代數(shù)一般觀念指引讓數(shù)學(xué)知識(shí)自然生長

摘" 要：探索一般觀念指引下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)持續(xù)深入的過程. 先在“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”的學(xué)習(xí)過程中感受代數(shù)一般觀念的方法論作用，繼而在“基本不等式”的學(xué)習(xí)中類比開展微探究，理解代數(shù)一般觀念方法論的作用. 在該方法論的指引下，可以持續(xù)開展微探究. 為此，對(duì)教材中的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了梳理.

關(guān)鍵詞：一般觀念；代數(shù)運(yùn)算；不變性；微探究

中圖分類號(hào)：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1673-8284（2024）04-0010-06

引用格式：韓靈，蔡紅瑞，薛志誠. 代數(shù)一般觀念指引讓數(shù)學(xué)知識(shí)自然生長［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（4）：10-14，35.

依據(jù)人教A版教材主編章建躍先生提出的一般觀念，筆者嘗試開展課堂教學(xué)研究，第一次選擇的課題是“基本不等式”. 在一般觀念指引下，做出教學(xué)設(shè)計(jì)，課堂教學(xué)以微探究的形式進(jìn)行. 在問題驅(qū)動(dòng)下，課堂上學(xué)生思維活躍，異常興奮. 課后交流時(shí)，有教師感嘆：“教了這么多年書，從來沒有想到這節(jié)課還可以這樣上！”第二天按照該教學(xué)設(shè)計(jì)在班級(jí)進(jìn)行了實(shí)踐，同樣取得了令人欣喜的結(jié)果. 我們看到，學(xué)生在這樣的課堂上思維活躍，能夠積極思考. 這給大家?guī)砹梭@喜和欣慰.

教學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變，使得師生對(duì)數(shù)學(xué)的情感態(tài)度發(fā)生了很大的變化. 既令人激動(dòng)，更值得深思. 一般觀念之“代數(shù)性質(zhì)指什么”，在人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第一冊(cè)第40頁的旁白中給出了回答：“運(yùn)算中的不變性就是性質(zhì).”

下面就以此為例與大家分享在一般觀念的指引下如何讓數(shù)學(xué)知識(shí)自然生長，讓師生享受數(shù)學(xué)思維之美.

一、學(xué)習(xí)“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”，感受一般觀念的方法論作用

教材必修第一冊(cè)“2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”的內(nèi)容結(jié)構(gòu)是先給出實(shí)數(shù)大小的基本事實(shí)，繼而梳理等式的基本性質(zhì)，之后類比探究不等式的基本性質(zhì).

梳理等式的基本性質(zhì)，目的在于抽象出研究的方法，為探索不等式的基本性質(zhì)奠定基礎(chǔ). 先再現(xiàn)等式的性質(zhì)，繼而對(duì)5個(gè)性質(zhì)的特點(diǎn)進(jìn)行分析，抽象得出等式的性質(zhì)包括兩類：一類是相等關(guān)系自身的特性；另一類是從運(yùn)算角度提出的，反映了等式在運(yùn)算中的不變性. 這就是一般觀念中“代數(shù)性質(zhì)指什么”的具體表現(xiàn). 類比研究不等式的基本性質(zhì)，從類型上自然劃分為兩類：一類是不等關(guān)系自身的特性，即性質(zhì)1和性質(zhì)2；另一類是不等式在運(yùn)算中的不變性，即性質(zhì)3 ～ 性質(zhì)7.

在探究環(huán)節(jié)將發(fā)揮一般觀念的指引作用，讓數(shù)學(xué)知識(shí)自然生長，因此類比等式的基本性質(zhì)，確定探索不等式的基本性質(zhì)的思路如下.

對(duì)于給定的不等式a gt; b，先討論其自身具有的特性，不再贅述. 繼而討論其在運(yùn)算過程中的不變性. 首先，確定對(duì)于不等式a gt; b可做的運(yùn)算有加法、乘法、乘方、開方……，后續(xù)學(xué)習(xí)的代數(shù)運(yùn)算，如指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算，依然可以進(jìn)行類似的探究. 因此，對(duì)該不等式的探索是不局限于教材中所給的性質(zhì)的. 教材之所以給出7個(gè)性質(zhì)，是考慮到學(xué)生當(dāng)時(shí)具有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，如上的探索思路是在一般觀念指引下從數(shù)學(xué)本身的角度出發(fā)進(jìn)行設(shè)計(jì)，目的是教給學(xué)生數(shù)學(xué)的思維方法.

確定了如上整體思路之后，接下來就進(jìn)入具體的探究環(huán)節(jié). 以加法運(yùn)算為例，選定了加法運(yùn)算，接下來要根據(jù)運(yùn)算對(duì)象提出具體的問題：① 在不等式a gt; b兩端加同一個(gè)數(shù)c，不等式還成立嗎？② 在不等式a gt; b兩端分別加一個(gè)數(shù)c，d，不等式還成立嗎？對(duì)于②，需要基于c，d的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，具體可以分為c gt; d，c = d，c lt; d三類. 經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)①是②的特殊情況，②是①的一般化. 在②中，當(dāng)c lt; d時(shí)，對(duì)于c，d的不同取值，a + c，b + d的大小關(guān)系不確定，即此時(shí)對(duì)不等式a gt; b做加法運(yùn)算不具有不變性. 經(jīng)過探索，最終得到了不等式的性質(zhì)3和性質(zhì)5.

再以乘法運(yùn)算為例. 已經(jīng)有如上對(duì)加法運(yùn)算的探究經(jīng)驗(yàn)，類比可知，如果選定了乘法運(yùn)算，接下來同樣要根據(jù)運(yùn)算對(duì)象進(jìn)一步提出具體的問題進(jìn)行探究：① 在不等式a gt; b兩端乘同一個(gè)數(shù)c，進(jìn)而分為c gt; 0，c = 0和c lt; 0三種情況探究；② 在不等式a gt; b兩端分別乘c，d，此時(shí)還需要分為多種情況進(jìn)行探究，進(jìn)而總結(jié)出a gt; b gt; 0，c gt; d gt; 0時(shí)對(duì)應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果是確定的，于是得到不等式的性質(zhì)4和性質(zhì)6. 之后還可以從特殊化的角度進(jìn)一步提出問題，如將性質(zhì)6特殊化，即當(dāng)a = c，b = d時(shí)，可以得到：如果a gt; b gt; 0，那么a2 gt; b2. 進(jìn)而一般化得到不等式的性質(zhì)7. 對(duì)a2 gt; b2做開方運(yùn)算，得到如果a gt; b gt; 0，那么[a]gt;[b]. 后續(xù)學(xué)習(xí)了指數(shù)，即可得到：如果a gt; b gt; 0，那么[an]gt;[bn]. 當(dāng)然，學(xué)生還可以結(jié)合其他運(yùn)算得到相關(guān)的關(guān)系，如取a gt; b的倒數(shù)，可以得到：如果a gt; 0 gt; b，那么[1a]gt;[1b]；如果a gt; b gt; 0，或b lt; a lt; 0，那么[1a]lt;[1b].

如上的探索過程，將教材必修第一冊(cè)中不等式的性質(zhì)，例2，練習(xí)第2題，習(xí)題2.1“綜合運(yùn)用”的第7題和第8題、“拓廣探索”的第11題，統(tǒng)整到了一起. 由此可見，在一般觀念指引下，數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系將自然地呈現(xiàn)出來.

經(jīng)過這樣的探索，學(xué)生可以具體感受“運(yùn)算中的不變性就是性質(zhì)”的方法論作用. 首先，選擇運(yùn)算類型；其次，選擇運(yùn)算對(duì)象，并依據(jù)具體情況進(jìn)行必要的分類，在每一類中通過賦值進(jìn)行運(yùn)算觀察結(jié)果，猜想其是否具有不變性；再次，針對(duì)猜想進(jìn)行論證或者反駁；最后，將具有不變性的運(yùn)算作為性質(zhì).

二、學(xué)習(xí)“基本不等式”，升華對(duì)一般觀念的理解

在學(xué)習(xí)“2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”時(shí)，第一次領(lǐng)略了一般觀念之“代數(shù)性質(zhì)指什么”的方法論作用，接下來學(xué)習(xí)“2.2 基本不等式”，我們自然會(huì)考慮能否利用一般觀念，通過對(duì)重要不等式作代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行探索. 于是得到如下思路.

根據(jù)上一節(jié)課總結(jié)的方法，基于重要不等式a2 +b2 ≥ 2ab，從運(yùn)算的角度有序提出系列問題，或者對(duì)重要不等式進(jìn)行變形，得到若干猜想，獲得系列不等式，進(jìn)而對(duì)這些不等式進(jìn)行論證、完善，最終得出基本不等式及相關(guān)不等式.

類比不等式性質(zhì)的研究，采取如下步驟：第一步，選擇運(yùn)算的類型，如選擇加法；第二步，選擇運(yùn)算對(duì)象，先在a2 + b2 ≥ 2ab的兩邊加相同的數(shù)，如兩邊同時(shí)加a2 + b2，2ab（或-2ab），b2，等等；第三步，對(duì)式子進(jìn)行變形，如在兩邊同時(shí)加2ab可以得到[a+b2]≥ 4ab，經(jīng)過化簡，可以得到不等式ab ≤[a+b24]；第四步，依據(jù)學(xué)生上節(jié)課中推出的性質(zhì)“若a gt; b gt; 0，則[a]gt;[b]”（即習(xí)題2.1的第11題），將ab ≤[a+b24]中a，b的取值范圍限制為a gt; 0，b gt; 0，兩端開方即可得到基本不等式[ab]≤[a+b2]. 其他的不等式類比可得.

同樣地，第一步還可以選擇乘法；第二步選擇運(yùn)算對(duì)象時(shí)，在a2 + b2 ≥ 2ab兩邊可以同乘[12]，[1ab]，[12ab]，等等. 若乘[12]，可以得到[a2+b22≥ab]；若乘[1ab]，根據(jù)不等式的性質(zhì)4，通過討論得到，如果ab gt; 0，那么[ba]+[ab]≥ 2，這是教材第46頁練習(xí)的第2（1）題. 如上探索過程，可以用如圖1所示的邏輯關(guān)系圖表示.

觀察圖1，當(dāng)a gt; 0，b gt; 0時(shí)，得到不等關(guān)系：[2aba+b]≤[ab]，[a2+b22]≥[ab]，[a+b2]≥[ab]，[a2+b22]≥[a+b2].于是得到[a2+b22]≥[a+b2]≥[ab]≥[2aba+b]. 這一串不等式將基本不等式、教材第46頁練習(xí)第2題、第58頁第10題的推廣都聯(lián)系了起來.

可見，本節(jié)課的研究方法與“2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”類似. 在一般觀念的指引下，通過變化運(yùn)算類型和運(yùn)算對(duì)象，或者對(duì)不等式進(jìn)行變形，可以提出系列猜想，讓數(shù)學(xué)知識(shí)自然生長，將散落在教材不同位置的關(guān)系式統(tǒng)整在一起，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系性.

三、在后續(xù)學(xué)習(xí)中自覺運(yùn)用一般觀念，發(fā)揮其方法論作用

有了對(duì)一般觀念之“代數(shù)性質(zhì)是什么”的認(rèn)識(shí)，在后續(xù)與代數(shù)有關(guān)的研究中即可自覺地運(yùn)用，發(fā)揮其方法論作用，讓數(shù)學(xué)知識(shí)自然地生長，讓學(xué)生循序漸進(jìn)、有條有理地展開思維. 接下來，對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行梳理.

1. 根式的性質(zhì)

根式的性質(zhì)本質(zhì)上是n次方根定義的變式表達(dá)，依據(jù)定義可以直接推導(dǎo)出來，但是對(duì)于抽象能力較弱的學(xué)生來說理解起來有困難. 因此，可以借助運(yùn)算中的不變性，引導(dǎo)學(xué)生在大量計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象概括，即先對(duì)n和a賦值，依據(jù)定義進(jìn)行計(jì)算，觀察運(yùn)算中的不變性得到根式的性質(zhì)，再用定義予以解釋. 例如，可以先讓學(xué)生完成如下計(jì)算，再歸納性質(zhì)，之后再用定義予以解釋.

計(jì)算：[52]= ______，[533]= ______，[-533]=

______，[644]= ______，[755]= _______，[-755]= _______.

觀察以上各式，你能寫出[ann]的值嗎？之后再用定義解釋.

n次方根定義形成的過程，教材中也采用了類似的方式.

2. 指數(shù)函數(shù)的定義

教材第111頁給出了A，B兩地景區(qū)的游客人次. 隨著年份的變化，游客人次變化的規(guī)律是怎樣的？我們可以借助代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行研究. 正如教材第112頁旁白中所述：“做減法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增長率.”代數(shù)運(yùn)算是發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的規(guī)律的一般方法，觀察散點(diǎn)圖、表格，通過減法、除法運(yùn)算來發(fā)現(xiàn)，用代數(shù)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律是用函數(shù)關(guān)系表達(dá)規(guī)律的基礎(chǔ). 本節(jié)課構(gòu)建函數(shù)模型的基礎(chǔ)就是通過代數(shù)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的規(guī)律.

具體而言，是通過做減法發(fā)現(xiàn)A地景區(qū)每一年比上一年增加的人次近似相等，這種變化規(guī)律近似符合一次函數(shù)模型，是我們?cè)诔踔幸呀?jīng)研究過的函數(shù)；通過除法運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)與上一年相比，B地景區(qū)每一年人次的增長率不變，我們尚未學(xué)習(xí)過刻畫增長率或者衰減率不變的函數(shù)模型，因此需要構(gòu)建一個(gè)新的函數(shù)，于是形成了指數(shù)函數(shù)的概念.

3. 三角恒等變換

利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性得到兩角差的余弦公式之后，可以從代數(shù)運(yùn)算的角度對(duì)公式進(jìn)行變形，得到兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦公式；再對(duì)公式做除法，可以得到兩角和與差的正切公式；將公式中的角特殊化，可以得到二倍角公式；對(duì)二倍角的余弦公式進(jìn)行變形可以得到降冪公式、半角公式等；對(duì)兩角和與差的正弦公式做加法可以得到積化和差公式，再變形可以得到和差化積公式. 可見，這些公式都是從Cα - β出發(fā)經(jīng)過一系列代數(shù)運(yùn)算得到的，與“2.2 基本不等式”一節(jié)的研究方法類似，其邏輯關(guān)系如圖2所示.

4. 余弦定理、正弦定理

這一節(jié)是利用向量的數(shù)量積運(yùn)算研究三角形的性質(zhì)，研究對(duì)象是三角形，因此可以在代數(shù)一般觀念的指引下進(jìn)行. 依據(jù)向量方法解決平面幾何問題的三個(gè)步驟，先將研究對(duì)象表達(dá)為向量形式. 如圖3，△ABC可以表示為a + b + c = 0. 對(duì)于a + b + c = 0，依據(jù)基于代數(shù)一般觀念形成的方法論，先選擇運(yùn)算類型，根據(jù)教材的要求，選擇數(shù)量積運(yùn)算；接下來選擇運(yùn)算對(duì)象，可以提出一系列問題：將a + b + c = 0兩端進(jìn)行平方，會(huì)得到怎樣的關(guān)系？將a + b + c = 0變形為a + b = -c，再兩端進(jìn)行平方，會(huì)得到怎樣的關(guān)系？在a + b = -c兩端同乘a + b或c，會(huì)得到怎樣的關(guān)系？在a + b = -c兩端同乘邊BC上的高對(duì)應(yīng)的向量h、中線對(duì)應(yīng)的向量r、∠BAC的角平分線對(duì)應(yīng)的向量j，會(huì)得到怎樣的關(guān)系？在a + b = -c兩端同乘平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，即教材必修第三冊(cè)第62頁的第19題，會(huì)得到怎樣的關(guān)系？

求解如上的系列問題，可以得到余弦定理、正弦定理、射影定理和更一般的結(jié)論.

下面以a + b = -c兩端同乘邊BC上的高對(duì)應(yīng)的向量h為例展開探究：[a+b]·h = -c·h. 化簡，得

-[b][h]sin C = -[c][h]sin B. 由[h]≠ 0，得[b]sin C =[c]sin B，即[b]sin C =[c]sin B，得到正弦定理. 在化簡的過程中還能幫助學(xué)生理解教材中推導(dǎo)正弦定理時(shí)為什么要乘一個(gè)單位向量，感受數(shù)學(xué)的簡潔美，并習(xí)得求解的經(jīng)驗(yàn).

上述不同的探索路徑，以“數(shù)量積”一以貫之，只是運(yùn)算對(duì)象在改變. 有了前序一般觀念指引下的代數(shù)探究經(jīng)驗(yàn)，此處教師再予以引導(dǎo)，學(xué)生是可以想到的. 這樣設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)是學(xué)生能提出什么問題，而不是能得到哪個(gè)定理. 這樣的設(shè)計(jì)是發(fā)展思維的設(shè)計(jì)，這樣做使得代數(shù)的一般觀念前后貫通，不但能幫助學(xué)生形成對(duì)向量法的思維自覺，還能進(jìn)一步理解一般觀念的方法論意義.

教材必修第二冊(cè)“6.4.3 余弦定理、正弦定理”選擇的是數(shù)量積運(yùn)算，運(yùn)算對(duì)象的選擇結(jié)合了幾何研究的一般觀念. 這節(jié)課事實(shí)上為“數(shù)學(xué)探究" 用向量法研究三角形的性質(zhì)”奠定了方法論的基礎(chǔ)，按照這樣的思路，可以利用向量法對(duì)三角形進(jìn)行更系統(tǒng)的研究.

5. 數(shù)列

數(shù)列的特點(diǎn)是用代數(shù)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用函數(shù)關(guān)系表達(dá)規(guī)律，因此學(xué)習(xí)數(shù)列必然要繼續(xù)發(fā)揮代數(shù)一般觀念的方法論作用，讓學(xué)生有序地提出系列問題，讓數(shù)學(xué)知識(shí)自然地生長.

以等差數(shù)列為例，定義的形成就是通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)列中前后兩項(xiàng)之間都具有的一個(gè)不變性：從這個(gè)數(shù)列的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，即an + 1 - an = d（n ∈ N*）. 接下來增加運(yùn)算對(duì)象的數(shù)量，即3個(gè)數(shù)，于是得到等差中項(xiàng). 繼而增加項(xiàng)數(shù)，如等差數(shù)列中連續(xù)的4項(xiàng)、5項(xiàng)、6項(xiàng)、7項(xiàng)……，通過計(jì)算可以歸納出前n項(xiàng)和與中間項(xiàng)的關(guān)系. 將之一般化，就可以獲得求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法. 于是，自然破解等差數(shù)列求和問題思路難求的教學(xué)難點(diǎn). 換一個(gè)視角，對(duì)連續(xù)4項(xiàng)求和問題，變換其下標(biāo)的值，總結(jié)其中的規(guī)律性就可以得到：如果m + n = p + q，那么am + an = ap + aq（教材第17頁例5）. 特殊化得到：如果m + n = 2p，那么am + an = 2ap. 繼而還可以提出新的問題，如教材選擇性必修第二冊(cè)第18頁第5題；或者將第21頁例7、第24頁第2題一般化；……

對(duì)一列數(shù)選擇新的運(yùn)算，如除法，通過運(yùn)算尋找其中的規(guī)律，那么就可能發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列. 之后按照代數(shù)的一般觀念，類比等差數(shù)列的如上路徑進(jìn)行探索，可以讓與等比數(shù)列相關(guān)的知識(shí)自然生長，不再贅述.

按照這樣的思路，還可以研究前后項(xiàng)的其他運(yùn)算關(guān)系，于是就形成了豐富的遞推關(guān)系.

教材選擇性必修第二冊(cè)第10頁“閱讀與思考" 斐波那契數(shù)列”，對(duì)于表中的數(shù)據(jù)，從不同的角度選擇數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算，可以獲得不同的代數(shù)關(guān)系. 這就是代數(shù)一般觀念的威力.

6. 計(jì)數(shù)原理

排列數(shù)公式[Amn]=[n！n-m ！]、組合數(shù)性質(zhì)[Cmn]=[Cn-mn]的發(fā)現(xiàn)都是在代數(shù)運(yùn)算中尋找到的規(guī)律. 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)是在觀察的基礎(chǔ)上，通過代數(shù)運(yùn)算論證并用代數(shù)式表達(dá)出來的.

教材選擇性必修第三冊(cè)第39頁的“數(shù)學(xué)探究" 楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用”通過數(shù)陣給出，基于數(shù)陣從不同視角觀察可以得到很多代數(shù)關(guān)系. 二項(xiàng)式系數(shù)的基本性質(zhì)都在這個(gè)數(shù)陣之中. 進(jìn)一步觀察，還可以發(fā)現(xiàn)更多，如對(duì)每一橫行進(jìn)行運(yùn)算，可以得到[C0n+C1n+][C2n+ … +Cnn=2n]；觀察圖4中第三層斜行上的數(shù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們都是三角形數(shù)，而且這列數(shù)構(gòu)成二階等差數(shù)列，對(duì)它們進(jìn)行運(yùn)算還會(huì)發(fā)現(xiàn)[C22+C23+C24+ … +C2n=C3n+1]；對(duì)圖5中的斜行進(jìn)行運(yùn)算會(huì)發(fā)現(xiàn)每一斜行的和恰好組成一個(gè)斐波那契數(shù)列. 繼續(xù)觀察，并結(jié)合代數(shù)運(yùn)算，還將會(huì)有更多有趣的發(fā)現(xiàn).

數(shù)學(xué)是思維的體操. 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從某種意上說就是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí). 要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，就要先為學(xué)生搭建一個(gè)研究數(shù)學(xué)對(duì)象的整體框架. 如上所述就是在一般觀念的引領(lǐng)下，通過運(yùn)算中的不變性，搭建整體的框架.

在教學(xué)實(shí)踐中，可以用微探究的方式進(jìn)行. 教學(xué)設(shè)計(jì)要依據(jù)一般觀念和學(xué)生學(xué)習(xí)的心理過程、為發(fā)展學(xué)生的思維而設(shè)計(jì)，徹底轉(zhuǎn)變“為獲得某個(gè)結(jié)論而設(shè)計(jì)”的想法. 在一般觀念的指引下帶領(lǐng)學(xué)生充分經(jīng)歷探索過程，并給予學(xué)生充分的時(shí)間和空間，讓他們開展自主探究，感受發(fā)現(xiàn)的樂趣，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的成就感，只有這樣才能引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的思考，助力學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，從而使學(xué)生真正愛上數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)，享受數(shù)學(xué).

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