要用于修正圓錐面接觸面積密度分布函數(shù),是建立圓錐結(jié)合面切向剛度分形模型的必要條件。

1.1 圓錐結(jié)合面幾何模型

將圓錐結(jié)合面沿軸向按等長度分割成N段(N∈∝),并將分割后的每一小段近似看作半徑為Riy的圓柱面,如圖1所示。

圖1 分割后的圓錐結(jié)合面幾何模型

為了計(jì)算圓錐結(jié)合面的接觸系數(shù)λc,在圖1中以圓錐連接小端的中心為原點(diǎn)o,以軸向、徑向分別作為x軸及y軸建立坐標(biāo)系xoy,圖中R1為圓錐連接小端的半徑;B為圓錐有效連接長度;L為B在軸向方向的投影;Riy為第i段圓錐連接界面等效為圓柱連接界面的半徑;α為圓錐連接界面的圓錐角。

由圖1可得到圓錐結(jié)合面有效接觸長度B與L的關(guān)系式為:

L=Bcosα

(1)

由圖1可以確定,圓錐第i段結(jié)合面的半徑Riy表示為:

Riy=R1+imtanα(i=1,2,…,N)

(2)

式中:m表示每段圓柱片的長度,m=L/N。

1.2 接觸系數(shù)

根據(jù)圖1所示的分割后圓錐結(jié)合面的幾何模型,參考圓柱結(jié)合面接觸系數(shù)[7],可以得到圓錐結(jié)合接觸系數(shù)λc,表達(dá)式為:

(3)

當(dāng)Riy=Riy+1時,兩圓錐面完全內(nèi)接觸,λc=0.98。

2 圓錐結(jié)合面法向載荷

對于圓錐連接裝配體,如圖2所示,從加工工藝角度來說,錐體(被包容件)外表面比錐套(包容件)內(nèi)表面的加工更容易控制,因此在微觀尺度上,錐套內(nèi)表面、錐體外表面分別等效為剛性平面與粗糙表面,該兩表面連接形成圓錐結(jié)合面。

圖2 圓錐連接裝配體

圓錐連接裝配后,當(dāng)圖2中錐體受到F軸向力時,圓錐結(jié)合面將產(chǎn)生法向載荷。粗糙表面各微凸體在法向載荷的作用下發(fā)生變形,且各個微凸體之間將產(chǎn)生相互作用,導(dǎo)致粗糙表面微凸體的平均高度發(fā)生變化,如圖3所示,圖中R代表微凸體等效曲率半徑,δ為微凸體的變形量,l為微凸體輪廓底面直徑,p為法向載荷,r為實(shí)際接觸面積半徑,r′為理想接觸面積半徑,z為給定微凸體的輪廓高度,d為剛性平面與變形前微凸體平均高度面的距離,dn為剛性平面與結(jié)合面在承受法向載荷p變形后微凸體平均高度面的距離,δ′為微凸體間的相互作用而引起的平均高度面的變形量,根據(jù)G-W模型[8],假設(shè)在錐體與錐套結(jié)合面處微凸體接觸域?yàn)閳A形,A為理想接觸面積,a為實(shí)際接觸面積。

圖3 微凸體在相互作用下的變形狀態(tài)圖

圓錐結(jié)合面接觸域上,微凸體相互作用下的單個微凸體的法向載荷為[6]:

(4)

(5)

式中:l為微凸體輪廓底面直徑,G為特征尺度參數(shù),D為分形維數(shù)。

基于分形接觸理論[10],結(jié)合文獻(xiàn)[11]和1.2節(jié)中獲得的圓錐結(jié)合面接觸系數(shù)λc帶入接觸面積為a的面積密度分布函數(shù)進(jìn)行修正,同時引入表示微凸體接觸大小分布的域擴(kuò)展因子ψ,得到圓錐結(jié)合面接觸面積密度分布函數(shù):

(6)

式中:al為圓錐結(jié)合面上最大接觸點(diǎn)的面積,其中ψ值的大小與分形維數(shù)有關(guān),且分形維數(shù)與域擴(kuò)展因子之間滿足[12]:

(7)

假設(shè)ac為微凸體發(fā)生彈性變形與塑性變形的臨界接觸面積。

當(dāng)a>ac時,微凸體發(fā)生彈性變形,微凸體上的法向載荷為:

(8)

當(dāng)a

pp(a)=kσya

(9)

式中:k是與硬度H和屈服強(qiáng)度σy有關(guān)的常數(shù),且滿足k=H/σy。

在錐體持續(xù)承受軸向力時,圓錐結(jié)合面上接觸域微凸體將發(fā)生彈性變形和塑性變形,則微凸體上法向載荷可認(rèn)為彈性載荷與塑性載荷之和。在這個狀態(tài)下,對微凸體接觸面積函數(shù)n(a)積分可得到圓錐結(jié)合面接觸全域上的法向載荷:

(10)

對式(10)進(jìn)行積分整理后,推導(dǎo)得到綜合考慮微凸體相互作用和引入域擴(kuò)展因子ψ后的圓錐結(jié)合面法向載荷為:

(11)

整理得圓錐結(jié)合面無量綱法向載荷P表達(dá)式為:

(12)

3 圓錐結(jié)合面切向剛度

3.1 微凸體相互作用下的單個微凸體切向剛度

考慮到微凸體相互作用的因素后,當(dāng)單個微凸體受法向載荷p和切向載荷t后,兩個微凸體之間產(chǎn)生切向變形量為ε,如圖4所示。并存在如式(13)關(guān)系[13]:

圖4 微凸體相互作用影響下的切向變形圖

(13)

根據(jù)式(13),結(jié)合文獻(xiàn)[6],推導(dǎo)得到微凸體相互作用下的單個微凸體的切向剛度模型:

(14)

3.2 圓錐結(jié)合面全域上的切向剛度

隨著局部法向接觸載荷的逐漸增大,發(fā)生塑性變形的微凸體將產(chǎn)生塑性流動,切向剛度趨近于零。因此在建立圓錐結(jié)合面的切向剛度模型時,只需考慮發(fā)生彈性變形的微凸體,則結(jié)合面的切向剛度KT可以表示為:

(15)

在同時考慮域擴(kuò)展因子ψ、圓錐結(jié)合面接觸系數(shù)λc、最大接觸點(diǎn)的面積al和實(shí)際接觸面積Ar時滿足關(guān)系:

(16)

將式(6)、式(14)帶入式(15)得到圓錐結(jié)合面接觸全域上的切向剛度KT:

(17)

根據(jù)文獻(xiàn)[14]得知作用于單個微凸體的法向載荷p與切向載荷t之比滿足T/P=t/p,其中T為結(jié)合面切向載荷,且T=τbAr(τb為錐體材料的剪切強(qiáng)度)。對圓錐結(jié)合面切向剛度KT進(jìn)行無量綱化處理,對式中切向剛度KT、法向載荷P、臨界接觸面積ac進(jìn)行無量綱化,即各個參數(shù)所對應(yīng)的形式為:

(18)

4 算例應(yīng)用

高速主軸作為高性能加工中心關(guān)鍵部件,其內(nèi)部結(jié)構(gòu)中的主要組件主軸-刀柄連接是圓錐連接的典型應(yīng)用,如圖5所示。本文依據(jù)3.2節(jié)建立的圓錐結(jié)合面切向剛度模型,從微觀尺度對拉刀力(軸向力)加載過程中的主軸-刀柄連接裝配體圓錐結(jié)合面切向剛度進(jìn)行分析探討。

圖5 主軸-刀柄圓錐連接示意圖

4.1 切向剛度模型的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在主軸-刀柄圓錐裝配體中,作為被包容件的刀柄受力分析如圖6所示,圖中R0為刀柄大端半徑,R1為刀柄小端半徑,α為圓錐角度,在主軸-刀柄宏觀結(jié)合面處,P為結(jié)合面均布法向載荷,且處處相等,KT為結(jié)合面切向載荷,F為刀柄所受拉桿軸向力,L為刀柄的軸向長度。

圖6 刀柄受力示意圖

某高速主軸-刀柄的實(shí)測幾何參數(shù)如表1所示,材料參數(shù)如表2所示。

表1 刀柄實(shí)測的幾何參數(shù)

表2 主軸-刀柄材料的參數(shù)

由圖6可得,R0、R1與刀柄錐面的面積Aa之間滿足關(guān)系[15]:

(19)

式中:R1與R0滿足R1=R0-Ltanα。

刀柄錐面法向力P與刀柄拉刀力(軸向力)F滿足:

P=Fsinα

(20)

假設(shè)主軸-刀柄圓錐結(jié)合面在宏觀上所受載荷P是均布的,則在微觀尺度上是一個均勻的接觸狀態(tài),建立法向載荷模型和切向剛度模型時,首先需要確定微凸體臨界接觸面積ac和接觸面上最大接觸點(diǎn)的接觸面積al,但接觸面積al在微觀尺度上很難直接得到,可借助式(20)刀柄受F軸向力間接計(jì)算得到圓錐面法向載荷P,結(jié)合式(11)可以得到微凸體接觸面積al,將所得接觸面積al帶入式(16)可得出實(shí)際接觸面積Ar。

刀柄表面輪廓和粗糙度通過針式表面粗糙度儀測量,采樣長度為0.8 mm,采樣步長為0.5 μm,粗糙度Ra為0.6。得刀柄的表面輪廓,如圖7所示。

圖7 刀柄表面輪廓曲線

選用結(jié)構(gòu)函數(shù)法[16]計(jì)算得到刀柄表面的分形參數(shù),在粗糙度Ra=0.6時刀柄對應(yīng)的分形維數(shù)和特征尺度參數(shù)如表3所示。

表3 刀柄表面的分形參數(shù)

并將上述得到的主軸-刀柄結(jié)合面的分形參數(shù)帶入所建圓錐結(jié)合面分形模型中,得到主軸-刀柄結(jié)合面切向剛度值,如圖8所示。通過與文獻(xiàn)[17]主軸-刀柄實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比,可以得知本文建立的圓錐結(jié)合面切向剛度模型有較好的準(zhǔn)確性,更符合實(shí)際的接觸情況。

圖8 理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較圖

4.2 軸向力加載過程中的各參數(shù)對主軸-刀柄切向剛度的影響

為了便于數(shù)據(jù)的分析比較,分形參數(shù)的取值將在實(shí)際計(jì)算值的附近取值,則分形維數(shù)D的取值分別為1.58、1.68、1.78;無量綱的結(jié)合面分形特征尺度參數(shù)G*取值分別為1.11×10-8、1.11×10-9、1.11×10-10。經(jīng)計(jì)算h=T/P其取值分別為0.078、0.109、0.136;刀柄材料的特性系數(shù)φ的取值分別為0.003、0.004、0.005。

(a) 不同分形維數(shù)D下與F*關(guān)系 (b) 不同特征尺度參數(shù)G*下與F*關(guān)系

根據(jù)上述曲線圖對其進(jìn)行詳細(xì)分析,討論刀柄軸向力的變化在不同參數(shù)下對主軸-刀柄結(jié)合面切向剛度的影響趨勢:

(1)由圖9a分析可知:在特征參數(shù)G、特性系數(shù)φ、不同比值h等參數(shù)不變的前提下,隨著軸向力F的逐漸增大,切向剛度也逐漸增大。這是因?yàn)楫?dāng)結(jié)合面法向接觸載荷逐漸增大時,主軸-刀柄圓錐結(jié)合面上的微凸體發(fā)生彈性變形的數(shù)量占結(jié)合面總微凸體的比例會更大;軸向力F相同的情況下,分形維數(shù)D越大則切向剛度越大,這是由于結(jié)合面的分形維數(shù)D能夠反映出物體表面的粗糙程度,當(dāng)結(jié)合面分形維數(shù)D增大時,表面粗糙度越小。結(jié)合面發(fā)生彈性接觸的微凸體數(shù)目增多,從而結(jié)合面切向剛度增大。

(2)由圖9b分析可知:在分形維數(shù)D、特性系數(shù)φ、不同比值h等參數(shù)不變的前提下,在相同軸向力F時,特征尺度參數(shù)G越小,表面越光滑,切向剛度就越大。所以減少結(jié)合面特征尺度參數(shù)G有利于提高結(jié)合面切向剛度;主軸-刀柄圓錐結(jié)合面切向剛度隨著軸向力F的增大與特征尺度參數(shù)G的減小近似成線性關(guān)系,且特征尺度參數(shù)G越小結(jié)合面切向剛度增長趨勢越明顯。

(3)由圖9c分析可得:在分形維數(shù)D、特征參數(shù)G、不同比值h等參數(shù)不變的前提下,主軸-刀柄切向剛度隨著φ的增大而逐漸增大。因?yàn)殡S著φ的增大,可知材料的屈服強(qiáng)度σy也增大。臨界接觸面積ac將減小,接觸面間的彈性接觸的比例增大,導(dǎo)致結(jié)合面的切向剛度增大;考慮微凸體相互作用和域擴(kuò)展因子時,在分形參數(shù)不變的情況下,φ越大切向剛度增大的趨勢越明顯。

(4)由圖9d分析可知:分形維數(shù)D、特征參數(shù)G、特性系數(shù)φ等參數(shù)不變的前提下,從圖中曲線可以看出,在相同的法向載荷下比值h越小則主軸-刀柄圓錐結(jié)合面處切向剛度越大;在主軸-刀柄圓錐結(jié)合面處,當(dāng)切向載荷T一定時,隨著比值h=T/P的逐漸減少,此時法向載荷P隨之增大,即意味著軸向力F也隨之增大。推得適當(dāng)提高拉刀力F則有助于提高主軸-刀柄圓錐結(jié)合面處切向剛度。

5 結(jié)論

本文在考慮微凸體相互作用的條件下,引入域擴(kuò)展因子建立較為準(zhǔn)確的圓錐結(jié)合面且切向剛度接觸分形模型,得到了軸向力加載過程中的分形參數(shù)、材料特性系數(shù)等對其切向剛度的影響規(guī)律,分析得如下結(jié)論:

(1)選擇特性系數(shù)φ較大的錐體(刀柄)材料,或者增大分形維數(shù)D,即降低主軸-刀柄結(jié)合面粗糙度,可適當(dāng)提高結(jié)合面切向剛度KT。

(2)軸向力F的增大有利于提高主軸-刀柄結(jié)合面的切向剛度KT,因此,適當(dāng)選取合適的拉刀力可以提高結(jié)合面切向剛度KT,對主軸-刀柄拉刀力的設(shè)計(jì)提供理論參考。