數(shù)形互化，提升解題的效率

數(shù)形結(jié)合思想在解題中應(yīng)用廣泛.在解題時，我們可以將“數(shù)”化為“形”，根據(jù)數(shù)量關(guān)系和代數(shù)式的幾何意義畫出幾何圖形，通過研究圖形的特征、位置關(guān)系來建立數(shù)量關(guān)系；還可以以“數(shù)”助“形”，根據(jù)圖形的特征和位置關(guān)系，尋找變量之間的關(guān)系，建立方程、不等式，從而快速找到解題的思路與方法.那么如何進(jìn)行數(shù)形互化呢？

一、根據(jù)“數(shù)”“形”之間的直接對應(yīng)關(guān)系

一般地，“數(shù)”“形”之間存在直接對應(yīng)的關(guān)系，如函數(shù)y=x是一條過原點的直線；x 2 + y2 = r 2 是圓心為原點，半徑為r的圓的方程；y = x 2 是一條過原點的拋物線.若題目中給出一些代數(shù)式、幾何圖形，那么同學(xué)們就要嘗試尋找“數(shù)”“形”之間的對應(yīng)關(guān)系，將所學(xué)方程、函數(shù)、不等式、向量等與曲線、函數(shù)圖象、平面區(qū)域等關(guān)聯(lián)起來，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義畫圖，或者根據(jù)圖形的特征建立數(shù)量關(guān)系.

例1.

解：

本題中的 | | PA 2 、| | PB 2 、| | CP 2 均與距離有關(guān)，于是畫出相應(yīng)的圖形，將 | | PA 、| | PB 、| | CP 看作向量的模，根據(jù)向量的三角形法則建立向量關(guān)系，通過向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算，運(yùn)用向量的數(shù)量積公式求得問題的答案.

例2

解

我們需首先根據(jù)A、B、C三點的坐標(biāo)求出f（x）以及y=xf（x）的解析式；然后畫出y=xf（x）的圖象；最后通過積分求出圖形的面積.一般地，當(dāng)曲邊梯形位于x軸上方時，其定積分取正值，且等于曲邊梯形的面積；當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時，定積分取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù).

二、根據(jù)圖形之間的位置關(guān)系建立代數(shù)關(guān)系

若題目中給出一些圖形之間的位置關(guān)系，如相交、垂直、相切、相等、平行等，則可引入一些參數(shù)、變量，根據(jù)兩點間的距離公式、勾股定理、正余弦定理、點到直線的距離公式、斜率公式等，將圖形之間的位置關(guān)系用數(shù)量、參數(shù)、變量表示出來.這樣便能建立代數(shù)關(guān)系，通過數(shù)形互化，將幾何問題化為代數(shù)問題.利用代數(shù)知識進(jìn)行運(yùn)算、化簡，即可解題.

例3.若AB=2，AC=2BC，則SΔABC的最大值是

解：

由于AB為定長，而動點C滿足AC=BC，于是建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)其幾何關(guān)系建立代數(shù)關(guān)系式，即可求出點C滿足的方程.再利用圓的性質(zhì)：過圓心的圓中弦最長，確定△ABC面積的最大值.

例4.如圖5，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是棱CD、CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是.

解：

解答本題，需先作出輔助線，根據(jù)中位線的性質(zhì)和異面直線所成角的定義，確定異面直線A1M與DN所成的角；然后引入?yún)?shù)，設(shè)正方體的棱長為4a，便可根據(jù)兩點間的距離公式表示出A1M、A1K、MK，根據(jù)勾股定理證明∠A1MK=90°.

綜上所述，“數(shù)”與“形”之間有著密切的聯(lián)系，在一定的條件下，“數(shù)”與“形”之間可以相互轉(zhuǎn)化.同學(xué)們在解題時，要根據(jù)解題需求，靈活地進(jìn)行數(shù)形互化，使復(fù)雜的問題簡單化、抽象的問題具體化.