數(shù)據(jù)分析視角下高考概率與統(tǒng)計(jì)試題特征

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》將“數(shù)據(jù)分析”列為高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一。數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷，形成知識(shí)的過(guò)程，主要表現(xiàn)為：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，對(duì)信息進(jìn)行分析、推斷，獲得結(jié)論。

概率與統(tǒng)計(jì)部分，作為高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的重要組成部分，是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。其中，數(shù)據(jù)分析是概率與統(tǒng)計(jì)的核心，概率與統(tǒng)計(jì)是學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)發(fā)展的知識(shí)載體。

為有效提高數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，準(zhǔn)確探求高考命題規(guī)律，下面結(jié)合2023年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題，和同學(xué)們一起實(shí)際感受數(shù)據(jù)分析視角下高考概率與統(tǒng)計(jì)試題的命題特征。

一、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之收集數(shù)據(jù)

例1 （2023 年新高考全國(guó)Ⅱ 卷第3題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400 名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）。

A.C44500·C12500 種 B.C24000·C42000 種

C.C34000·C32000 種 D.C44000·C22000 種

解析：因?yàn)槌踔胁亢透咧胁糠謩e有400名和200名學(xué)生，所以人數(shù)比例為400∶200=2∶1，需要從初中部抽取40人，高中部抽取20人。

故不同的抽樣結(jié)果共有C44000·C22000 種，選D。

例2 （2023年天津卷理科第13 題）甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的、完全相同的黑球和白球，總數(shù)之比為5∶4∶6。

這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%，25%，50%。現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為_(kāi)___;將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，取到白球的概率為_(kāi)___。

解析：設(shè)甲、乙、丙三個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)分別為5n，4n，6n，則總數(shù)為15n。

則甲盒中黑球個(gè)數(shù)為40%×5n=2n，白球個(gè)數(shù)為3n。

乙盒中黑球個(gè)數(shù)為25%×4n=n，白球個(gè)數(shù)為3n。

丙盒中黑球個(gè)數(shù)為50%×6n=3n，白球個(gè)數(shù)為3n。

記“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件A，則P （A ）=0.4×0.25×0.5=0.05。

記“將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，取到白球”為事件B，黑球總共有2n+n+3n=6n個(gè)，白球共有9n 個(gè)，則P（B）=9n/15n=3/5。

點(diǎn)評(píng)： 數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之收集數(shù)據(jù)主要包括：能夠掌握運(yùn)用調(diào)研、試驗(yàn)和查閱資料等收集數(shù)據(jù)的基本方法;根據(jù)解題的需要，選擇隨機(jī)抽樣、分層抽樣等不同的抽樣方法收集數(shù)據(jù);合理運(yùn)用餅狀圖、條形圖等統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行直觀描述;能夠通過(guò)統(tǒng)計(jì)圖表識(shí)別數(shù)據(jù)的數(shù)字特征。

二、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之整理數(shù)據(jù)

例3 （2023年上海卷第14題）根據(jù)身高和體重散點(diǎn)圖（圖1），下列說(shuō)法正確的是（ ）。

A.身高越高，體重越重

B.身高越高，體重越輕

C.身高與體重成正相關(guān)

D.身高與體重成負(fù)相關(guān)

解析：根據(jù)散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)的分布是從左下到右上，則身高和體重成正相關(guān)。故選C。

例4 （2023年天津卷理科第7題）調(diào)查某種群花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度，所得數(shù)據(jù)如圖2所示，其中相關(guān)系數(shù)r=0.824 5，下列說(shuō)法正確的是（ ）。

A.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒(méi)有相關(guān)性

B.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)

C.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.824 5

解析：根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度有相關(guān)性，故A 選項(xiàng)錯(cuò)誤。

散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)性，故B 選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確。

由于r=0.824 5是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來(lái)一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，也可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是0.824 5，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤。

故選C。

例5 （2023年上海卷第9題）國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是衡量地區(qū)經(jīng)濟(jì)狀況的最佳指標(biāo)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，某市在2020年經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長(zhǎng)，GDP 逐月增加。已知第一季度的GDP為231（單位：億元），第四季度的GDP為242（單位：億元），且四個(gè)季度的GDP 中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該市2020 年的GDP總額為_(kāi)___。

解析：設(shè)第二季度GDP 為x 億元，第三季度GDP為y 億元，則231lt;xlt;ylt;242。

因?yàn)橹形粩?shù)與平均數(shù)相同，所以x+y/2 =231+x+y+242/4 ，即x+y=473。

因此，該市2020年的GDP總額為231+x+y+242=946（億元）。

例6 （2023 年全國(guó)乙卷理科第17題） 某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)均選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率。甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi（i=1，2，…，10）。

試驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

記zi =xi -yi （i=1，2，…，10），記z1，z2，…，z10 的樣本平均數(shù)為z，樣本方差為s2。

（1）求z，s2;

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（若z≥2根號(hào)下 s2/10，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）。

解析：（1）由題意可得：

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高。

點(diǎn)評(píng)：數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之整理數(shù)據(jù)主要包括：能夠運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法處理數(shù)據(jù);能夠綜合運(yùn)用數(shù)字、文字、 圖形、表格等多種形式描述數(shù)據(jù)，并認(rèn)清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系;能夠利用相關(guān)公式計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和方差等數(shù)字特征。

三、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之構(gòu)建模型

例7 （2023年新高考全國(guó)Ⅱ 卷第19題）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如圖3、圖4所示的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖。

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c 的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性。此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）;誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為q（c）。假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率。

（1）當(dāng)漏診率p（c）=0.5%時(shí)，求臨界值c 和誤診率q（c）;

（2）設(shè)函數(shù)f（c）=p（c）+q（c），當(dāng)c∈[95，105]時(shí)，求f（c）的解析式，并求f（c）在區(qū)間[95，105]內(nèi)的最小值。

解析：（1）依題可知，圖3中第一個(gè)小矩形的面積為5×0.002gt;0.5%，所以95

q（c）=0.01×（97.5-95）+5×0.002=0.035=3.5%。

（2）當(dāng)c∈[95，100]時(shí)，f（c）=p（c）+q（c）=（c-95）×0.002+（100-c）×0.01+5×0.002 =-0.008c+0.82≥0.02;當(dāng)c∈（100，105]時(shí)，f（c）=p（c）+q（c）=5×0.002+ （c-100）×0.012+ （105-c）×0.002=0.01c-0.98gt;0.02。

點(diǎn)評(píng)：數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之構(gòu)建模型主要包括：能夠根據(jù)問(wèn)題的需要，用合適的度量來(lái)表達(dá)數(shù)據(jù)的差異性;合理構(gòu)建常見(jiàn)的兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布等概率模型。

四、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之分析推斷

例8 （2023年北京卷理科第18 題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如表2所示。在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高;用“-”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低;用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同。

用頻率估計(jì)概率。

（1）試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率。

（2）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的。在未來(lái)的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率。

（3）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響。判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”、 “下跌”和 “不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大。（結(jié)論不要求證明）

解析：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，40天里，有16個(gè)+，即16天是上漲的，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為16/40=0.4。

（2）在這40天里，16天上漲，14天下跌，10天不變，即上漲，下跌，不變的概率分別是0.4，0.35，0.25。

于是未來(lái)的日子里任取4天，2天上漲，1天下跌，1 天不變的概率是C24×0.42 ×C12×0.35×0.25=0.168。

（3）由于第40天處于上漲狀態(tài)，從前39次的15次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲的有4次，概率為4/15;不變的有9次，概率為3/5;下跌的有2次，概率為2/15。

因此估計(jì)第41天不變的概率估計(jì)值最大。

數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的提升是學(xué)生發(fā)展的重要基石，更是高考的主要考查內(nèi)容。對(duì)于概率與統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)，同學(xué)們要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，明晰概率意義和統(tǒng)計(jì)思想，明確數(shù)據(jù)分析的方法，明了高考試題的命題特征，學(xué)會(huì)針對(duì)不同問(wèn)題，運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)或概率模型解決問(wèn)題。

（責(zé)任編輯 徐利杰）