對“一線三等角”模型的解讀及應用

數(shù)學模型是指把一種事物的特征和關系高度概括抽象，用數(shù)學中獨有的語言描述出來的結(jié)構(gòu)，對于初中幾何，我們除了需要掌握課本中的定義、定理等基本知識外，還要對一些基本模型進行積累，“一線三等角”模型是一種常見的全等或相似模型，在解答有關相似三角形或全等三角形問題中有廣泛的應用，下面對這一模型進行具體解讀，并舉例探討其在解題中的應用方法．

一、“一線三等角”模型解讀

“一線三等角”模型指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構(gòu)成全等或相似圖形．這三個等角可以是直角、銳角或鈍角，也可以在直線的同側(cè)或異側(cè)，因此按照等角的度數(shù)和位置可分為銳角同側(cè)型、銳角異側(cè)型，直角同側(cè)型、直角異側(cè)型和鈍角同側(cè)型、鈍角異側(cè)型，下面以銳角型為例，探究其結(jié)論和證明過程，其他類型由于構(gòu)圖方式類似，證明起來大同小異．如圖1為銳角同側(cè)型，圖2為銳角異側(cè)型，

該模型的核心是三個等角的頂點在同一條直線上，其本質(zhì)在于構(gòu)建三角形的全等或相似關系，提取線段的比例關系，

二、“一線三等角”模型在解題中的應用方法

“一線三等角”模型盡管在幾何圖形中具有很高的識別度，但由于試題綜合性較強，構(gòu)圖復雜．模型并非會直觀、完整地呈現(xiàn)在試題中，若三個相等角的頂點在同一條直線上時，我們可以直接從圖形中抽象出“一線三等角”模型，找出相似或全等三角形來解題；若題目提供的等角不全或?qū)⒌冉沁M行了隱藏，我們就要充分利用題中所給的已知角或挖掘圖中隱藏的特殊角，通過添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造出“一線三等角”模型，這樣就能根據(jù)基本模型找到題目的解題思路了．

（3）拓展應用：如圖5，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，點E為BC邊上一個動點，連接AE，將線段AE繞點E）11頁時針旋轉(zhuǎn)900，點4落在點P處，當點P在矩形ABCD外部時，連接PC，PD.若△DPC為直角三角形時，求BE的長，

本題考查的是對于“直角型一線三等角”模型的應用，第二問是以直角坐標系為載體，三個等角均隱藏在圖形中，借助坐標系作輔助線，讓三個等角顯露出來，從而證明一組三角形相似；第三問，分為兩類討論，第一類已知兩個等角，需作輔助線得到第三個等角；第二類更為復雜，只有一個角顯露出來了，需要構(gòu)造兩側(cè)的角形成“一線三等角”模型，通過多次借助“一線三等角”模型得出全等和相似三角形，從而順利解題．

由此可見，“一線三等角”模型看似簡單，但將其運用到具體的解題過程時卻錯綜復雜，同學們只有把握模型的核心要點和本質(zhì)，才能在復雜的構(gòu)圖中火眼金睛，準確識別模型，構(gòu)建模型，從而巧妙應用模型．