巧用構(gòu)造法求解一類數(shù)列通項(xiàng)公式問題

數(shù)列的通項(xiàng)公式問題比較常見.對(duì)于較為復(fù)雜的數(shù)列遞推式，通常需運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.仔細(xì)觀察、研究各類由遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，可以發(fā)現(xiàn)，形如Aan+1=Ban+C的遞推式比較常見.這類遞推式中數(shù)列的前后項(xiàng)an+1、an的系數(shù)通常會(huì)有所不同，其中C有很多不同的形式：（1）常數(shù)；（2）形如kn+b；（3）形如p?qn；（4）形如kn+b?qn；（5）形如kn+b+qn.

一般地，對(duì)于形如Aan+1=Ban+C（A≠B）的遞推式，通常需通過變形，使其前后項(xiàng)an+1、an的系數(shù)一致，把常數(shù)C以另一個(gè)常數(shù)D的形式分給前后項(xiàng)，即Aan+1+D=Ban+D.我們可以采用待定系數(shù)法來(lái)求D的值，這樣便構(gòu)造出一個(gè)等比數(shù)列bn，其通項(xiàng)公式為bn=an+D，公比為，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

例1.已知在數(shù)列an中，a1=1，且2an+1=5an+3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：設(shè)2an+1+λ=5an+λ，

由2an+1=5an+3λ可得λ=1，∴aa（n）n（+）+11=2（5），

設(shè)bn=an+1，可得b1=a1+1=2，

∴bn+1=an+1+1，∴bb（n）n（+）1=2（5），

∴bn是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

∴bn=2×n-1，

得an=bn-1=2×n-1-1.

首先引入待定系數(shù)λ，將遞推式設(shè)為2an+1+λ=5an+λ，即可利用待定系數(shù)法求得λ的值，便可構(gòu)為公比的等比數(shù)列bn；然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解，即可求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

例2.在數(shù)列an中，a1=2，且當(dāng)n≥2時(shí)，2an=5an-1+6n-7，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：當(dāng)n≥2時(shí)，

設(shè)2an+λn+μ=5an-1+λn-1+μ，

∴

∴

∴an+1=5an+3λn+3μ-5λ，

an+2n+15 an-1+2n-1+1=2，

設(shè)bn=an+2n+1，∴bn-1=an-1+2n-1+1，

∴=，∴b1=a1+2×1+1=5，

∴bn是以5為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

得bn=5×n-1，

∴an=bn-2n+1=5×n-1-2n+1.

本題中C=6n-7.對(duì)于形如Aan+1=Ban+kn+b（其中A≠B，k、b為常數(shù)）的遞推式，需設(shè)遞推式為Aan+1+λn+1+μ=Ban+λn+μ，此時(shí)λ=，μ=+，即可構(gòu)造出等比數(shù)列bn，其通項(xiàng)公式為bn=an+λn+μ.

例3.在數(shù)列an中，a1=1，2an+1=5an+3n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：∵2an+1=5an+3n，∴6?3（a）n（n）1（1）=5?3n（a n）+1，

設(shè)bn=3（a）n（n），∴b1=3（a）1=3（1），bn+1=3n（a n）1（1），

∴6bn+1=5bn+1，

設(shè)6bn+1+λ=5bn+λ，∴6bn+1=5bn-λ，

得λ=-1，

∴6bn+1-1=5bn-1，即bb（n）n（+）1--11=6（5）.

設(shè)cn=bn-1，∴c1=b1-1=-，cn+1=bn+1-1，

cn+1 5

∴cn=6，

∴cn是以-為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

∴cn=-×n-1，

∴bn=cn+1=1-×n-1，

∴an=3n?bn=3n?1-×n-1=3n-2×n-1.

本題中C=3n.對(duì)于形如Aan+1=Ban+p?qn（其中A≠B，p、q為非零常數(shù)）的遞推式，需在遞推式的兩側(cè)同時(shí)除以p?qn，得=+1；再設(shè)bn=，則?bn+1=?bn+1，運(yùn)用待定系數(shù)法構(gòu)造出等比數(shù)列bn；然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

例4.在數(shù)列an中，a1=1，且2an+1=5an+3n?2n+3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：∵2an+1=5an+3n?2n+3，

∴6?3（a）n（n）1（1）=5?3n（a n）+2n+3，

設(shè)bn=3（a）n（n），∴b1=3（a）1=3（1），bn+1=3n（a n）1（1），

∴6bn+1=5bn+2n+3，

設(shè)6bn+1+λn+1+μ=5bn+λn+μ，

+λb1=1n-=2b2=nnn3+-，λ19∴n-，（，）設(shè)（，）cn=bn-2n-9，

∴c1=b1-2×1-9=3（22），∴cc（n）n（+）1=6（5），

∴cn是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴cn=×n-1，

∴bn=cn+2n-9=×n-1+2n-9，∴an=3n?bn=3n?=22 n-1+3n?2n-9，

本題中C=3n?2n+3.對(duì)于形如Aan+1=Ban+（kn+b）?qn（其中A≠B，k、n為常數(shù)，q為非零常數(shù)）的遞推式，需在遞推式的兩側(cè)同時(shí)除以qn，得=

再設(shè)bn=;，則Aq?bn+1=B?bn+kn+b.

當(dāng)Aq≠B時(shí)，運(yùn)用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列即可解題.

例5.在數(shù)列an中，a1=2，且2an+1=5an+（2n+3）+3n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：設(shè)2an+1+λn+1+μ=5an+λn+μ+3n，∴2an+1=5an+3λn+3μ-2λ+3n，

∴3λ=2，3μ-2λ=3，∴λ=，μ=，

∴2an+1+=5 an+n++3n，設(shè)bn=an+n+，∴b1=a1++=，

∴2bn+1=5bn+3n，∴6?3（b）n（n）1（1）=5?3n（b n）+1，

設(shè)cn=3（b）n（n），∴c1=3（b1）=2（3）7（7），cn+1=3n（b n）1（1），

∴6cn+1=5cn+1，

設(shè)6cn+1+λ=5cn+λ，∴6cn+1=5cn-λ，

∴λ=-1，

∴6cn+1-1=5cn-1，∴cc（n）n（+）1--11=6（5），

設(shè)dn=cn-1，∴d1=c1-1=2（1）7（0），∴dd（n）n（+）1=6（5），

∴dn是以2（1）7（0）為首項(xiàng)，6（5）為公比的等比數(shù)列，

∴dn=2（1）7（0）×6（5）n-1，

∴cn=dn+1=2（1）7（0）×6（5）n-1+1，

∴bn=3n?cn=3n?2（1）7（0）×6（5）n-1+3n=9（4）?2（5）n+3n，∴an=bn-n-=?n+3n-n-.

本題中C=2n+3+3n.對(duì)于形如Aan+1=Ban+kn+b+qn（其中A≠B，k、n為常數(shù)，q為非零常數(shù)）的遞推式，需先設(shè)bn=an+λn+μ，則Abn+1=Bbn+qn；再用待定系數(shù)將遞推式變形為Aan+1+λn+1+μ=Ban+λn+μ+qn，即可構(gòu)造出等比數(shù)列.

總之，由遞推式Aan+1=Ban+C求數(shù)列的通項(xiàng)公式，運(yùn)用構(gòu)造法求解非常奏效.但是運(yùn)用構(gòu)造法解題需注意：（1）明晰通項(xiàng)公式中an+1、an的系數(shù)以及C的值；（2）靈活運(yùn)用待定系數(shù)法，以將遞推式變形為形如等比數(shù)列通項(xiàng)公式的式子；（3）靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.