怎樣用裂項相消法解數(shù)列題

裂項相消法常用于求分式數(shù)列的前n項和.運用裂項相消法求分式數(shù)列的和，需將數(shù)列的通項公式進行裂項，然后重新組合，使得和式中的一些項能夠相互抵消，從而達到求和的目的.下面結(jié)合實例，談一談如何運用裂項相消法求分式數(shù)列的和.

一、“等差型”分式數(shù)列

如果數(shù)列{bn} 是等差數(shù)列，其公差為 d（d ≠ 0） ，那么對于數(shù)列 { } 1 bnbn + 1 ，我們可以運用裂項相消法進行求和.由等差數(shù)列的定義可知 bn + 1 - bn = d ，那么 1 bnbn + 1 = 1 d ? è ? ? ? ÷ 1 bn - 1 bn + 1 ，則數(shù)列的前 n 項和 Sn = 1 d · é ? ê ? è ? ? ? ÷ 1 b2 - 1 b1 + ? è ? ? ? ÷ 1 b3 - 1 b2 + ? è ? ? ? ÷ 1 b4 - 1 b3 +…+ ? è ? ? ? ÷ 1 bn - 1 - 1 bn - 2 + ù ? ú ? è ? ? ? ÷ 1 bn - 1 bn - 1 = 1 d ? è ? ? ? ÷ 1 bn - 1 b1 ，這樣就能利用裂項相消法快速求得數(shù)列的和.

例1

解：

對于“等差型”分式數(shù)列，我們需要通過觀察，將分式數(shù)列的通項公式進行合理的裂項，常見的有： 1 （2n - 1）（2n + 1） = 1 2 ? è ? ? 1 2n - 1 - 1 2n + 1 、 1 n（n + 1）（n + 2） = 1 2 é ? ê ù ? ú 1 n（n + 1） - 1 （n + 1）（n + 2） 、 n （n + 1）！ = 1 n！ - 1 （n + 1）！ .在運用裂項相消法求“等差型”分式數(shù)列的和時，要注意：有時相鄰項不能相互抵消，只有每隔一項的兩個數(shù)才能相互抵消.

二、“無理型”分式數(shù)列

“無理型”分式數(shù)列中往往含有無理式，此時需通過分母有理化，將分式化為整式，如="""" -n.再運用裂項相消法進行求和，那么互為相反數(shù)的兩項便可消去，從而順利求得數(shù)列的和.

例2.求數(shù)列??（ì?）1+t（ü）的前n項和Sn.

解：bn=1+

2 22n-1-2n+1，

因此Sn=1-+-+…+-

=1-.

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的分母中均含有根式，于是將分母進行有理化，這樣就能將通項公式化為兩項之差的形式：-，即可運用裂項相消法順利求得前n項的和.

三、“指數(shù)型”分式數(shù)列

對于含有指數(shù)的分式數(shù)列，如?（ì）t（ü），需將通項公式拆分為（kn t 1（n）+t）=（kn（n+）kn（-）n+）對于含有指數(shù)的分式數(shù)列，如 ì í ? ü y t （k - 1）kn （kn + t）（kn + 1 + t） ，需將通項公式拆分為 （k - 1）kn （kn + t）（kn + 1 + t） = （kn + 1 + t）-（kn + t） （kn + t）（kn + 1 + t） = 1 kn + t - 1 kn + 1 + t 的形式，再運用裂項相消法求和.

例3.

解：

數(shù)列通項公式中的分子和分母都含有指數(shù)式，需將其化為-，這樣通項公式就被拆分為兩項之差的形式，為運用裂項相消法求和創(chuàng)造了條件.

可見，運用裂項相消法求和，關(guān)鍵在于將數(shù)列的通項公式巧妙地分解為兩項之差的形式，以便在求和的過程中能夠消除多余的項，從而簡化運算.值得注意的是，消項后，一般是前面保留幾項，后面就剩下幾項，前面留下第幾項，后面就保留倒數(shù)第幾項.

（作者單位：湖北省來鳳縣第一中學）