靈活運(yùn)用放縮法，快速證明數(shù)列不等式

在解題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到一類有關(guān)數(shù)列的和的不等式證明題.這類問題中數(shù)列的形式一般較為復(fù)雜，無法直接運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解，需靈活運(yùn)用放縮法，以順利化簡(jiǎn)和式，才能證明不等式.運(yùn)用放縮法證明數(shù)列不等式，需利用不等式的傳遞性對(duì)數(shù)列進(jìn)行合理的放縮，以化繁為簡(jiǎn)、化難為易.那么如何進(jìn)行合理的放縮呢？

一、通過裂項(xiàng)進(jìn)行放縮

在證明數(shù)列不等式時(shí)，我們首先要分析待證不等式的特點(diǎn)和數(shù)列各項(xiàng)之間存在的某種規(guī)律，可將數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行變形、放縮，使之可以裂為兩項(xiàng)之差的形式，如（1）=-，（2）=-，那么在求和時(shí)，相鄰的兩項(xiàng)便會(huì)彼此相消；然后通過化簡(jiǎn)求得數(shù)列的和，即可證明不等式.

例1.

證明：

仔細(xì)觀察不等式，可發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 1 n ，而 2（ n + 1 - n） lt; 1 n lt; 2（ n - n - 1） ，通過變形，即可將數(shù)列的通項(xiàng)公式放縮為兩項(xiàng)之差的形式.再將n=1，2，3，…，n時(shí)的各式相加，那么互為相反數(shù)的兩項(xiàng)即可相消，根據(jù)裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的和的臨界值，便可證明數(shù)列不等式成立.

二、利用數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行放縮

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有單調(diào)性.在證明數(shù)列不等式時(shí)，我們可以根據(jù)不等式的特征構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷出數(shù)列或函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將數(shù)列的和式放縮，從而證明不等式.

例2

證明

先將不等式的左右兩側(cè)的式子移項(xiàng)，構(gòu)造出 f （n）= an - （n + 1） 2 2 、g（n）= an - n（n + 1） 2 ；然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義比較 f （n + 1）- f （n）與0、g（n + 1）- g（n） 與0 的大小，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，便可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較出 an 與 n（n + 1） 2 、 （n + 1） 2 2 的大小關(guān)系.

三、利用重要不等式進(jìn)行放縮

數(shù)學(xué)中的重要不等式很多，如糖水不等式 b a gt; b + m a + m（b gt; a gt; 0，m gt; 0） 和 b a lt; b + m a + m（a gt; b gt; 0，m gt; 0） ，基本不等式 ab ≤ a + b 2 ≤ a2 + b 2 2 ，a，b∈ R+ ，柯西不等式 （a ） 2 + b 2 （x ） 2 + y2 ≥（ax + by） 2 等.在證明不等式時(shí)，我們可以根據(jù)這些重要不等式進(jìn)行放縮，利用不等式的傳遞性證明結(jié)論.

例3

證明

解答本題，需運(yùn)用糖水不等式對(duì)數(shù)列的積進(jìn)行變形，根據(jù)不等式的可乘性證明結(jié)論.對(duì)于m的取值，可根據(jù)變形的需要靈活取值.

例4

證明

數(shù)列的通項(xiàng)公式中的 k（k + 1） 為兩式的積，由此聯(lián)想到基本不等式的變形式 ab ≤ a + b 2 ，于是運(yùn)用基本不等式對(duì)其變形可得 k（k + 1） lt; k + k + 1 2 = k + 1 2 .再將k=1，2，3，…，n時(shí)的式子累加，即可證明不等式.

四、通過添項(xiàng)或去項(xiàng)進(jìn)行放縮

在證明數(shù)列不等式時(shí)，我們可以將數(shù)列的通項(xiàng)公式或和式進(jìn)行合理的變形，如舍掉或添加一些項(xiàng)，使其擴(kuò)大或縮小，以讓和式盡量接近所要證明的目標(biāo).

例5.求證：++…+lt;.

證明：

證明該數(shù)列不等式，我們需不斷嘗試，從第三項(xiàng)開始舍掉一些正項(xiàng)，通過放縮，構(gòu)造出等比數(shù)列，以利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)和式，從而證明不等式.添加或舍去不同的項(xiàng)，得到的結(jié)果也有差異.因此我們要權(quán)衡放縮的“度”，經(jīng)過多次嘗試，讓所得的結(jié)果盡量靠近目標(biāo).

從上述分析可以看出，放縮法是證明數(shù)列不等式的重要方法，但放縮法較為靈活，放縮的尺度很難把握.同學(xué)們需積累解題經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)數(shù)列不等式的結(jié)構(gòu)特征選擇合適的放縮方法，并適當(dāng)?shù)乜刂品趴s的尺度，才能順利證明不等式.