非局部Gray-Scott模型的二階線性化差分格式

摘要： 研究周期邊界條件下的非局部Gray-Scott模型，提出一種高效數(shù)值格式?；谒阕臃至阉枷雽⒃瓎栴}拆分為線性非局部子問題和非線性子問題。對于線性非局部子問題，結(jié)合復化梯形公式和Crank-Nicolson公式，建立時空二階差分格式；對于非線性子問題，結(jié)合Crank-Nicolson公式及Rubin-Graves線性化技術，建立線性求解格式。結(jié)果表明：非局部Gray-Scott模型的二階線性化差分格式具有穩(wěn)定性、收斂性及有效性。

關鍵詞：

非局部Gray-Scott模型； 算子分裂； 穩(wěn)定性； 有效性

中圖分類號： O 241.8文獻標志碼： A"" 文章編號： 1000 5013（2024）04 0524 10

Second-Order Linearized Difference Scheme for Nonlocal Gray-Scott Model

CHEN Xinyan， ZHANG Xinxin， CAI Yaoxiong

（School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China）

Abstract： An efficient numerical scheme is proposed by studying the nonlocal Gray-Scott model under periodic boundary conditions. Based on the idea of operator splitting， the original problem is divided into a linear nonlocal subproblem and a nonlinear subproblem. To linear nonlocal subproblem， a spatiotemporal second-order difference scheme is established by combining the complex trapezoidal formula and Crank Nicholson formula. To nonlinear subproblem， a linear solution format is established by combining Crank Nicholson formula and Rubin Graves linearization technique. The results show that the second-order linearized difference scheme of the nonlocal Gray-Scott model is stable， convergent and efficient.

Keywords： nonlocal Gray-Scott model； operator splitting； stability； effectiveness

Gray-Scott（GS）模型是反應-擴散系統(tǒng)的重要組成部分，反應-擴散系統(tǒng)在自然界和工業(yè)生產(chǎn)中廣泛存在，如化學反應的燃燒、生物體內(nèi)的代謝過程、氣體和液體中的化學反應等都屬于反應擴散系統(tǒng)。 GS模型是Gray和Scott［1］于1984年提出，用來描述反映器中濃度時空變化的耦合模型。由于該模型可以描述斑點、條紋等有趣的時空結(jié)構(gòu)，被廣泛應用于化學［2-5］、生物［6-9］等領域。整數(shù)階GS模型為

ut=μuΔu-uv2+F（1-u），vt=μvΔv+uv2-（F+κ）v。（1）

式（1）中：u，v為濃度；μugt;0，μvgt;0為擴散速率；F≥0為進料速率；κ≥0為第2次反應的衰減速率。

然而，隨著對含奇性問題的深入研究，人們發(fā)現(xiàn)非局部擴散系統(tǒng)比局部擴散系統(tǒng)可以更準確地描述

收稿日期： 2023 07 22

通信作者： 蔡耀雄（1979-），男，講師，主要從事偏微分方程數(shù)值解及理論的研究。E-mail：cai_yx@126.com。

基金項目： 國家自然科學基金資助項目（11701196）； 福建省自然科學基金資助項目（2020J01074， 2021J01306）

https：//hdxb.hqu.edu.cn/

生物演化狀態(tài)。非局部算子避免對變量進行空間求導，降低了解的正則性要求，從而可以方便地用于模擬非連續(xù)的物理現(xiàn)象。

非局部GS模型為

ut=-μuLδu-uv2+F（1-u），" （x，t）∈Ω×（0，T］，vt=-μvLδv+uv2-（F+κ）v，" （x，t）∈Ω×（0，T］。（2）

初值條件和邊界條件為

u（x，0）=u0（x），" v（x，0）=v0（x），" x∈Ω。

式（2）中：Ω=［-L，L］ 為有界區(qū)域；Lδ為非局部算子，定義［10］為

Lδu（x）=∫ΩJδ（x-y）［u（x）-u（y）］dy，x∈Ω。

其中卷積核Jδ滿足：1） Jδ（x）≥0，x∈Ω；2） Jδ（x-y）=Jδ（y-x）；3） Jδ是以Ω為周期的周期函數(shù)。

由于GS模型為非線性耦合方程組，在數(shù)值求解和理論研究中存在一定困難，許多學者致力于這一方面的研究。Pearson［11］對模型進行一系列數(shù)值模擬后，發(fā)現(xiàn)其非常數(shù)正解存在極其復雜的結(jié)構(gòu)。McGough等［12］證實了以上結(jié)論，并且給出所有非負常數(shù)解的穩(wěn)定性和相應的先驗估計。Zhang等［13］利用向后差分法和時間上的線性外推法，建立GS模型的二階格式，并對其進行理論分析和數(shù)值模擬。Peng等［14］對GS模型在有界域上的平衡點問題進行研究，得到了關于非常數(shù)正平衡點不存在性的若干結(jié)論。在擴散率ε的極限下，Chen等［15］利用混合漸近算法，對二維GS模型多點擬平衡模式的動態(tài)特性及穩(wěn)定性機制進行了深入研究。Wang等［16］給出了空間延拓GS模型的噪聲控制模式的時間演化。

然而，相比于經(jīng)典GS模型，非局部GS模型的研究結(jié)果較少。已有的非局部GS模型的數(shù)值解研究主要是以分數(shù)階拉普拉斯算子［17-19］為基礎，因此，本文利用正定卷積算子對其進行研究。

1 數(shù)值格式

考慮在一維區(qū)域Ω=［-L，L］上的全離散格式。為了方便進行離散，引入時間步長τ=T/M和空間網(wǎng)格Ωh={xi=-L+ih，0≤i≤N-1}。其中：空間剖分為N，空間步長h=2L/N。給定正整數(shù)M，時間節(jié)點為tm=mτ，m=0，1，…，M。在Ωh上定義的所有周期網(wǎng)格函數(shù)由Mh表示，即Mh={U|U={ui|0≤i≤N-1}}。umi和u（xi，tm）分別代表數(shù)值解和精確解。

1.1 非局部算子的離散格式

對任意函數(shù)u，給定非局部算子Lδ，定義為

Lδu=（Jδ1）u-Jδu。

因此，Lδu在點（xi，tm）（0≤i≤N，0≤m≤M）處可表示為

（Lδu）mi=（Jδ1）iumi-（Jδu）mi。（3）

式（3）中：（Jδ1）i=∫L-LJδ（xi-y）dy；（Jδu）i=∫L-LJδ（xi-y）u（y）dy。

則Jδu結(jié)合復化梯形公式，可得（Jδu）i的離散形式為

（Jδu）i=∫L-LJδ（xi-y）u（y）dy=

∫y1y0Jδ（xi-y）u（y）dy+∫y2y1Jδ（xi-y）u（y）dy+…+∫yNyN-1Jδ（xi-y）u（y）dy=

h2［Jδ（xi-y0）u0+Jδ（xi-y1）u1］+h2［Jδ（xi-y1）u1+Jδ（xi-y2）u2］+…+h2［Jδ（xi-yN-1）uN-1+Jδ（xi-yN）uN］+O（h2）=

h2Jδ（xi-y0）u0+h∑N-1j=1Jδ（xi-yj）uj+h2Jδ（xi-yN）uN+O（h2）。（4）

同理可得

（Jδ1）iumi=h2Jδ（xi-y0）+h∑N-1j=1Jδ（xi-yj）+h2Jδ（xi-yN）umi+O（h2）。（5）

因此，結(jié)合式（4）和式（5），在周期邊界條件下對任意的N階列向量U=（u0，u1，…，uN-2，uN-1）T，有全離散形式如下

LhδU=-h1+12Jδ（Nh）Jδ（h）Jδ（2h）…Jδ（（N-1）h）12Jδ（Nh）+12Jδ（（N-1）h）2Jδ（h）…Jδ（（N-2）h）12Jδ（Nh）+12Jδ（（N-2）h）Jδ（h）3…Jδ（（N-3）h）12Jδ（（N-1）h）+12Jδ（h）Jδ（（N-2）h）Jδ（（N-3）h）…N·

（u0，u1，…，uN-2，uN-1）T=AU。（6）

式（6）中：i值為所在行其余值和的相反數(shù)，如

1=-（Jδ（h）+Jδ（2h）+…+Jδ（（N-1）h）+12Jδ（Nh））。

注1 由文獻［20］可知，非局部離散算子Lhδ是半正定和自伴的。

1.2 算子分裂法求解非局部GS方程

算子分裂方法的思想是將一個較為復雜的問題分解為幾個簡單的子問題進行處理。采用二階對稱的Strang分裂方法［21］求解非局部GS模型。首先，將原始問題分解為線性非局部子問題

ut=-μuLδu-Fu，vt=-μvLδv-（F+κ）v，（7）

和非線性子問題

ut=-uv2+F，vt=uv2。（8）

記SA和SB分別為上述線性非局部子問題和非線性子問題的解算子。

基于二階Strang算子分裂方法，給定時間步長τ，非局部GS模型可通過以下方式近似求解，即

θ（x，t+τ）≈SAτ2SB（τ）SAτ2θ（x，t）。（9）

式（9）中：θ=（u，v）T。

1.2.1 非局部線性系統(tǒng)的數(shù)值逼近SA→Sτ，hA 結(jié)合式（6）和C-N格式，可得線性子問題（7）的全離散格式為

um+1i-umiτ=-μuLhδuim+12-Fuim+12，vm+1i-vmiτ=-μvLhδvim+12-（F+κ）vim+12。

令LhδUm=AUm，LhδVm=AVm。其中，Um與Vm分別定義為

Um={umi0≤i≤N-1}∈Mh，

Vm={vmi0≤i≤N-1}∈Mh。

因此，有

Um+1-Umτ=-12μu（AUm+1+AUm）-12F（Um+1+Um），Vm+1-Vmτ=-12μv（AVm+1+AVm）-12（F+κ）（Vm+1+Vm）。

通過分離變量法，可得（Um+1，Vm+1）T為

Um+1=I+τ2μuA+τ2FI-1I-τ2μuA-τ2FIUm，Vm+1=I+τ2μvA+τ2（F+κ）I-1I-τ2μvA-τ2（F+κ）IVm。 （10）

引理1 對于任意網(wǎng)格函數(shù)ψ={（ui，vi）T0≤i≤N-1}，有

‖Sτ，hAψ‖≤‖ψ‖。

其中：‖ψ‖2=h2∑0≤i≤N-1（u2i+v2i）。

證明：根據(jù)式（1）和注1可知，μu，μv，F(xiàn)和κ均為正數(shù)，Lhδ為半正定算子，因此

I+τ2μuA+τ2FI-1I-τ2μuI-τ2FI2≤1，

且

I+τ2μvA+τ2（F+κ）I-1I-τ2μvA-τ2（F+κ）I2≤1。

上式中：‖·‖2為譜范數(shù)。使用Parseval公式，可得‖Um+1‖≤‖Um‖，‖Vm+1‖≤‖Vm‖，即證。

1.2.2 非線性系統(tǒng)的數(shù)值逼近SB→Sτ，hB 討論非線性子問題式（8），針對第1個式子，基于C-N格式可建立表達式為

um+1i-umiτ=-（uiv2i）m+1+（uiv2i）m2+F。

采用R-G線性化［22］方法，定義

（uv2）m+1=um+1（vm）2+2umvmvm+1-2umvmvm。

同理，對式（8）的第2個公式也做如上處理，可得非線性子問題的全離散格式如下

um+1i-umiτ=-12（vmi）2um+1i+12（vmi）2umi-umivmivm+1i+F，vm+1i-vmiτ=-12（vmi）2umi+12（vmi）2um+1i+umivmivm+1i。（11）

通過分離變量方法，將模型進一步化簡為

1+（vmi）22τum+1i+τumivmivm+1i=umi+umi（vmi）22τ+Fτ，-（vmi）22τum+1i+（1-τumivmi）vm+1i=vmi-umi（vmi）22τ。

可得矩陣形式為

1+（vmi）22ττumivmi-（vmi）22τ1-τumivmium+1ivm+1i=1+（vmi）22τ001-umivmi2τumivmi+Fτ0。（12）

采用“凍結(jié)系數(shù)”方法［23］研究格式（11）的穩(wěn)定性，凍結(jié)（vm）2和umvm兩項，并將其定義為常數(shù)，即

θ1：=max0≤m≤Mmax0≤i≤N-1（vmi）2，

θ2：=max0≤m≤M max0≤i≤N-1{umi，vmi}。

那么，式（12）可以表示為

PKm+1i=QKmi+R。（13）

式（13）中：

Kmi=umivmi，" P=1+τ2θ1τθ2-τ2θ11-τθ2，" Q=1+τ2θ1001-τ2θ2，" R=Fτ0。

當1-τθ2+τ2θ1≠0時，矩陣P可逆，則

P-1Q=11-τθ2+τ2θ11+τ2θ1-τθ2-τ22θ1θ2-τθ21-τ2θ2τ2θ11+τ2θ11-τ2θ2+τ2θ1-τ24θ1θ2。

令

g11=1+τ2θ1-τθ2-τ22θ1θ2，" g12=-τθ21-τ2θ2，g21=τ2θ11+τ2θ1，" g22=1-τ2θ2+τ2θ1-τ24θ1θ2，可得

（P-1Q）T（P-1Q）=11-τθ2+τ2θ12g211+g221g11g12+g21g22g11g12+g21g22g122+g222。

假設

τ≤1θ1-2θ2，（14）

則存在常數(shù)C1，使得

g211+g221+g11g12+g21g221-τθ2+τ2θ12≤g211+g221+g11g12+g21g221-τθ2+τ2θ12=

1-τ22θ1θ21+τθ12-θ22+τ24θ211+τ2θ121+τθ12-θ22+

τθ21-τ2θ21+τθ12-θ2·1-τ2θ1θ21+τθ12-θ2+τ2θ11+τ2θ11+τθ12-θ2·1+τ2θ21-τ2θ11+τθ12-θ2≤1+C1τ

和

g11g12+g21g22+g212+g2221-τθ2+τ2θ12≤g11g12+g21g22+g212+g2221-τθ2+τ2θ12=

τθ21-τ2θ21+τθ12-θ2·1-τ2θ1θ21+τθ12-θ2+τ2θ11+τ2θ11+τθ12-θ2·1+τ2θ21-τ2θ11+τθ12-θ2+

τ2θ221-τ2θ221+τθ12-θ22+1+τ2θ21-τ2θ11+τθ12-θ22≤1+C1τ。

結(jié)合上述不等式，有

‖P-1Q‖22≤‖（P-1Q）T（P-1Q）‖∞≤1+C1τ。（15）

式（15）中：‖P‖∞是P的∞-范數(shù)。

結(jié)合式（13）和式（15），有引理2。

引理2 在式（14）條件下，對于任意網(wǎng)格函數(shù)ψ={（ui，vi）T0≤i≤N-1}，有

‖Sτ，hBψ‖≤1+C1τ‖ψ‖。

因此，對于問題（2），結(jié)合式（9）～（11），可得二階算子分裂格式為

U*=I+τ4μuA+τ4FI-1I-τ4μuA-τ4FIUm，V*=I+τ4μvA+τ4（F+κ）I-1I-τ4μvA-τ4（F+κ）IVm，U**-U*τ=-12（V*）2U**+12（V*）2U*-U*V*V**+F*，V**-V*τ=12（V*）2U**-12（V*）2U*+U*V*V**，Um+1=I+τ4μuA+τ4FI-1I-τ4μuA-τ4FIU**，Vm+1=I+τ4μvA+τ4（F+κ）I-1I-τ4μvA-τ4（F+κ）IV**。 （16）

式（16）中：F*=F（1，…，1）T，（U*，V*）和（U**，V**）是中間變量。

根據(jù)式（9），算法（16）還可以表示為Φm+1=Sτ2，hASτ，hBSτ2，hAΦm。

其中：Φm=（Um，Vm）T為時間tm的數(shù)值解，Sτ2，hA和Sτ，hB分別為節(jié)1.2.1和節(jié)1.2.2給出的SA和SB的數(shù)值近似。

注2 在條件（14）下，很容易驗證矩陣P的行列式滿足P=1-τθ2+τ2θ1∈12，32，因此，P為可逆矩陣。

2 穩(wěn)定性和收斂性理論分析

定義映射Ih：L2per（Ω）→Mh，其中，L2per（Ω）={uu∈L2（Ω），u是Ω周期的}。

2.1 穩(wěn)定性分析

定理1 在條件（14）下，關于問題（2）的二階算子分裂格式（16）是穩(wěn)定的，有

‖Φm+1‖≤eC1T2‖Φ0‖。（17）

證明：由引理1和引理2，有

‖Φm+1‖=‖Sτ2，hASτ，hBSτ2，hAΦm‖≤‖Sτ，hBSτ2，hAΦm‖≤1+C1τ‖Sτ2，hAΦm‖≤1+C1τ‖Φm‖≤eC1T2‖Φ0‖。

定理證畢。

2.2 收斂性分析

假設非局部GS模型（2）在周期邊界條件下的解u（x，t）和v（x，t）滿足正則性假設

u（x，t）∈H3（0，T；Hsper（Ω）），" v（x，t）∈H3（0，T；Hsper（Ω））， ""sgt;1。（18）

為了證明收斂性，需要引理3。

引理3 對于任意函數(shù)u，v∈H3（0，T；H2per（Ω）），有

‖IhSA（τ）θ-Sτ，hAIhθ‖≤C2τ（τ2+h2）。

其中：θ=（u，v）T，C2是與τ和h無關的正常數(shù)。

證明：由于式（10）是基于時間上的二階C-N格式和空間上的二階梯形公式得到的，因此，可得引理3的結(jié)論。

引理4 對于任意函數(shù)u，v∈H3（0，T；L2（Ω）），有

‖IhSB（τ）θ-Sτ，hBIhθ‖≤C3τ3。

其中：C3是與τ和h無關的正常數(shù)。

證明：由于式（11）是基于時間上的二階C-N格式與二階R-G線性化得到的，因此可得引理4。

定義θ⌒（x，t）=（u⌒（x，t），v⌒（x，t））T為方案（9）的精確解。

因此，可以得到收斂性結(jié)論如下。

定理2 設um=（u（tm），v（tm））T和Φm=（Um，Vm）T分別是問題（2）和算法（16）在tm處的解。在式（14）與式（18）給出的正則性條件下，有

‖Φm+1-Ihum+1‖≤C（τ2+h2）。

證明：對于m≥0，有

‖Φm+1-Ihum+1‖≤‖Φm+1-Ihθ⌒m+1‖+‖Ihθ⌒m+1-Ihum+1‖。（19）

由文獻［10］，可得

‖Ihθ⌒m+1-Ihum+1‖≤C4τ2。（20）

式（20）中：C4gt;0為常數(shù)。

根據(jù)引理1和引理3，式（19）右邊的第1項滿足

‖Φm+1-Ihθ⌒m+1‖=

‖Sτ2，hASτ，hBSτ2，hAΦm-IhSAτ2SB（τ）SAτ2θ⌒m‖≤

‖Sτ2，hASτ，hBSτ2，hAΦm-Sτ2，hAIhSB（τ）SAτ2θ⌒m‖+‖Sτ2，hAIhSB（τ）SAτ2θ⌒m-

IhSAτ2SB（τ）SAτ2θ⌒m‖≤‖Sτ，hBSτ2，hAΦm-IhSB（τ）SAτ2θ⌒m‖+C2τ（τ2+h2）。（21）

根據(jù)引理2和引理4，可得

‖Sτ，hBSτ2，hAΦm-IhSB（τ）SAτ2θ⌒m‖≤‖Sτ，hBSτ2，hAΦm-Sτ，hBIhSAτ2θ⌒m‖+‖Sτ，hBIhSAτ2θ⌒m-IhSB（τ）SAτ2θ⌒m‖≤1+C1τ‖Sτ2，hAΦm-IhSA（τ2）θ⌒m‖+C3τ3。（22）

再次使用引理1和引理3，可得

‖Sτ2，hAΦm-IhSAτ2θ⌒m‖≤‖Sτ2，hAΦm-Sτ2，hAIhθ⌒m‖+‖Sτ2，hAIhθ⌒m-IhSAτ2θ⌒m‖≤‖Φm-Ihθ⌒m‖+C2τ（τ2+h2）。（23）

結(jié)合式（21）～（23），可得

‖Φm+1-Ihθ⌒m+1‖≤1+C1τ‖Φm-Ihθ⌒m‖+（1+C1τ+1）C2τ（τ2+h2）+C3τ3。（24）

又‖Φ0-Ihθ⌒0‖=0，因此，通過Gronwall不等式，可得

‖Φm+1-Ihθ⌒m+1‖≤C（τ2+h2）。（25）

合并式（19），（20），（25），有

‖Φm+1-Ihum+1‖≤C（τ2+h2）。

即證。

3 數(shù)值實驗

通過數(shù)值實驗，證明該方法的準確性和數(shù)值效果，考慮Ω=［-1，1］，高斯核Jδ（x）形式為

Jδ（x）=4π1/2δ3e-x2δ2，" δgt;0。

3.1 收斂性測試

為了檢驗所構(gòu)造的數(shù)值格式（16）的準確性，選擇初始條件

u0（x）=2cos（4πx），v0（x）=0.1cos（2.5πx）。

考慮x∈［-1，1］，μu=0.1，μv=0.1，F(xiàn)=1和κ=1的情況，分別計算數(shù)值解uMi的最大誤差E∞和L2誤差E2，定義為

U-E∞（h，τ）=max0≤i≤N-1uMi（τ，h）-u2Miτ2，h，" h足夠小，max0≤i≤N-1uMi（τ，h）-uM2iτ，h2，" τ足夠小，

和

U-E2（h，τ）=h∑N-1i=0（uMi（τ，h）-u2Miτ2，h）2，" h足夠小，h∑N-1i=0（uMiM（τ，h）-uM2iτ，h2）2，" τ足夠小，

其中：{uMi（τ，h）|0≤i≤N-1}表示u（x，T）在時間步長τ=T/M和空間步長h=2/N時的近似解。類似地，可以定義V-E∞（h，τ）和V-E2（h，τ）。

考察空間收斂階，固定時間剖分M=3 000，T=1，δ分別取0.5和1.0，計算結(jié)果，如表1，2所示。表1，2中：Rate為收斂階。由表1，2可知：隨著網(wǎng)格的加密，U和V的最大誤差E∞和L2誤差E2逐漸減小，空間接近二階精度，與理論分析一致。

考慮時間收斂階，固定空間剖分N=1 000，T=1，δ分別取0.5和1.0，計算結(jié)果，如表3，4所示。由表3，4可知：隨著時間剖分次數(shù)的增加，U和V的最大誤差和L2誤差逐漸減小，時間接近二階精度，與理論分析一致。

3.2 數(shù)值模擬

考察非局部算子對GS模型動力學的影響，選擇初始條件為

u0（x）=2cos（4πx），v0（x）=0.1cos（2.5πx）。

考慮x∈［-1，1］，μu=0.1，μv=0.1，F(xiàn)=1，κ=1，N=100，T=5，M=3 000時，不同δ對數(shù)值解的影響，如圖1所示。由圖1可知：GS模型的動力學行為與δ大小有關，隨著δ的增大，U和V達到穩(wěn)態(tài)所需時間越長。

4 結(jié)束語

提出求解非局部Gray-Scott模型快速有效的算子分裂方法，并對其進行嚴格的理論分析，得到時空均具有二階精度的數(shù)值方法。數(shù)值結(jié)果表明，該方法具有良好的穩(wěn)定性和有效性。

參考文獻：

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（責任編輯：" 黃曉楠" 英文審校： 黃心中）